“正弦函数的图像与性质”教什么

凡胜富

[摘 要] 通过对两节“同课异构”公开课教学细节的观察与感悟，让笔者学会了在比较中学习、反思，在反思中理解教材、领悟教学，不能沉浸在自己的教学理念中，更不能“拿来主义”.

[关键词] 正弦函数的性质；反思；理解

近日笔者有幸参加了阜阳市高一数学联片教研活动，观摩了两节题为“正弦函数的图像与性质”公开课，学生发言积极，合作频繁，听课者一致认为突出了学生的主体地位，下面本人结合自己的教学实践对课例分析谈谈教学思考.

[?] 课堂教学实录

1. 教学过程与方法

教师甲：通过引导学生回顾画出正弦函数的图像，由形到数，进而定性发现三角函数的性质，并做定性研究.

教师乙：从一般函数与三角函数之间的关系出发，渗透分而治之、各个击破的研究策略，通过对正弦函数图像的观察，发现性质、解释性质，掌握由数到形、数形结合的数学思想.

2. 片断呈现

（1）问题情境设置环节

教师甲：如何作出正弦函数的图像？一般来说，我们从哪些方面去研究一个函数的性质？引导学生自主研究正弦函数的性质，并自行提炼相关结论.

学生：根据老师提出的问题，逐一解答，师生互动交流、步步深入，进而为进入新知搭建好平台.

教师乙：研究基本初等函数的一般过程：定义—图像—性质—应用. 我们共同回顾正弦函数的定义和作出正弦函数的图像.

学生：学生在老师的引领下回顾了研究初等函数的一般过程，很快有了研究正弦函数的思路，然后投入到画正弦函数的图像和观察图像过程中去.

教师甲引导学生根据已有的知识经验，通过思考分析来获得知识，在学习过程中充分发挥学生的主观能动性，积极参与学生活动，思考问题. 教师乙带领学生回顾研究函数的性质来点明主题，让学生感受、理解知识的产生和发展过程，培养学生的问题意识和科学精神. 课堂导入在于导入的目的性、针对性、启发性，故笔者认为做以下调整导入更有启发性：在必修1中我们学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（简单回顾一下这些函数的图像与性质），那么今天我们学习的正弦函数又有哪些性质呢？

（2）新知构建及学生活动环节

学生活动：小组讨论、交流，然后小组代表分别上讲台展示正弦函数曲线f（x）=sinx（x∈R）的图像及性质、导学案上的导学自测.

（学生活动8分钟左右）

小组代表结合正弦函数图像一一给大家讲解定义域、值域、周期、单调性、奇偶性.

教师甲：在学生讨论交流过程中，深入到小组中去发现问题，及时帮助学生解疑，学生点评展示环节及时补充和点拨不到位的地方，重点帮助学生在单调性和对称轴、对称中心问题上做一感性认知.

学生：学生分两组分别用五点法、单位圆中正弦线画出f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图像，然后观察图像得到一个周期内的性质.

教师乙：在學生从一个周期内的图像观察得到的性质进行拓展到整个定义域内的性质，重点带领学生用周期定义?x，f（x）=f（x+T）讲解正弦函数的周期性，奇偶性定义?x，f（x）=±f（-x）解释正弦函数的奇偶性，用数学本质教学并用几何画板演示了中心对称，

教师甲用导学案模式很好地体现了先学后教、以学定教，教师的主导作用和学生的主体作用，然而这节课从形式上看学生的学习方式涉及独立思考、自主探究、合作交流等，但是学生的思维没有真正撞击出火花. 从学生对正弦函数的单调性、对称性、周期性讲评来看，学生收获的只是从形上感性认知，没有真正从数学本质上去探究，而教师的补充也只是帮助学生由形到数的理解. 教师乙注重问题引领，学生自主探究，时刻关注学生自主学习能力的培养，本节课很好地教会了学生研究三角函数的一般流程. 笔者认为在学生结合图像研究性质之前应引导学生找出单调区间、对称轴、对称中心时去发现他们分别有何规律？强化正弦函数的周期性的理解及这个难点的突破而不应只引导学生由图像得出性质，这样不仅容易把学生思维局限在图像上，也不利于学生全面理解数学.

（3）知识应用环节

研究完正弦函数性质后，教师甲分别找了4位学生板书导学案上题目如下：

1. 利用五点法画出函数f（x）=sinx+1的简图，并根据图像讨论它的性质.

想一想：函数f（x）=sinx+1与正弦函数f（x）=sinx有何异同？

变式训练：已知函数f（x）=asinx+b的最大值是1，最小值为-3，试确定该函数的单调区间.

2. 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小.

（4个学生板书中其他学生各自完成自己的任务，大约6分钟以后）

学生：上台板演的学生各自讲解自己的解题思路.

教师甲：由于难度问题，教师对变式训练、2（2）进行补充讲解，最后由于时间紧张简单的对课堂作了小结.

1. 利用五点法画出函数f（x）=sinx+1的简图，并根据图像讨论它的性质.

2. 不求值，比较各组数的大小关系.

（1）sin-与sin-，

（2）sin与sin.

学生：给学生留了3分钟时间各自独立思考，问题1找学生口述，问题2学生上黑板板演

教师乙：对问题2引导学生借助正弦函数图像利用单调性进行比较大小，最后带领学生进行本节课总结.

两位教师教学设计思路是一致的，可见对教材的理解是透彻的，而知识应用的载体选择不同，带来的效果自然也不相同，作为正弦函数性质第一课时教师甲的选题难度明显较大，且变式训练题没有能起到变式的作用，对本节课学习目标完成没有起到画龙点睛的作用. 教师乙紧扣教材，有利于达到学习目标. 练习要做到目的性、针对性、层次性，本节练习就是要进一步熟悉三角函数的图像，进一步理解三角函数的性质.

[?] “正弦函数的图像与性质”教什么

鉴于对两位教师的教学比较，笔者认为“正弦函数的图像与性质”教学应该从以下几个方面入手：

1. 教数学的对象研究的一般方法与规律

在本章4.3节已经有了“利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的性质”的情况下，再安排本节意义何在？本节开头的那句话“本节进一步研究正弦函数的性质”体现在哪？以及教材上的“思考与交流”处，“利用正弦函数的图像和诱导公式探究对称轴和对称中心”，鉴于这些笔者认为本节应在定性到定量上下功夫. 在4.3节在单位圆中学生已经直观地认识了正弦函数的性质，本节应该结合诱导公式理性来说明性质，不能总“螺旋”而不“上升”.

2. 教周期函数的一般研究思路和方法

三角函数是刻画周期现象的函数模型，在本章应教会学生研究函数周期现象的一般方法：在一个基本周期内研究性质，该函数在其他周期内重复基本周期区间的性质.

3. 教“真难点”

正弦函数的性质中真正的难点是对单调区间的认识，和对称轴、对称中心的获得，突破这些难点的手段是强化周期概念和认识，教学中应在此处下功夫. 另外学生未必对k∈Z真正理解，教学中应对单调区间、对称轴、对称中心具体化.

4. 教数形结合，利用图像研究性质，教学中应强化数形结合思想的应用

图形是看得见的语言，应重视单位圆的教学，单位圆不仅仅说明了三角函数定义和绘制图像，还可以借助单位圆的直观特点，来很好地帮助学生理解正弦函数、余弦函数的周期、最值、诱导公式、单调性、奇偶性等性质，又能更好地反映问题的本质. 在学习三角函数的整个过程中，都给我们提供了很好的几何直观.

最后，一个教学理念：“教什么永远比怎样教更重要”. “教什么”是内容是本质，“怎么教”是形式是技术，形式要服从内容. 章建跃说过“理解数学，理解学生，理解教学”，只有这样，课堂立意才能深远.