巧用变式，减负增效

郑丽珍

摘要：变式教学，是对教学中的数学问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景等方面的变式。它的核心是设计一系列变式的方法，来展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍情境，从而形成一种思维训练的有效模式。

关键词：九年级数学；变式教学；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0103

通过近几年的变式教学尝试，笔者浅谈几点体会，仅供各位同行参考。

一、变已知条件

我们在数学教学中经常会碰到这样的问题，有些题型看起来陌生，其实它只是稍微改变了一下已知条件，而解题的思路和方法并没有改变。所以，求解时只要牢牢抓住知识考点，万变不离其宗。

例1. 抛物线y=x2+x-7与x轴的交点个数为 个。

变式一：抛物线y=x2+x-7与坐标轴的交点个数为 个。

错解：由b2-4ac>0得，抛物线y=x2+x-7与坐标轴的交点个数为2个。

错因：与坐标轴的交点既要考虑与x轴的交点，还要考虑与y轴的，所以共有3个。

变式二：抛物线y=x2+x+a与坐标轴有两个交点，求a的值。

错解：由b2-4ac>0得，a< 错因同上。正解：由b2-4ac=0得，a=

变式三：抛物线y=x2+x+a与坐标轴有三个交点，求a的取值范围。

变式四：函数y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的图像与坐标轴有两个交点，求a的值。

错解：只考虑了二次函数的情况得a=- 。正解：当a-2≠0时，由b2-4ac=0得，a=- ，当a-2=0即a=2时，一次函数与坐标轴也有两个交点。∴a取- 和2。

反思：审清题意：有没有标明函数类型，是与x轴、y轴还是坐标轴的交点。

可见，通过改变已知条件，学生对知识考点的理解更加透彻了，培养学生在相同背景、不同条件下迁移知识的能力，跳出了题海战术，达到举一反三、触类旁通的效果，增强他们的学习信心，使他们的应变能力得以提高，进而提高教学质量。

二、变问题形式

给定相同的已知条件下，教师通过改变问题的形式，引导学生独立思考，从易到难，层层递进，让不同层次的学生各得其所。

例2. 如图，将正方形ABCD沿AD、BC的中点M、N对折，得到折痕MN。再将点C折至点P的位置，折痕为BQ，连结PQ ， BP。设正方形ABCD的边长为1。

问题1：找出图中相等的量。

问题2：探求PBC的度数。

问题3：△PQR是否是特殊的三角形？

问题4：Q点是否为CD的中点？

问题5：QP的延长线会不会经过点A？

问题6：求MP的长。

问题7：求MP ∶ PN的值是多少？MP ∶ PR ∶ RN又如何？

问题8：聪明的你还能提出哪些有意义的问题？

分析：问题1属于容易题，人人都会；问题2-5属于中等题，层层递进、环环相扣，加深了学生对这类题型的理解，并且问题4、5可以用多种方法解决，也体现了一题多解的变式思想。问题6-7属于难题，可以用相似三角形、勾股定理、方程的思想解决，问题8属于开发题，通过诸多问题的变式，培养了学生的发散思维和求知欲望，同时让不同层次的学生都能吃饱。

可见，变变问题形式，对于一道题不局限于就题论题，而要进行适当变化引申，拓宽思路，培养学生的发散思维，展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，加深了学生对知识点的理解，避免题海战术，取得事半功倍的效果。

三、变已知图形

许多数学题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例3. 题1：如图，A是CD上一点，ABC、ADE都是正三角形，求证CE=BD。

题2：如图，ABD、ACE都是正三角形，求证CD=BE。

题3：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE。

题4：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC。

题5：如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP′重合，若PB=3，求PP′。

反思：上述五题均利用正三角形、正方形的性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明。教师要把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

四、变解题方法

教学中可以一题多解来培養学生灵活运用知识的能力，培养他们的发散思维能力，同时可以激发他们的好奇心、好胜心，培养他们的探索精神。

例4. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，请你猜想CE与CF的大小有什么关系？并证明你的猜想。

分析：解法一：证明△CBE≌CDF（AAS）得CE=CF；

解法二：连结AC，证明△ACE≌△ACF（AAS）得CE=CF；解法三：先证AC平分∠BAD，再根据CE⊥AB，CF⊥AD得CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）；解法四：根据S菱形ABCD=AB×CE=AD×CF（等积法），得CE=CF。

反思：巧用多种方法，发散学生思维，培养学生一题多解的能力，巧用简便方法，可达到事半功倍的效果，激发学生的学习兴趣。

例5. 已知，如图7，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE，CD。求证：CD=2CE。

分析：解法一：取CD的中点G，连接BG，

利用三角形的中位线（BG）的性质和平行线（BG∥AC）的性质

可证△BEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG∴CD=2CE

解法二：取AC的中点F，连结EF，

利用三角形的中位线（EF）的性质和等角（∠ABC=∠ACB）

的补角相等（即∠DBC=∠EFC）可证△EFC∽△DBC∴CD=2CE

解法三：取AC的中点F，连结BF，巧用全等易证CE=BF，

利用三角形的中位线（BF）的性质可得2BF=CD∴CD=2CE

解法四：（利用平行四边形的判定、性质和全等）延长CE到F，使CE=EF，

易证四边形AFBC是平行四边形 ∴BF=AC=BD BF∥AC

∴∠CBF+∠ACB=180°∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∵∠DBC+∠ABC=180°∴∠CBD=∠CBF ∴△CBD≌△CBF（SAS）

∴CD=CF=2CE

解法五：（巧用相似）

∵AC=AB=2AE AD=2AC

∴AE∶AC=AC∶AD=1∶2

又∵∠A=∠A

∴△AEC∽△ACD

∴CE∶CD=1∶2 即CD=2CE

反思：由已知条件，首先应该联想到等腰三角形的性质，还应考虑中点可能联系到三角形中位线的性质，由求证的结论CD=2CE，应联想到若改为CE∶CD=1∶2，可考虑相似三角形，由中点还可以考虑平行四边形对角线等知识。通过本题的变式复习，锻炼了学生灵活运用等腰三角形、三角形中位线、三角形全等、三角形相似、平行四边形等有关知识，加强了解辅助线作法，同时激发了学生的兴趣，提高了课堂的有效性。

实践证明，变式教学能摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，形成“趣学”“樂学”的氛围，让学生成为学习的主人，减小差生面，培养学生良好的思维品质，提高教学效益；并且适当的变式教学是课堂教学艺术的一种表现形式，它防止习题课被上成一种枯燥乏味的课，学生害怕的课；它是活跃课堂气氛、调动学生积极性的一种有效途径；是促进学生进行联想、转化、探索、推理能力的一种主要手段，能有效地提高课堂效率，最终达到提高教学质量的目的。

（作者单位：浙江省江山市城北中学 324100）