求解曲线箱梁空间振动特性的Cayley-Hamilton传递矩阵法

闫仙丽, 李青宁

(1.山西大学 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大学 土木工程学院，西安 710055)

求解曲线箱梁空间振动特性的Cayley-Hamilton传递矩阵法

闫仙丽1, 李青宁2

(1.山西大学 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大学 土木工程学院，西安 710055)

将传递矩阵法与Cayley-Hamilton定理相结合，以微分方程和矩阵分析理论为基础，提出了一种新的Cayley-Hamilton传递矩阵法。应用该方法，考虑曲线箱梁桥的空间弯曲、剪切、扭转、拉压、翘曲及其相互间的耦合作用，推导了曲线箱梁桥离散模型的振动空间传递矩阵。以某单跨简支曲线箱梁桥为例，采用所推导矩阵，对其进行计算机编程运算，得到该桥梁的自振频率与振型，并与有限元法计算结果相比较，二者吻合良好，表明本文方法有效。

桥梁工程；振动特性；Cayley-Hamilton传递矩阵法；曲线箱梁

曲线箱梁桥的特点在于：一方面曲线梁在只有竖向荷载作用下，也会发生弯扭耦合；另一方面，箱梁相对于普通截面梁而言，易发生扭转、翘曲、畸变及剪力滞后等现象。“曲线+箱梁”让曲线箱梁桥变成更复杂的空间受力体系。尽管有很多学者针对曲线箱梁做了大量的研究[1-12]，但这些研究大多只考虑曲线梁或箱梁，或曲线箱梁的部分受力因素，而且集中于静力分析，动力分析相对较少，相应的分析理论还不够完善[13]。

目前，曲线箱梁桥的动力分析方法主要是有限元法[14-18]。有限元法有以下缺点：① 结构总体动力学方程涉及的矩阵阶次高，且随着系统自由度的增加而增高，而结构自由度的数量将直接影响计算精度；② 推导结构总体动力学方程困难，且结构发生改变时，系统总体动力学方程也需重新建立，这为动力学问题的求解带来不便。而传递矩阵法很好地弥补了上述缺点，该方法涉及的矩阵阶次低，仅取决于系统内元件的最高阶次，且只需矩阵连乘就可建立系统总体动力学方程[19]。传递矩阵法的关键在于求解元件的传递矩阵，对于简单元件，一般可由运动微分方程经过简单代换和改写动力学方程导出。但对于复杂元件，需要用偏微分方程描述其动力学方程，求解传递矩阵变得非常困难，一般需要将其转化为n阶微分方程或n个一阶微分方程进行求解。而Cayley-Hamilton定理可以很好地求解n个一阶微分方程[20-21]，因此本文将Cayley-Hamilton定理与传递矩阵法相结合，提出Cayley-Hamilton传递矩阵法，并将其应用于求解曲线箱梁桥的振动特性。

1 曲线箱梁桥振动特性的计算模型与求解

如图1所示曲线箱梁桥，将其等效为无质量曲线箱梁段与集中质量的组合系统。系统中元件个数为n，依次对元件进行编号，左端边界为0，右端边界为n+1。

图1 曲线箱梁桥振动特性计算模型

Fig.1 Vibration characteristics calculation model of the curved box bridge

考虑曲线箱梁桥的空间受力，选取各元件的状态向量均为

式中：N,T为曲线箱梁x方向的轴力和扭矩;Vy,My为y方向的剪力和弯矩;Vz,Mz为z方向的剪力和弯矩;B为双力矩；ux,uy,uz分别为x,y,z方向的线位移;φx,φy,φz分别为绕x,y,z轴的角位移，ϑ为翘曲角。用Si,j表示联接点的状态向量，其中i，j表示联接点处相邻元件的序号，则各元件间的传递方程为

(1)

系统总传递方程为

(2)

式中：T1,T3,T5…为无质量曲线箱梁的传递矩阵；T2,T4,T6…为集中质量的传递矩阵；T为总传递矩阵，

传递系数ti,j的下标“i，j”表示它位于第i行j列，其物理意义为元件一端第j个状态向量发生单位变形(力)时，所引起的元件另一端的第i个变形(力)。

将边界条件

代入式(2)得

(3)

式中：07表示7行零列阵。

由式(3)，得齐次方程：

(4)

解式(4)，得到系统特征方程为

(5)

求解式(5)，可得到7个固有频率ωk，对一个固有频率ωk，求解总传递方程，得到曲线箱梁桥边界点的状态向量，利用每个元件的传递矩阵和传递方程可得到系统的全部状态向量，进而得到系统振型。

1.1 无质量曲线箱梁的振动传递矩阵

选取图2所示计算坐标系：以截面形心C为原点，截面形心连线为x轴，截面径向形心主轴为y轴，截面竖向形心主轴为z轴。R为半径，α为曲线箱梁的中心角，规定顺时针方向为曲率正方向。

图2 曲线箱梁计算模型简图

根据平衡条件得到无质量曲线箱梁的自由振动方程为[22-23]

(6)

由曲线箱梁应变和位移之间的关系有：

(7)

式中：εx为轴向应变；ϑ为翘曲角；νy,νz为考虑水平剪切变形后，水平向和竖向剪切转角；kx,ky,kz分别为Mx,My,Mz引起的梁段绕x轴的扭曲率，绕y轴的曲率，绕z轴的扭曲率。

根据材料力学，得到曲线箱梁力和位移的关系为

(8)

对式(6)～(8)进行整理计算，并写成传递矩阵的形式为

(9)

其中：B为14×14矩阵，其非零元素为

t5,3=t7,4=-t6,2=-1,t6,2=t9,13=t10,12=t11,14=1

式(9)的通解为

(10)

式中：S0为初始状态向量;T(x)=eBx为传递矩阵。将T(x)=eBx表示为无穷级数有

(11)

根据Cayley-Hamilton原理对其进行计算。

设B的特征多项式为

(12)

由Cayley-Hamilton原理有

(13)

因此，Bn、Bn+1、…均可用Bn-1、Bn-2、…、I线性表示，所以

T(x)=eBx=C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1

(14)

式中，C0,C1,C2,…,Cn-1为待定系数。

如果φ(b)=0所对应的根均为单根，特征值bi对应的特征向量为vi，则由

Bmvi=bmvi,

(C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1)vi

(15)

得

所以特征值bi满足

(16)

由此n个方程解出未知数C0,C1,C2,…,Cn-1，然后代入式(14)求得无质量曲线箱梁的传递矩阵。

1.2 集中质量的振动传递矩阵

集中质量在自由振动下的位移为

对其二次求导得：

(17)

对于空间振动集中质量m，由平衡条件有

(18)

由集中质量输入端和输出端的几何关系有：

(19)

定义空间振动集中质量的的状态向量为

整合式(17)～(19)得

(20)

式中：T为14×14矩阵，即集中质量自由振动状态的传递矩阵，其非零元素为

1.3 计算步骤

用上述方法求解曲线桥空间振动特性的计算流程如图3所示。

图3 曲线箱梁桥空间振动特性的求解流程图

Fig.3 The flow chart to calculate the vibration characteristics of space curved box bridge

2 计算实例

某单跨均质简支曲线箱梁桥，桥长40 m，桥宽8 m，曲率半径为R=70 m。全桥截面形式为等截面单箱单室截面，计算简图及主梁截面如图4所示。

图4 曲线箱梁桥计算简图及截面尺寸(m)

Fig.4 Calculation diagram and the section dimensions of the curved box bridge (m)

采用文中所推导的曲线箱梁桥的振动特性传递矩阵，对桥梁算例进行计算机编程运算，得到该桥梁的自振频率，并将其与有限元法(将全桥划分为40个梁单元，选用midas civil软件计算所得)计算结果相比较，结果如表1。

表1 曲线箱梁桥的前8阶自振频率

根据自振频率求得各阶振型，见图5所示(图中，x轴代表桥长)。其中第1,3,6,8振型为竖向振型，第4振型为水平横向振型，第2,5,7振型为绕水平横向的弯曲振型。

对比表1及图5得到，Cayley-Hamilton传递矩阵法的计算结果与有限单元法的计算结果非常接近，最大误差仅为0.55%，可见本文Cayley-Hamilton传递矩阵法有效。此外，由图5(d)可以看出第四振型为桥梁横向振动，且幅度较大，这是由于曲线桥一端设置链杆支承，不能在横向给予足够约束导致，因此对于曲线桥梁的支承一般需设置点铰支承或者抗扭支承。

(a)第一振型

(b)第二振型

(c)第三振型

(d)第四振型

(e)第五振型

(f)第六振型

(g)第七振型

(h)第八振型

3 结 论

通过算例分析可看出，Cayley-Hamilton传递矩阵法和空间有限元法计算得到的曲线箱梁梁桥的频率和振型基本一致，可见Cayley-Hamilton传递矩阵法有效。

由上述曲线箱梁桥的计算步骤及元件传递矩阵的推导过程可看出，Cayley-Hamilton传递矩阵法是一种显式精确解析法，计算精度高。该方法为复杂元件传递矩阵的求解提供了一种新思路，可用于求解经代换得到n个一阶微分方程的元件的动力传递矩阵的求解。

Cayley-Hamilton传递矩阵法可用于离散结构体系，连续结构体系及离散、均质相混合的复杂结构体系；并可以推广应用于结构在地震荷载及风荷载等外力作用下的动力反应分析。此外，由于传递矩阵与刚度矩阵可相互转化，从而为用有限元法与传递矩阵法求解复杂体系动力学问题提供了新的思路。

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A Cayley-Hamilton transfer matrix method for solving the vibration characteristics of curved box beams

YAN Xianli1, LI Qingning2

(1. Department of Civil Engineering, Shanxi University, Taiyuan 030013, China; 2. School of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China)

A new Cayley-Hamilton transfer matrix method was proposed by integrating the Cayley-Hamilton theorem and the transfer matrix method. It was based on the theory of differential equations and matrix analysis. Adopting this method, the space vibration transfer matrix of the discrete curved box girder bridge model was derived taking into account the spatial bending, shear, torsion, tension, compression, warping and their coupling effects. With a simply supported single span curved bridge as an example, a calculation programming was conducted to obtain the vibration frequency and vibration mode of the bridge by using the derived matrix. And compared with the results of the finite element method, the results agree well with each other. It demonstrates that this method is effective.

bridge engineering; vibration characteristics; Cayley-Hamilton transfer matrix method; curved box beam

国家自然科学基金(51078306)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20136120120022)；国家自然科学基金(51408453)

2015-07-30 修改稿收到日期：2015-12-03

闫仙丽 女，博士，讲师，1984年9月生

李青宁 男,博士,教授,博士生导师，1952年4月生 E-mail: lqn419@126.com

U441.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.022