试析导数在学习函数中的应用

郭冠驿

(湖南师大附中梅溪湖中学，湖南 郴州 423000)

试析导数在学习函数中的应用

郭冠驿

(湖南师大附中梅溪湖中学，湖南 郴州 423000)

导数是新课程改革之后增加的内容，它在高中的数学中作用是非常明显和突出的，在高中的阶段我们进行导数的学习，可以为我们解决函数的问题提供非常有利的一个工具和渠道，同时利用导数我们也可以解决函数中的最值问题，帮助我们更好地对函数的形态进行了解，同时掌握函数的思想，帮助我们发展自己的思维能力.

导数；函数；学习；应用

导数在对函数进行研究中的用途是很广泛的，因为函数是对一个客观世界的变化规律进行描述的非常重要的模型，因此我们在对函数进行研究的时候，要了解它的增减性增减的快慢情况以及最大值最小值的性质问题，而导数对于这些问题的解决是非常有效的.

1.求函数的单调性

如果利用导数来对函数的单调性进行研究，就必须要求学生会求不超过三次方的多项式函数中的单调区间，简单点来说，可以归纳总结如下.如果函数在某个点的导数是比零大的，那么这个函数在这个点附近是单调递增的，反之，这个函数在这个点附近就是单调递减的.在这个研究的过程当中，要注意的是我们知道函数在这个点附近的增减情况，但是如果在整个区间当中函数的导数都是恒大于零或者恒小于零，那么函数在整个区间都是单调递增或者单调递减，如果函数在这个区间中出现一直都等于零的情况，那么就说明这个函数在这个区间上，是一个常数函数.我们对函数的单调性进行判断有两种常用方法，一种是直接利用函数单调性的定义来进行判断，简单点来说就是利用两个点所对应的函数值的差与零之间的关系来进行判断，但是这样的判断过程是比较繁琐的，而利用导数的相关结论来对函数的单调性进行判断，这种方法不仅迅速快捷，同时也更加容易让同学们联想到.

2.求函数的极值

对于可导函数来说，在某一个点的导数是零，是这个函数取得极值的一个必要的条件，这个条件是必不可少的.因为有的函数，它虽然在某一个点的导数等于0，但是不管它是在定义域大于零的区间还是在定义域小于零的区间，它的绝对值都恒大于0，它是一个单调递增的函数.在这样的情况下，这个点也不会成为这个函数的极值点.也就是说一个函数要在某一个点获取极值，它的充分条件是这个函数在这个点的导数等于0，并且在这个点附近的两侧的导数值异号.

我们在对函数极值的点进行判断的时候，一定要注意函数的极值点，它肯定是在区间内部的，因此这个区间的端点是不可能成为函数的极值点.如果一个函数在一个开区间内是单调函数，那么它在这个区间上就没有极值.有些点不存在导数，但是它也有可能成为极值点，在这样的情况下，结合具体的图象来进行分析.在函数的定义域当中有可能会出现多个极大值点或者极小值点，并且极大值不一定要比极小值要大.我们在对可导函数在定义域内的极值进行讨论的时候，如果这一个函数的导数所获得的实根比较多，我们最好使用表格的形式，这样才可以使得极值点一目了然，并且在讨论的时候要注意分类讨论的进行.

3.求函数的最大值或者最小值

对于函数来说，集中反映的是他在某一个点附近的局部性质，并不是它在整个定义域上的性质.在对实际问题进行解决或对函数的性质进行研究的时候，我们都会去关心函数在一个指定的区间上哪一个值是最大的，哪一个角色是最小的，由此诞生了函数的最大值或者最小值的问题.函数的最大值或者最小值是在函数的极大值或者极小值的基础上发展所得到的.如果从函数的图象上观察，我们可以比较直观地发现，如果一个函数在闭区间上的图象本身是一条连续不断的曲线，那么它在闭区间上肯定是有最大值或者最小值的.因此，我们在探讨的时候只需要把这个函数的所有的极值点和端点的函数值进行比较，就可以从里面看出函数的最大值或者最小值.

4.生活中实际问题的应用

生活中，我们常常会遇到一些求利润的最大值、如何使用材料最节省或者效率最高的问题，这些问题也是我们常说的优化性问题，也是最值问题.对这类问题进行解决有很强的现实意义.我们常常可以把这些问题转换成数学中的函数问题，然后将其转化成求函数的最值问题.在这样的情况下，导数就是解决这类问题比较强有力的一个工具.

综上所述，在对函数的增减性变化的快慢和最值的问题求解的时候，导数是一个非常有用的研究工具，我们在学习的时候要准确地对导数的知识进行合理地掌握，从而帮助我们更好地解决各种函数的问题.

[1]刘晓华，邬坚耀.导数在研究函数中的应用[J].数学教学通讯，2015(26)：34-36.

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

郭冠驿( 2000.07-)， 男，湖南师大附中梅溪湖中学在校学生.

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1008-0333(2017)28-0017-01