求函数值域的问题

白燕峰

摘要：函数的值域是函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一。求函数的值域在知识上，除涉及函数的所有知识外，还需要不等式等其他重要知识点；在解题方法上，具有较强的综合性，学生在学习数学过程中，函数是重要的内容，既是重点也是难点。

关键词：函数值域；解题方法；重要内容；重点难点

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0107

求函数的值域是学生感到棘手的问题，它所涉及的知识面广，方法灵活多样，在考试中经常出现，若方法运用得当，就能起到化繁为简、事半功倍的作用。本文就函数值域的常用求法归纳如下，供参考。

其一，配方法：主要是针对二次函数或可化成二次函数型的最值及值域问题，可用此法。

例：1. 求函数y=-x2+2x+3的值域

解析：y=-（x-1）2+4，当x=1时，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。

2. 求函数y=32x+2·3x-1在[0，1]上的最大值。

解析：令3x=t，则y=t2+2t-1=（t+1）2-2

x∈[0，1]，t∈[1，3]，当t=3时，y最大=14

其二，换元法：若函数表达式中含有根式、分式、指数式、对数式等，可考虑用此方法：

例：1. 求函数f（x）=x+2 的最大值。

解析：方法一：设 =t t≥0，x=1-t2

y=-（t-1）2+2，当t=1即x=0时，y最大=2

方法二：利用导数法，定义域是{x/x≤1}

f ′（x）=1- 由f ′（x）=0，得x=0

当x<0时，f′（x）>0，f（x）为增函数

当0

当x=0时，f（x）最大=f（0）=2

2. 求函数y=x+y=x+ 的值域

解析：换元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2

设x=2cos，θ∈[0，π]，则y=2cosθ+ =2cosθ+2sinθ=22 （θ+ ）

∵θ+ ∈[ ， ]，∴sin（θ+ ）∈[ ，1]

∴y∈[-2，2 ]

其三，导数法（利用函数单调性）

函数y=ax+ （a>0，b>0）被称为对勾函数，以此为背景的考题，曾是考试热点。

例：谈论函数f（x）=ax+ （a>0，b>0）的单调性

解析：f ′（x）=a- 令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±

当f ′（x）>0 x> 或x<-

当f ′（x）<0 -

f（x）在（-∞，- ]，[ ，+∞）上是增函数

f（x）在[- ，0），（0， ]上是减函数

2. 求函数f（x）=x+ 在[3，+∞]的最小值

解析：此函数是对勾函数，由其性质，知f（x）在[3，+∞]上是增函数，所以，其最小值是 。

其四，分离常数法

例：1. 求函数y= 的值域

解析：y=2+ 其值域是{y/y≠2}

2. 求y= 的值域

解析：法一：分离常数法，y= 由2x-1>-1

知 <2或 >0，∴y>1或y<1

法二：反函数法2x= ，x=log2

由 >0，得y>1或y<-1。

3. 求函数y= （x>1）的最小值。

解析：∵x>-1，∴x+1>0

原式= =x+1+ +5≥2 +5=9

当且仅当x+1= ，x=1时，等号“=”成立

∴当x=1时，原函数的最小值为9。（先分离常数，再用不等式法求最小值）

其五，不等式法

例：已知：x>0，y>0 ，且 + =1，求x+y的最小值。

方法一：把求二元函数f（x，y）=x+y，转化为一元函数。由 + =1得y= =9+ ，由x>0y= >0得x>1

∵x+y=x+9+ =x-1+ +10≥2 +10=16當且仅当x-1= 即：x=4时，上式取“=”号

∴x+y的最小值是16。

方法二：对二元函数也可转化为 + 型函数，然后再用均值不等式。

（上接第107页）

∵ + =1∴x+y=（x+y）（ + ）=10+ + ≥16当且仅当 = ，即：x=4，y=12时，上式取“=”号

∴x+y的最小值为16。

其六，线性规划问题，求目标函数的最值问题

例：已知x，y满足约束条件x≥1x-3y≤-43x+5y≤30

①求目标函数，y=2x+y的最值

②求y= 的取值范围

③求y=x2+y2的取值范围

其七，数形结合法，函数表达式具有明显的某种几何定义，如两点距离、直线斜率等，用此方法会更加简单、一目了然。

例：1. 求函数y= + 的值域

解析：y=x-2+x+8可看成数轴上点x与点2与点-8的距离之和，∴y∈[10，+∞）

2. 求函数y= = 的值域

解析：上式可变形为：

y= -

= =

上式可看成在坐标平面内动点P（x，0）到定点A（3，2）与B（-2，1），距离之差。

即：y=AP-BP

由AP-BP≤AB=

∴- ≤y≤

y∈[- ， ]

（作者单位：山西省忻州职业技术学院 034000）