高中数学延伸拓展教学的多维研究思路

孟琪

[摘 要] 学生数学素养的提升是教师进行高中数学教学的重要目的. 经过笔者对这种教学方式长期的深度思考以及不断地实践，总结出高中数学延伸拓展教学可从多个维度来体现，即数学知识概念的构建、问题解决的延伸以及思维规律的反思过程，其中最终反思的过程是延伸拓展教学的最重要的环节.

[关键词] 延伸拓展；教学思路；研究维度

现如今的拓展延伸教学虽已有一定程度的发展，但想要走出常规思维中的，尤其是难度递增的变式思路，还需要有更多理论和实践的支撑. 怎样准备延伸拓展的材料还有很大的探究空间，笔者在本文对拓展延伸的几个维度作一探究.

[?] 概念构建，基于内涵外延实现延伸拓展

数学概念是所有数学知识点的根基所在，是历代数学家潜心研究而浓缩出的精炼而严密的语句. 有时概念虽小，但每一个字都起着关键作用，对于学生理解并运用知识点具有重要意义. 笔者认为，应当加大对高中数学中概念教学的力度，利用拓展延伸的教学理念让学生更加重视对概念的理解. 从本质上理解知识点，才能更加得心应手地解决数学问题、应对五花八门的题型.

例如，学生在小学和初中阶段就已经对奇和偶的概念有了一定的认识，但当奇和偶的概念与函数产生关系时，是不是跟学生之前所了解的奇和偶有所不同呢？首先，教师应当先根据课本内容解释函数奇偶性的具体概念. 苏教版高中数学教材（必修1）中对函数奇偶性的定义是：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称y=f（x）是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么称y=f（x）是奇函数. 从定义本身可以看出函数奇偶性的内涵，即关键在于对于某一定义域之内如果满足自变量与因变量的对应的正负关系，那就存在着奇偶性.

正如前文所说，函数奇偶性的概念与学生之前所了解到的奇和偶是完全不一样的概念，那么学生就会产生这样的疑问：函数为什么要用“奇偶”来表示？函数的奇偶性与数字的奇和偶在概念上有什么样的差异？对这些问题的理解每个人都有自己的看法，教师在了解了这些想法之后，就可以引导学生从书中找到对函数奇偶性的具体描述. 书中的引入部分对函数奇偶性概念的解释是这样的：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称的现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵……教材先举出日常生活中一些对称的例子，接着介绍函数奇偶性的定义，强调：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，这是对函数奇偶性的进一步解释. 教材这样安排的用意即要求学生理解从举例到定义的给出，再到对定义的进一步解释，三者存在对应关系，这就是数学教学延伸拓展的体现.

像这样对概念作延伸拓展的例子还有很多，这样的教学理念能让学生对概念的理解更加全面，比如函数奇偶性，学生不仅仅能从拓展的内容了解到函数奇偶性是关于函数图像对称问题的讨论，还能知道用“奇和偶”来表示这种特征的真正用意，从而洞悉数学概念的本质所在，体现学生理解数学概念的价值最大化. 比如学生对函数单调性的理解是这样的：函数图像在一定范围内呈现出单一的变化趋势，类似于我们在生活中所说的单调乏味的意思.

[?] 问题解决，基于发散思维实现延伸拓展

问题解决是高中数学教学的一个重要任务，与高考有着最为密切的联系. 应试教育往往会导致学生在完成学习任务时，为了得到最终的固定答案，而减少对题目的深入理解和反思，这样的做法与延伸拓展的理念是背道而驰的. 想要真正提高学生的数学素养，发散性思维的培养是必不可少的，这也是新课程标准改革对学生的能力要求. 这样的教学方式不仅不会降低学生的应试水平，而且可以通过延伸拓展训练让学生更加自信地运用自己的发散性思维来解决各种各样的问题.

这里简单举一个教材中的习题案例，苏教版高中数学必修二中有这样一道题：判断圆与圆的位置关系. 对于这样的基础题，学生通常会不假思索地运用老师所讲过的最基本思路和方法，即用坐标表示出两个圆的圆心，求出两者的距离，再与两个圆的半径之和作大小比较，最后快速得出答案. 很多学生对于该题的理解就到此为止，这样的做法虽然能让学生轻而易举地解出正确答案，却忽略了题目本身带给学生思维培养的重要作用.

实际上，本题对学生发散性思维的培养是大有裨益的，发散性思维训练也是对学生已有数学知识的一种复习及整合，帮助学生建立自己的数学知识体系. 在大家解出正确答案之后，教师可继续追问学生这样几个问题：大家解出这道题所运用的解题思路是怎样的？是否还有其他的解题思路呢？两个方程以及两个未知数，是否可以运用解方程组的知识来解决这道题？得出的解是否对本题答案的得出有帮助呢？这时学生的思维就不仅仅停留在原先的单一思路上，而是开始尝试用不同的方法解出本题. 如果学生对教师的这几个问题有比较好的反响，教师还可以进一步提出更高层次的问题：打破这两个方程标准式的书写，将方程进行拆分并相减，得到的直线方程与两个圆又有怎样的联系？当然，这是一个难度较高的延伸拓展，教师可视学生课堂上的具体表现来决定拓展思路的难易程度.

即使是一道简单的题目，也同样具有多方位进行延伸拓展的价值，可使学生改变脑子里所固有的解题思维，将思维角度拉伸到更加广泛的知识体系中去. 在实际教学中，有限的教学时间往往不允许教师在一道题目上停留太久，所以更多的是教师在讲解完一到两种思路之后，提出拓展问题留给学生进行自主思考和探究，目的在于增强学生思维发散的意识. 高中数学题型纷繁复杂且具有一定难度，发散性思维有助于学生在应对棘手问题时，能够更加沉着、冷静地分析并分解题目所给条件，化难为易，从而提高问题解决的能力.

[?] 学习反思，基于思维规律实现延伸拓展

学生的反思能力是高中数学学习能力的重要组成部分，与概念建构和问题解决不同的是，反思能力更多体现的是学生自身的学习品质问题，也不仅仅体现在数学学习方面，而是贯穿学生学习所有知识过程的始终. 反思的过程亦可谓对所学知识的延伸拓展过程，而当下的高中数学教学对反思这一过程的重视程度是远远达不到学生学习品质的培养要求的.

笔者曾经尝试从数学概念建构、数学规律以及问题解决等方面来引导学生进行反思. 实际上，在问题解决这一环节所进行的反思活动，达到的效果是最佳的，学生因为应试需求，对问题解决环节的反思也最为重视. 然而在实际的教学模式中，出于对应试教育的考量，教师往往三言两语将概念性的语句快速讲解完，紧接着就开始用习题进行对知识点的巩固，而不去反思知识点概念的本质，这非常不利于学生对数学概念的构建.

例如，在苏教版高中必修一的函数概念与基本初等函数中学习到的分段函数，教材给出了一个实际生活中的问题，即出租车收费标准的问题：某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内（含3 km）路程按起步价7元收费，超过3 km以外的路程按2.4元/km收费. 试写出收费额y关于路程x的函数解析式.

这一问题的解决有两个过程：一是生活事实向数学表达的抽象，这一步并不复杂；二是分段函数的得出. 有学生在解题过程中会写出y=7，0

7+2.4（x-3），x≥3的表达式.而在教师给出y=7，0

7+2.4（x-3），x>3之后，有学生认为两者并无本质区别. 于是，数学形式与数学本质之间的关系就成为可以延伸拓展的重要研究命题之一. 从教师的角度来讲，教师必须知道数学内容与数学形式之间的关系；而对于学生的学习而言，需要让学生知道的则是每一个数学内容都应当有对应的数学形式，数学形式背后是数学逻辑关系的体现. 只有认识到这一点，基于分段函数的延伸拓展教学，才有了纯粹的数学意义.

高中数学延伸拓展教学有利于提高学生的数学能力，在高中数学教学过程中扮演不可或缺的重要角色. 普通高中数学课程标准明确要求，高中数学教学必须首先考虑学生的具体情况并结合固有的教学内容，在此基础上进行延伸和拓展，让学生不再只是为了做题而做题，而是真正对遇到的数学问题有自己独到的见解和研究，这样的拓展才能让学生体验到更为丰富、有趣的数学研究过程，从而增强自主解决问题的能力.

总而言之，高中数学教学的延伸拓展对学生各方面思维能力的培养具有重要意义，能够促使学生在数学概念建构、问题解决以及反思的过程中，提高自身的数学素养和学习品质. 因而，我们要加大高中数学延伸拓展教學的多维研究.