一个三角形不等式的逆向<br/>——兼擂题(109)的解答

一个三角形不等式的逆向
——兼擂题(109)的解答

2017-04-24褚小光,田开斌,潘成华等

中学数学教学 2017年2期

关键词：内切圆外接圆证法

一个三角形不等式的逆向
——兼擂题(109)的解答

1 背景

在△ABC中，有

考虑上述不等式的逆向，我们提出了如下擂题(109).

在△ABC中,求证

2 证明

证法1 (文武光华数学工作室褚小光田开斌潘成华提供)设s,R,r分别表示△ABC的半周长,外接圆与内切圆半径.根据三角形三角恒等式

所证不等式等价于

由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2, 只需证

上式两边平方,约去r得

上式整理为

由欧拉不等式R≥2r,即知上式成立. 从而不等式得证.

3∑x5(y3+z3)+6∑x4y4

+99∑x4yz(y+z)≥14∑x3y3z2

+214∑x4y2z2，

上式左边x,y,z的指数对右边形成优超，利用Muirhead定理知，上式成立，且等号成立当且仅当x=y=z，即三角形为正三角形.

万惠华老师指出，利用Muirhead定理，还可以证明擂题得的下列加强式：

3 点评

(点评人郭要红，2017年3月31日)本论文收到擂题解答8份，其中5份是正确的，按时间顺序，作者分别是江斌(安徽，2017年2月25日)，李歆(陕西武功县教育局教研室，2017年2月26日)，光华工作室褚小光田开斌潘成华(江苏苏州，2017年2月27日)，董林(山东高青县教学研究室，2017年2月28日)，万惠华(浙江大学，2017年3月6日).李歆，董林的证明方法与证法1一致，江斌的证明是利用变换将擂题转化成代数不等式，利用柯西不等式等证明代数不等式成立. 本擂题得获奖者是江斌同志，请江斌同志看到评注后与编辑部联系.

1 陈计.关于三角形的一个不等式[J].中学数学，1995(3)：34.

有奖解题擂台(110)

郭要红 (邮编：241003)

安徽师范大学数学计算机科学学院)

题设R,r分别是△ABC中的外接圆半径，内切圆半径，则