不同温度下裂纹悬臂梁的模态和疲劳寿命分析

马一江， 陈国平

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

不同温度下裂纹悬臂梁的模态和疲劳寿命分析

马一江， 陈国平

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

基于扭转弹簧模型和修正Paris公式，提出了一种在不同外界温度下含初始裂纹悬臂梁的疲劳寿命估算方法。在模态分析过程中，通过弹性模量引入温度模块，利用扭转弹簧等效该裂纹，将悬臂梁转化为由扭转弹簧联接的两段弹性梁；推导出不同温度下含裂纹梁固有振型的特征方程，分析温度和裂纹几何参数对裂纹梁固有频率的影响。在疲劳寿命分析过程中，利用复弹性模量引入阻尼损耗因子，基于修正Paris方程和同步分析法，考虑裂纹梁振动与疲劳裂纹扩展的相互作用，分析温度、阻尼和悬臂梁根部区域裂纹几何参数对裂纹梁疲劳寿命的影响。结果表明：随着裂纹相对位置的减小以及裂纹相对深度的增大，裂纹悬臂梁的固有频率和疲劳寿命则逐渐降低；而外界温度的升高也会导致裂纹悬臂梁固有频率和疲劳寿命的降低；同时随着阻尼损耗因子的逐渐增大，裂纹悬臂梁的疲劳寿命也会逐渐增加。

裂纹；悬臂梁；扭转弹簧；温度；振动疲劳

梁是工程中应用最广泛的结构之一，随着科技的快速发展，越来越多的机械设备朝着高速、高温、高压的方向发展。在高温情况下，梁结构的材料性能和力学性能受到高温的影响会发生变化，严重影响结构件的可靠性，因此抗高温合金材料的应用变得越来越广泛。由于加工等原因导致梁结构存在初始缺陷，最普通的结构缺陷是裂纹，裂纹的存在是影响结构安全的一大隐患。在振动环境中，结构件大多处于高温状态，随着使用时间的延长，结构疲劳裂纹扩展受到高温的影响并最终导致结构提前发生破坏。为避免结构发生疲劳破坏，必须对裂纹结构件进行定期检查，在不同温度下对结构件的疲劳寿命进行阶段性的预测。

随着断裂力学的发展，PONOMARE等[1-3]提出很多估算疲劳寿命的方法。在这些疲劳破坏分析方法中，主要用静力学方法来进行常温下结构的应力分析，忽略了外界温度的变化和疲劳裂纹扩展引起的结构动态特性[4]的变化。CHEN等[5]通过CC试样进行试验，分析了不同温度下疲劳裂纹扩展速率与应力强度因子之间的关系。王振清等[6]利用传递矩阵法分析了外界温度对裂纹简支梁的固有频率的影响，发现高温会显著降低裂纹梁的固有频率。因此，对材料高温性能的研究有利于提高结构件在高温条件下服役的可靠性和延长其疲劳寿命。

在工程实际中，大部分的结构件处于宽频激励的振动环境中，使得结构件很可能处于共振状态，最终导致该结构件的共振疲劳坏。例如，DENTSORAS等[7-8]基于Paris方程研究了常温下共振状态对结构疲劳裂纹扩展的影响。对悬臂梁结构而言，一般认为疲劳破坏发生在悬臂梁的根部位置。DENTSORAS等[9]针对裂纹出现在悬臂梁根部的情况，研究了常温下共振区域附近激励频率对结构疲劳裂纹扩展的影响。由于裂纹的扩展会改变结构件的动态特性，所以结构动响应分析时应该考虑疲劳裂纹扩展与振动的相互作用。刘文光等[10]利用线弹性扭转弹簧和拉压弹簧等效悬臂梁根部裂纹段，通过同步分析法研究了常温下外激频率和阻尼等对疲劳寿命的影响，忽略了外界温度变化对裂纹悬臂梁疲劳寿命的影响。然而在悬臂梁的实际应用中，由于使用环境的复杂性，外界温度的变化会严重影响疲劳寿命预测的准确性；同时疲劳裂纹可能出现在悬臂梁表面任意位置，疲劳破坏也可能发生在悬臂梁根部区域的任意位置。所以振动和疲劳寿命分析时应考虑外界温度和根部区域裂纹几何参数的影响。因此，在不同温度下对裂纹结构进行模态和疲劳寿命分析具有很高的工程使用价值。

本文通过弹性模量引入温度模块，用扭转弹簧来代替结构裂纹，通过对含有任意位置横向裂纹的悬臂梁的模态分析，推导出不同温度下含裂纹悬臂梁固有振型的特征方程，分析了温度和裂纹几何参数对结构固有振型的影响。通过复弹性模量引入阻尼模块，并基于修正Paris方程和同步分析法，使得裂纹梁的振动分析和疲劳寿命估算同步进行，分析了温度、阻尼和悬臂梁根部区域裂纹几何参数对疲劳寿命的影响。为不同温度下含初始裂纹悬臂梁结构疲劳寿命的有效预测提供了一种方法。

1 模型建立和模态分析

1.1 裂纹悬臂梁梁模型的建立

裂纹梁原始模型

扭转弹簧模型

Fig.1 Cracked Cantilever beam(Length:l;Width:b;Height:w;Crack Depth:a)

(1)

式中：ET和vT分别为不同温度下材料的弹性模量和泊松比。材料的弹性模量ET通过文献[12]来求解：ET=εET=20 °C，ε为不同温度下弹性模量的比例系数。文献[13]给出了表达式：

(2)

63.56ζ6-103.36ζ7+147.52ζ8-

(3)

1.2 模态分析

图1所示的含裂纹悬臂梁为等截面均质直梁，则该梁的振动微分方程可表示为

(4)

式中：ρT为不同温度下的材料密度;A为该梁的横截面面积;I为横截面惯性矩。

式(4)是一个四阶常系数线性齐次偏微分方程，可利用分离变量法来求解。当该裂纹悬臂梁受到初始激励开始自由振动时，其横向固有振动可表示成：

(5)

将式(5)代入式(4)，可以得到两部分梁的运动方程，求解得到振型表达式如下：

(6)

如图1所示，该裂纹梁的边界条件[14]为

当x=l时：M2(l)=0，F2(l)=0

当x=lc时：y1(lc)=y2(lc)，M1(lc)=M2(lc)，

F1(lc)=F2(lc)，

(7)

将式(6)代入式(7)中，可以得到含待定系数C1,C2,…,C8的代数方程组。由代数方程有非零解的条件，即系数行列式的值为零，即可得到求解含裂纹悬臂梁固有频率的特征方程：

(8)

(9)

通过对式(8)的求解，可以得到该裂纹悬臂梁在裂纹处于不同几何参数(相对位置和相对深度)时所对应的固有频率ω。求解上述方程时，弹性模量只取其中的储能模量部分。式(8)表达了结构固有频率与裂纹相对位置和裂纹相对深度之间的一一对应的关系，对结构裂纹的检测具有十分重要的理论意义。

2 动应力分析

2.1 裂纹悬臂梁的振型函数

若在该裂纹悬臂梁的右端作用一个垂直方向的简谐激励F0eiω1t，则该裂纹悬臂梁的边界条件应修改为

(10)

假设在该简谐外激励作用下，裂纹悬臂梁的振型函数为

(11)

根据上述的边界条件，将式(11)代入式(10)可以求解出振型函数的系数C11,C22,…,C88的值，得到在简谐外激励作用下该裂纹悬臂梁的振型函数。

2.2 动应力分析

由于图1中，该裂纹属于工程中最常见的裂纹形式——张开型(I型)裂纹，且对结构的破坏程度非常严重，对结构振动特性的影响也十分明显，所以本文以I型裂纹为研究重点。根据HOOKE定律：

(12)

取0-lc段，则得到结构的该裂纹悬臂梁梁表面的动应力响应：

(13)

在裂纹处(x=lc)，裂纹位置的动应力表达式为

(14)

按照静力学理论，该悬臂梁自由端受到垂直方向恒定作用力时的动应力为

(15)

则裂纹尖端最大动应力可以表示为

(16)

(17)

式中：κ是动应力放大系数，表示激励频率和裂纹扩展对动响应的放大程度，也描述了应力响应幅值的变化规律。

3 疲劳寿命分析

3.1 动应力强度因子

动应力强度因子KI是在振动环境下表征裂纹尖端应力场分布的物理量，动应力强度因子与裂纹长度的关系式为

(18)

式中：ΔKI为动应力强度因子的振幅；Δσd为每个振动周期内动应力的振幅；f(ζ)为裂纹修正因子，根据裂纹类型和加载形式[15]：

f(ζ)=1.122-1.4ζ+7.33ζ2-13.08ζ3+14ζ4

(19)

3.2 疲劳裂纹扩展速率

在不同温度下，应力强度因子保持不变时，不同材料对应的疲劳裂纹扩展速率主要受到弹性模量的影响。考虑到温度的影响，SPEIDEL[16]提出了一种关于Paris公式的修正方程。对于大多数的高温合金，该修正方程可有效的估算任意外界温度下结构疲劳裂纹的扩展速率：

(20)

因此本文利用该修正方程来模拟不同外界温度下裂纹悬臂梁疲劳裂纹的扩展，得到疲劳裂纹扩展速率模型：

(21)

3.3 疲劳裂纹扩展分析

在简谐激励作用下，结构的受迫振动会导致疲劳裂纹的扩展；而疲劳裂纹的扩展同样会改变结构原有的动态特性，导致裂纹尖端区域应力场分布发生变化，并最终影响疲劳裂纹的扩展特性；两者之间存在相互作用。因此，本文采用同步分析的方法，即裂纹悬臂梁的振动分析与疲劳裂纹的扩展寿命的估算同步进行，提高疲劳裂纹寿命的估算精度。

具体的步骤是，将结构每振动一周计算出的动应力幅值假设为一个恒定值，代入式(23)，积分后得到每振动一周的疲劳裂纹扩展增量。结构受到变振幅载荷的作用时，裂纹的最终深度可由叠加法来计算，表达式为

(22)

式中：a0为裂纹初始深度;Δaj为第j次循环的裂纹增量;i为总振动循环次数;a为振动i次之后的裂纹总深度。

利用式(21)积分，可计算横幅值载荷激励下的疲劳裂纹扩展增量：

(23)

振动循环的增量为

(24)

考虑到ΔNj很小(本文取ΔNj=1)，则有：

(25)

所以，裂纹中心点的疲劳裂纹扩展增量表达式为

(26)

3.4 疲劳裂纹失效判据

为了判断该裂纹悬臂梁是否失效，本文采用以下判据

准则1 在任意外界温度下，如果结构裂纹扩展至该裂纹悬臂梁的中面时，就认为该结构已经破坏。

(27)

式中：ac为临界裂纹长度，本文取ac=w/2。

准则2 在任意外界温度下，如果裂纹尖端应力强度因子大于材料的断裂韧性时，就认为结构已经发生失稳断裂。

(28)

式中：Kmax,T为最大应力强度因子；Kc,T为材料的断裂韧性，并且材料的断裂韧性随温度的变化可以忽略不计。

准则3 在任意外界温度下，如果结构危险位置最大应力大于材料的强度极限时，就认为该结构发生破坏。

(29)

式中：σmax,T为结构最大动应力；σb,T为材料的强度极限，ECCS根据温度变化给出了钢的强度公式：

(30)

4 结果与讨论

以图1所示的裂纹悬臂梁为例，假设结构的几何尺寸为：l=0.3 m、w=0.02 m、b=0.002 m；结构材料为AISI1050低碳合金钢[17]，材料参数为ET=20 °C=210 GPa、σb,20 °C=723.45 MPa、Kc,20 °C=1 172.2 MPa·m0.5、ρT=7 860 kg/m3、vT=0.33、ΔKth=0.934 21 MPa·m0.5。

4.1 裂纹几何参数对裂纹梁固有频率的影响

在常温(T=20 °C)状态下，假设该疲劳裂纹的几何参数如下：lc/l∈[0,1]，a0/w∈[0,1]；裂纹几何参数不同时对应的裂纹悬臂梁第一阶固有频率如图2所示。

由图2可以得到，在裂纹相对深度相同时，随着裂纹逐渐远离固定端，该悬臂梁第一阶固有频率逐渐增大，并且增大的幅度逐渐减小；在裂纹相对位置相同时，随着裂纹相对深度逐渐增大，该悬臂梁第一阶固有频率逐渐减小，并且减小的幅度逐渐增大。当裂纹逐渐接近该悬臂梁自由端时，该裂纹对悬臂梁第一阶固有频率的影响逐渐减小；当裂纹处于该悬臂梁自由端区域时，该裂纹对悬臂梁第一阶固有频率的影响可以忽略不计。

图2 裂纹几何参数不同时裂纹梁第一阶固有频率的变化规律

4.2 温度对裂纹梁固有频率的影响

由图3可以得到，当裂纹相对位置不变时，随着外界温度的逐渐升高，该悬臂梁第一阶固有频率逐渐减小，并且减小的幅度逐渐增大，因此外界温度对该裂纹悬臂梁第一阶固有频率的影响非常大；当外界温度不变时，随着裂纹相对位置逐渐远离固定端，该悬臂梁第一阶固有频率逐渐增大，并且增大的幅度逐渐减小。当裂纹相对深度不变时，外界温度对该悬臂梁第一阶固有频率的影响比裂纹相对位置大得多。

4.3 裂纹几何参数对疲劳寿命的影响

在实际使用过程中，结构件大多处于宽频激励的振动环境中，使得结构件很可能处于共振状态，最终导致共振疲劳破坏。在相同幅值的外激励作用下，第一阶模态共振引起的疲劳破坏最为严重。因此本文主要考虑在第一阶模态共振状态下，结构疲劳裂纹的扩展。对于悬臂梁结构，疲劳破坏大多出现在根部区域。

假设材料的阻尼损耗因子γ=0.05，外界温度T=20 °C；计算步长取ΔN=1周；激励幅值为50 N，保持不变。

选取悬臂梁根部区域的初始裂纹几何参数：

不同裂纹几何参数对应的结构疲劳寿命列入表1中。

表1 悬臂梁根部区域不同裂纹几何参数对应的疲劳寿命值

表1数据显示，在悬臂梁根部区域，裂纹初始相对深度相同时，结构的疲劳寿命随着裂纹远离固定端逐渐变大；裂纹的相对位置相同时，结构的疲劳寿命随着裂纹初始相对深度变大而逐渐减小；当根部区域的裂纹初始深度不同时，任何裂纹位置均可能发生疲劳破坏。因此，裂纹悬臂梁的疲劳破坏可能发生在根部区域的任意位置，含裂纹悬臂梁的疲劳寿命由裂纹相对位置和初始相对深度共同决定。

4.4 温度对裂纹梁疲劳寿命的影响

由图4可以得到，当裂纹的初始几何参数和材料的阻尼损耗因子不变时，随着外界温度的逐渐升高，该裂纹悬臂梁的疲劳寿命逐渐减小，并且减小的幅度逐渐增大。因此，当外界温度较低时(T∈[20 °C,100 °C])，外界温度对该裂纹悬臂梁疲劳寿命的影响很小；而高温对该裂纹悬臂梁的疲劳寿命影响非常大，会显著减小该结构的疲劳寿命。

图4 不同温度下裂纹悬臂梁的疲劳寿命曲线

4.5 阻尼对裂纹梁疲劳寿命的影响

图5 不同阻尼损耗因子对应的裂纹悬臂梁的疲劳寿命曲线

由图5可以得到，当裂纹的初始几何参数和外界温度不变时，随着材料的阻尼损耗因子逐渐增加，该裂纹悬臂梁的疲劳寿命逐渐增加；当材料的阻尼损耗因子很小时，小阻尼对结构疲劳裂纹扩展速率的影响很小；当材料的阻尼损耗因子较大时，大阻尼对结构疲劳裂纹扩展速率的影响非常显著。

5 结 论

利用扭转弹簧等效代替结构裂纹，研究了裂纹的几何参数和外界温度对裂纹悬臂梁第一阶固有频率的影响；在共振状态下，研究了裂纹的相对位置、外界温度和材料阻尼损耗因子对裂纹悬臂梁疲劳寿命的影响。主要得到以下结论：

当裂纹逐渐接近该悬臂梁自由端时，该裂纹对悬臂梁第一阶固有频率的影响逐渐减小；当裂纹处于该悬臂梁自由端区域时，该裂纹对悬臂梁第一阶固有频率的影响可以忽略不计。

外界温度对该裂纹悬臂梁第一阶固有频率的影响非常大，随着外界温度的逐渐升高，该悬臂梁第一阶固有频率逐渐减小，并且减小的幅度逐渐增大。

裂纹悬臂梁的疲劳破坏可能发生在根部区域的任意位置，含裂纹悬臂梁的疲劳寿命由裂纹相对位置和初始相对深度共同决定。

当外界温度较低时(T∈[20 °C,100 °C])，外界温度对该裂纹悬臂梁疲劳寿命的影响很小；而高温对该裂纹悬臂梁的疲劳寿命影响非常大，会显著减小该结构的疲劳寿命。

当材料的阻尼损耗因子很小时，小阻尼对结构疲劳裂纹扩展速率的影响很小；当材料的阻尼损耗因子较大时，大阻尼对结构疲劳裂纹扩展速率的影响非常显著。

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Modal and fatigue life analysis of a cracked cantilever beam under different temperatures

MA Yijiang, CHEN Guoping

(The State Key Laboratory of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Based on the torsion spring model and the modified Paris formula, an analytical method was proposed to predict the fatigue life of a cantilever beam with an initial crack under different external temperatures. In the modal analysis process, the temperature module was introduced through the elastic modulus, and the cracked cantilever beam was transformed to two intact elastic beams by using a torsion spring to replace the crack segment; An inherent vibration characteristic equation of the cracked beam would be deduced under different temperatures, and effects of temperatures and crack geometric parameters on the frequency of the cracked beam would be analyzed. In the fatigue life analysis process, the damping loss factor was introduced through the complex elastic modulus. Considering the interaction of the cracked beam vibration and the fatigue crack growth, effects of temperatures, dampings and crack geometric parameters on the fatigue life of the cracked beam would be analyzed based on the modified Paris formula and the timing analysis method. Results indicate: the natural frequency and fatigue life of the cracked cantilever beam gradually decrease with the decreased relative position and the increased relative depth of the crack. And the increase of external temperature leads to the decrease of the natural frequency and fatigue life of the cracked cantilever beam. The fatigue life of the cracked beam gradually increases with the increased damping loss factor.

crack; cantilever beam; torsion spring; temperature; vibration and fatigue

江苏高校优势学科建设工程基金资助

2015-10-28 修改稿收到日期：2016-03-08

马一江 男，博士生，1989年生

陈国平 男，博士，教授，1956年生 Email：gpchen@nuaa.edu.cn

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A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.021