磁流变半主动悬架的泰勒级数-LQG时滞补偿控制方法

陈士安， 祖广浩， 姚 明， 张晓娜

(1.浙江水利水电学院 机械与汽车工程学院，杭州 310018；2.江苏大学 汽车与交通工程学院，江苏 镇江 212013)

磁流变半主动悬架的泰勒级数-LQG时滞补偿控制方法

陈士安1,2， 祖广浩2， 姚 明2， 张晓娜2

(1.浙江水利水电学院 机械与汽车工程学院，杭州 310018；2.江苏大学 汽车与交通工程学院，江苏 镇江 212013)

提出一种泰勒级数-LQG控制方法进行磁流变半主动悬架时滞补偿控制。该方法利用泰勒级数对LQG控制求取的理想控制力进行时滞补偿，以使磁流变减振器的实际输出力逼近理想半主动控制力。在解析直接结合泰勒级数的LQG控制不能正常工作原因的基础上，提出了一种实用的泰勒级数-LQG控制设计方法，使得LQG控制结合泰勒级数之后LQR函数能够顺利运行。针对时滞较大时泰勒级数对控制的放大现象，并考虑到磁流变减振器性能和成本之间的平衡，以满足99%的减振控制要求确定磁流变减振器库伦阻尼力的幅值。以Smith Predictor-LQG(SLQG)控制方法为比较对象，通过仿真实例验证了泰勒级数-LQG控制方法具有良好的磁流变半主动悬架时滞补偿效果。

磁流变半主动悬架；时滞补偿；LQG；泰勒级数

近年来，利用磁流变半主动悬架提高汽车乘坐舒适性和操纵稳定性的研究越来越多[1-4]。在磁流变半主动悬架系统中，时滞是无法避免的，这是因为在测量系统状态、计算以及产生可控阻尼力等过程中都需要消耗一定的时间[5-7]。时滞对悬架控制系统有着很大影响，在设计过程中如果没有考虑系统时滞，将会降低控制系统的性能甚至导致系统失稳[8-9]。

时滞控制是磁流变半主动悬架的核心技术之一，对磁流变半主动悬架的工作效果有着重要的影响。现有时滞控制方法主要包括史密斯预估补偿控制[10]、PID控制[11]、大林控制[12]、泰勒级数展开法[13]等，每一种控制方法都有其自身的优点，也存在相应的不足。史密斯预估补偿控制的技术比较成熟，但是其严重依赖模型的精确匹配。PID控制成本较低，有一定的自适应能力，但是控制精度不够高且动态性能不好。大林控制的稳定性和鲁棒性比较好，在模型失配时也能够进行有效地控制，但是其振荡过程较长。泰勒级数展开法是一种实用的时滞控制方法，它能够根据系统当前状态有效地预测未来状态，但是在其应用过程中对控制量有时会存在放大现象。

线性二次型(Linear Quadratic Gaussian，LQG)控制是一种常见的最优控制，它具有很强的适用性，在没有时滞的理想状态下能使磁流变半主动悬架系统在名义工况下获得最优的使用性能[14]。由于LQG控制具有严格的适用条件，以至于未见有将它与泰勒级数结合进行时滞补偿的文献。

在提出一种实用的泰勒级数-LQG时滞补偿控制方法的基础上，为解决泰勒级数导致库伦阻尼力放大的问题，及平衡磁流变减振器的性能和成本，通过限定磁流变减振器库伦阻尼力的幅值，来获得较理想的磁流变半主动悬架时滞补偿控制效果。

1 含时滞的磁流变半主动悬架模型

由于信号测量、处理与控制律计算带来的时滞极小，因此本文只考虑磁流变减振器的响应时滞，考虑到四分之一车模型既比较简洁，又能反应悬架的主要动力学特征，在研究中采用了四分之一车模型对含时滞的磁流变半主动悬架进行研究和分析，如图1所示。

悬架的运动微分方程如下

(1)

(2)

式中：n0是空间参考频率，取0.1；w是路面白噪声信号；Gq(n0)是路面不平度系数；v是车速；f0是下截止频率，等于0.011v。

图1 1/4车二自由度模型

根据描述磁流变减振器的Bingham塑性模型和Lord公司生产的RD-1005-3汽车用磁流变减振器测试的示功图拟合结果，不考虑时滞的磁流变减振器的数学模型为[15]

(3)

式中：F(t)磁流变器减振器t时刻的阻尼力；cs是黏滞阻尼系数；Δv是磁流变减振器活塞与缸体的相对运动速度；FMR是库伦阻尼力；sgn()是符号函数；I为控制电流。

(4)

取系统状态向量为

(5)

悬架系统的状态方程为

(6)

式中

2 LQG直接结合泰勒级数在时滞补偿中存在的问题

(7)

式中：Fi是LQG控制求取的理想主动控制力。

为了改善控制效果，在t时刻，利用一阶泰勒级数结合传统的LQG控制提前预测出t+τ时刻的主动控制力Fp，以此对系统时滞进行补偿，当τ较小时，则有

(8)

式(7)采用补偿措施后为

(9)

在半主动悬架控制设计时，先由控制器求取理想控制力信号，然后将理想控制力信号输送至半主动动作器得到实际控制力。

新的泰勒级数-LQG控制器需要求取的控制是Fp而非Fi。

(10)

式中

悬架二次型性能指标J为[16]

(11)

根据参考文献[17]，下列条件都得到满足时，LQG控制器才能设计：

条件1 (A0,B0)是稳定的；

条件2R0>0且Q0-N0R0-1N0T≥0

校验式(10)和(11)中的相关矩阵可以发现：条件1可以得到满足，且Q0-N0R0-1N0T≥0，但R0=0，不满足条件2。因此，为了成功设计出基于泰勒级数的LQG时滞补偿控制器，必须对式(10)做适当的变换。

3 泰勒级数-LQG控制器设计

为满足R0>0，将式(10)中的Fi进行如下变换

(12)

新的扩展状态方程和二次型性能指标表示如下

(13)

(14)

式中

由于β≫α>0，因此式(10)中变换前Fi的和变换后的βFi+αFp几乎相等，从而基本不改变原系统的动力学特性。

此时，R1>0，式(13)和(14)满足了LQR函数所有的工作条件。

泰勒级数-LQG控制原理如图2所示。

图2中的扩展方程为

(15)

式中

式(15)的作用是将泰勒级数与车辆状态方程整合成扩展状态方程来设计泰勒级数-LQG控制器。

图2 泰勒级数-LQG控制系统框图

泰勒级数-LQG控制器的输出为

Fp=-K1X1

(16)

式中：K1是最优反馈增益矩阵，可以通过LQR方程求得

(K1,S1,E1)=LQR(A1,B1,Q1,N1,R1)

(17)

式中：S1是黎卡提方程解；E1为系统的特征值向量。

(18)

在利用泰勒级数-LQG控制器对磁流变半主动悬架进行时滞补偿控制时，需要限定磁流变减振器库伦阻尼力的幅值，原因有二：① 分析式(7)～(9)可知：当时滞很小的时，Fp基本上等于Fi；但当时滞较大时，Fp将会被明显放大，这将会降低控制效果；② 磁流变减振器能够产生的库伦阻尼力的幅值越大，则其制造成本越高[18]，考虑到性能和制造成本之间的平衡，需要合理地限定库伦阻尼力的幅值。

根据概率论知识，零均值正态分布的系统振动响应χ的概率分布可由其标准差σx确定。χ幅值的绝对值超过χ0=λσχ的概率为Pχ，它与界限值χ0和标准差σχ的比值λ之间的关系可以由正态分布的概率积分表得到，下面将其中有代表性的值列在表1上[19]。

此时，实际库伦阻尼力的幅值满足

(19)

式中：σFisa是理想库伦阻尼力Fisa的标准差。

由表1可得λ取2.58。根据式(3)和(4)可以得到相应的电流的大小。

表1 正态分布情况下，λ和Pχ的关系

当然，在控制设计过程中，也可根据实际需要对该百分比进行调整，如98%、95%、90%等，对应的λ值可根据正态分布的概率积分表查得。

4 实例仿真

为了验证本文所提出的泰勒级数-LQG控制方法的先进性，选取了Smith predictor-LQG(SLQG)控制、理想LQG控制(假设系统没有时滞的LQG控制)、无措施LQG控制(没有时滞补偿措施的LQG控制)三种方法以及被动控制进行性能对比及分析。

本文采用数值仿真进行上述悬架性能对比及分析。研究所需具体悬架参数如表2所示。

图3 SLQG控制系统框图

表2 悬架参数

表2中，c0为被动悬架的被动阻尼值。该车的名义工况为在C级路面上以v=20 m/s的车速行驶，此时，Gq(n0)=256×10-6m2/m-1。

根据文献[14]提供的LQG控制加权系数确定方法，可得δ1=53 775，δ2=4 108.8。

对LQG控制的理想半主动悬架(假设系统无时滞)进行仿真可得σFisa等于507.5 N。根据式(3)和(4)计算得出电流的大小满足0≤I≤0.87 A。

考虑到磁流变减振器的时滞一般为25 ms左右[10, 20]。因此，研究中选择了整个控制系统时滞为25 ms及30 ms两种工况。

图4 时滞为25 ms时控制力和时间的关系曲线

从图4可以看出：未限定幅值的库伦阻尼力F″MR与理想半主动控制力Fisa在幅值方面存在较大的偏差。限定库伦阻尼力的幅值后，上述偏差明显变小。

图5 时滞为25 ms时库伦阻尼力与控制电流和时间的关系曲线

图6是时滞为25 ms时，无措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架以及被动悬架的J-t曲线图。

图7是时滞为25 ms的情况下无措施LQG控制、SLQG控制、泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架以及被动悬架的PSD(a2)-频率曲线图。a2为簧载质量加速度，是汽车平顺性最重要的评价指标，通常被用来评价乘坐舒适性，簧载质量加速度功率谱密度PSD(a2)对频率求积分越小，说明乘坐舒适性越好。

图6 时滞为25 ms时的J-t曲线

图7 时滞为25 ms时的PSD(a2)-频率曲线

从图6可以看出：时滞为25 ms时，与被动控制相比，无措施LQG控制及SLQG控制可减小悬架二次型性能指标，但并不明显，而泰勒级数-LQG的控制效果与理想LQG最为接近，这说明对提高悬架综合性能，泰勒级数-LQG的控制效果优于无措施LQG控制及SLQG控制。

图7表明：时滞为25 ms时，在5.6～14.8 Hz范围内，泰勒级数-LQG控制对降低簧载质量加速度的效果略差于SLQG控制，但在悬架固有频率1.599 5 Hz附近可明显降低PSD(a2)的峰值。

J-t曲线体现了各个控制器的综合性能，而悬架的综合性能指标J考虑了如下三个因素：簧载质量加速度a2、悬架动挠度z2-z1以及轮胎动变形z1-q。表3给出了时滞为25 ms时上述三个基本要素的均方根值以及J值。RMS(a2)代表a2的均方根值，RMS(z1-q)为z1-q的均方根值，RMS(z2-z1)表示z2-z1的均方根值。

表3表明：在时滞为25 ms的情况下，将无措施LQG控制、SLQG控制以及泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架分别与被动悬架相比可以得到如下结果：上述三种控制方法在J值方面分别降低16.08%、19.27%、27.29%；在RMS(a2)方面分别降低21.12%、20.16%、22.25%；在RMS(z1-q)方面分别降低-27.50%、-15.00%、10.00%；可以分别降低RMS(z2-z1) -6.54%、-7.48%、0.93%。

表3 时滞为25 ms时各性能指标的仿真结果

图8 时滞为30 ms时控制力和时间的关系曲线

图9 时滞为30 ms时库伦阻尼力与控制电流和时间的关系曲线

图10是时滞为30 ms时，无措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架以及被动悬架的J-t曲线图。

图10表明：时滞增至30 ms时，与被动悬架相比，无措施LQG和SLQG控制的悬架综合性能恶化较为严重，其中，无措施LQG控制与被动悬架相比几乎不具备优势。而此时的泰勒级数-LQG控制的效果仍然明显优于被动悬架、无措施LQG控制以及SLQG控制的磁流变半主动悬架，这说明即使在时滞较大的情况下，泰勒级数-LQG控制也具有良好的综合性能。

图10 时滞为30 ms时的J-t曲线

图11是时滞为30 ms时，无措施LQG控制、SLQG控制、泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架以及被动悬架的PSD(a2)-频率曲线图。

由图11可以看出：时滞等于30 ms时，SLQG控制在频率为2 Hz左右时的PSD(a2)的峰值超过了被动悬架，这将严重降低乘坐舒适性；与时滞为25 ms的情况类似，在6～14.8 Hz频率范围内，泰勒级数-LQG控制下的乘坐舒适性略差于SLQG控制，但在悬架固有频率附近能够有效降低PSD(a2)的峰值。

图11 时滞为30 ms时的PSD(a2)-频率曲线

表4是时滞为30 ms时，无措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒级数-LQG控制的磁流变半主动悬架以及被动悬架的RMS(a2)、RMS(z1-q)、RMS(z2-z1)以及J值。

表4显示：在时滞为30 ms的情况下，将无措施LQG控制、SLQG控制以及泰勒级数-LQG控制分别与被动控制相比可以得到如下结果：上述三种控制方法在J值方面分别降低1.93%、13.97%、20.29%；在RMS(a2)方面分别降低19.61%、18.30%、17.45%；在RMS(z1-q)方面分别降低-52.50%、-20%、7.5%；可以分别降低RMS(z2-z1) -8.41%、-11.21%、0.93%。

表4 时滞为30 ms时各性能指标的仿真结果

上述比较数据显示：随着时滞的增大，无措施LQG控制下的悬架综合性能严重恶化。在时滞为30 ms时，虽然无措施LQG控制能够提高19.61%的乘坐舒适性，但是相对于被动控制，无措施LQG控制下的RMS(z1-q)及RMS(z2-z1)都有明显的增大，这分别会导致行驶安全性降低和撞击限位概率增大。此外，无措施LQG控制下的J值仅降低1.93%。这表明：磁流变半主动悬架系统的时滞对控制效果有着极大的负面影响，因此在设计控制器的过程中需要对系统时滞进行控制。

总的来说，各个控制方法的效果随着时滞的增大而变差。在25 ms和30 ms时滞情况下，相对于被动控制，SLQG控制能够提高一定的综合性能和乘坐舒适性。无措施LQG控制在时滞较大时，它的综合性能将会剧烈下降。对于泰勒级数-LQG控制，即使在时滞较大的情况下，它同样能够获得较好的综合性能和乘坐舒适性。

5 结 论

针对含时滞的磁流变半主动悬架，首次提出了用于时滞补偿的泰勒级数-LQG控制器。仿真结果表明泰勒级数-LQG控制可以有效地提高系统性能。

本文的主要贡献有：

(1)提出了一种利用LQG控制结合泰勒级数用于时滞补偿控制的想法，并给出两者结合的具体方法；

(2)为了解决泰勒级数引起的库伦阻尼力放大问题以及磁流变减振器性能和成本之间的平衡，提出了一种库伦阻尼力幅值的确定方法。

[1] VANAVIL B, CHAITANYA K K, RAO A S. Improved PID controller design for unstable time delay processes based on direct synthesis method and maximum sensitivity[J]. International Journal of Systems Science, 2015, 46(8): 1349-1366.

[2] WANG Y X, YU D H, KIM Y B. Robust time-delay control for the DC-DC boost converter[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2013, 61(9): 4829-4837.

[3] NGODUY D. Linear stability of a generalized multi-anticipative car following model with time delays[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015, 22(1/2/3): 420-426.

[4] CORREA D P F, WULFF C, PIQUEIRA J. Symmetric bifurcation analysis of synchronous states of time-delayed coupled Phase-Locked Loop oscillators[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015, 22(1/2/3): 793-820.

[5] PAN Huihui, SUN Weichao, GAO Huijun, et al. Robust adaptive control of non-linear time-delay systems with saturation constraints[J]. Iet Control Theory and Applications, 2015, 9(1): 103-113.

[6] LIU Zhouyang, LIN Chong, CHEN Bing. A neutral system approach to stability of singular time-delay systems[J]. Journal of the Franklin Institute-Engineering and Applied Mathematics, 2014, 351(10): 4939-4948.

[7] 董小闵，余淼，廖昌荣，等. 具有非线性时滞的汽车磁流变悬架系统自适应模糊滑模控制[J]. 振动与冲击，2009，28(11)：56-60.

DONG Xiaomin, YU Miao, LIAO Changrong, et al. Adaptive fuzzy sliding mode control for magneto-rheological suspension system considering nonlinearity and time delay[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11)：56-60.

[8] 申永军，祁玉玲，杨绍普，等. 含时滞的单自由度半主动悬架系统的动力学分析[J]. 振动与冲击，2012，31(24)：38-40.

SHEN Yongjun, QI Yuling, YANG Shaopu, et al. Dynamic analysis of a SDOF semi-active suspension system with time-delay[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(24)：38-40.

[9] 陈龙，汪若尘，江浩斌，等. 含时滞半主动悬架及其控制系统[J]. 机械工程学报，2006，42(1)：131-132.

CHEN Long, WANG Ruochen, JIANG Haobin, et al. Time delay on semi-active suspension and control system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42(1)：131-132.

[10] 朱茂飞，陈无畏，祝辉. 基于磁流变减振器的半主动悬架时滞变结构控制[J]. 机械工程学报，2010，46(12)：113-120.

ZHU Maofei, CHEN Wuwei, ZHU Hui. Time-delay variable structure control for semi-active suspension based on magneto-rheological damper[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(12), 113-120.

[11] 欧林林，张卫东，顾诞英. PID控制作用下一阶时滞系统的鲁棒稳定性分析[J]. 上海交通大学学报，2006，40(11)：67-69.

OU Linlin, ZHANG Weidong, GU Danying. The robustness analysis of first-order systems with time delay under PID control[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2006，40(11)：67-69.

[12] 赵青，刘媛媛，张卫东. 时滞反向响应过程的数字控制设计方法[J]. 上海交通大学学报，2007，41(8)：1311-1319.

ZHAO Qing, LIU Yuanyuan, ZHANG Weidong. A digital control method for inverse response processes with time delay[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2007, 41(8)：1311-1319.

[13] 田石柱，李暄，欧进萍. 结构主动控制系统时间滞后测量与补偿.[J]. 地震工程与工程振动，2000，20(4)：101-105.

TIAN Shizhu, Ll Xuan, OU Jinping. Methods for measuring and compensating time delay of active structural control system[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2000, 20(4)：101-105.

[14] 陈士安，邱峰，何仁，等. 一种确定车辆悬架 LQG控制加权系数的方法[J]. 振动与冲击，2008，27(2)：65-68.

CHEN Shi’an, QIU Feng, HE Ren, et al. A method for choosing weights in a suspension LQG controller[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(2)：65-68.

[15] 刘韶庆. 磁流变可调阻尼减振器的特性研究[D]. 镇江：江苏大学，2007.

[16] GRIMBLE M J. LQG predictive optimal control for adaptive applications[J]. Automatica, 1990, 26(6):949-961.

[17] Control System Toolbox Function LQR/LQG Design[M]. Natick, MA: Mathworks Inc, 2009.

[18] 陈杰平. 基于磁流变减振器的汽车半主动悬架设计与控制研究[D]. 合肥：合肥工业大学，2010.

[19] 余志生. 汽车理论[M]. 北京：机械工业出版社，2004.

[20] 赵剡水，周孔亢，李仲兴，等. 磁流变减振器半主动悬架的系统时滞[J]. 机械工程学报，2009，45(7)：221-227.

ZHAO Yanshui, ZHOU Kongkang, LI Zhongxing, et al. Time lag of magnetorheological damper semi-active suspensions[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(7):221-227.

Taylor series-LQG control for time delay compensation of magneto-rheological semi-active suspension

CHEN Shi’an1,2, ZU Guanghao2, YAO Ming2, ZHANG Xiaona2

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering, Zhejiang University of Water Resources and Electric Power, Hangzhou 310018, China; 2.School of Automotive and Traffic Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

A Taylor series-LQG approach for magneto-rheological semi-active suspension system was presented to compensate time delay. First, the reason for the failure of conventional combination Taylor series with LQG control to compensate time delay was uncovered by theoretical derivations and a new Taylor series-LQG control for time delay compensation was developed to satisfy LQR operating conditions. Second, considering Taylor series amplifying the control and balance between performance and cost of magneto-rheological damper, a strategy was presented to determine the range of the actual semi-active control force so as to satisfy 99% control demand. Finally, compared with Smith Predictor-LQG (SLQG) control, simulation results verify the proposed approach can obtain better control effect for time delay compensation of a magneto-rheological semi-active suspension system.

magneto-rheological semi-active suspension; time delay compensation; LQG; Taylor series

国家自然科学基金资助项目(51575239)

2015-11-30 修改稿收到日期：2016-03-28

陈士安 男，博士，教授，1973年生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.030