初中数学教学中的全等三角形解题策略初探

本人申报广东教育学会2016年度教育科研规划小课题《“滚雪球”在初中数学三角形全等专题教学中的实践研究》（负责人：谢永福），经小课题立项评审专家组评审，同意立项为广东教育学会2016年度教育科研规划小课题，课题编号GDXKT622 不能删除

摘要：利用三角形全等是解决数学问题的一种重要思想和方法。教师在初中数学教学中要善于引导和帮助学生总结三角形全等的方法和策略，并指导学生应用这些策略来进行探究和分析，使学生可以在解题过程中灵活应用，得到运筹帷幄。本文主要探究了三角形全等解题的一些有效方法，促进学生数学思维的形成和解题能力的提高。

关键词：初中数学 三角形全等 解题策略

对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。学生通过对三角形之间的关系进行观察、操作、推理、想象，会发展学生的空间观念，使学生可以更深刻地体会数学和图形之间的关系，感受数学的魅力，在逻辑分析中发现问题、解决问题，积累数学活动经验。

一、巧用三角形全等证明两线垂直

通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。

二、“倍长中线法”构造全等三角形

全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。在学生对已知条件进行加工和处理过程中，教师要适时地对学生进行点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性，使学生的思维可以运转起来，主动地判断各个数量之间的关系，成为学习的主体，提高数学解题能力。例如：已知△ABC中，AD为△ABC的中线，且AB=8cm，AC=5cm，如图所示，求中线AD的取值范围。为了能够探究AD的取值范围，学生可以借助全等三角形的性质和定理来进行推理判断。可是题目中并没有已知的可利用的全等三角形，学生就可以通过做辅助线的方式来自己构造全等三角形，进而借助全等三角形的性质来进行知识的分析和数量关系的判断。为了构造全等三角形，学生可以做BE//AC交AD的延长线于E，通过已知信息，学生可以看到这样就出了△ADC≌△EDB，有了这个条件，接下来的问题就简单了很多。因为全等三角形△ADC≌△EDB，所以AE=2AD，BE=AC=5；在对于本题的证明中，学生需要明确在△ABE中，有AB+BE>AE，AB-BE<2AD，这样学生就可以设AD的长度为x，这后对这个x的取值范围进行计算既可以了。学生在解题过程中要善于发现规律，借助已知的条件来创造为自己服务的条件，了解知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法。

三、捕捉特殊条件多角度巧构三角形全等

在对于数学知识的学习和探究过程中，教师要充分地发挥自己课堂主导的地位，使学生可以真正地成为学习主体。教师可以给学生提供练习题，并引导学生自主探究，积极思考，鼓励学生捕捉特殊条件從多角度来构建全等三角形。例如：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边上的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，∠AMB=∠DMC。

解题过程中学生可以借助辅助线，如图，延长AD至F，使得CF⊥AC.

∵AB⊥AC，AD⊥BM，

∴∠ABM=∠DAC，

在△ABM与△CAF中，∠ABM=∠DAC，AB=CA，∠BAM=∠ACF，

所以△ABM≌△CAF，

∴∠BMA=∠F，AM=CF，

在△FCD与△MCD中，CM=CF，∠MCD=∠FCD，CD=CD，

所以△FCD≌△MCD，

∴∠F=∠CMD，

∴∠AMB=∠DMC.

解题过程中，学生要充分地发挥自己的想象力来做出辅助线，辅助线给学生营造了思维驰骋的空间，有效地帮助学生进行思维的想象和拓展，促进学生进行拓展思维和发散思维，在探究中明确各个数量关系，更好地利用全等三角形来进行证明。

总之，在解决数学问题中，学生要大胆地进行联想和想象，充分地利用已知条件来建构全等三角形，这样学生的思维就得到了锻炼，积累了数学活动经验，简化了数学问题，有利于学生更好的理解数学，应用数学。在经历知识的发现过程中，学生分类、探究、合作、归纳等能力也得到了提高和锻炼。有利于学生综合素质的提高。

参考文献：

1.刘秀华 “全等三角形”中常见错误与分析[J] 初中生世界 2013（10）

2.姚世峰 “全等三角形”中的常考点[J] 中学生数理化：八年级数学（北师大版） 2012（7）