紧扣实质 优化细节——以《烙饼问题》教学为例

王相春

近期，笔者参加了一次同课异构活动，课题是《烙饼问题》（人教版四年级上册第105页）。在听课过程及交流评课中，引发了笔者对这节课教学的一些思考，写下来与各位同行交流学习。

一、本节课的教学实质是什么？

众所周知，“数学广角”中的教学内容题材丰富、生动有趣，富有思考与探究空间。其实质是通过这样的学习素材，比较系统而有步骤地渗透数学思想方法，重视解决问题的探究过程，呈现或突出学生的思考过程，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，积累数学活动经验。

那么，《烙饼问题》这节课的数学思想方法是什么？需要经历哪些探究过程呢？又会积累哪些数学活动经验呢？

在《烙饼问题》的前一课时《沏茶问题》中，学生知道了一些优化的方法，即合理安排做事的环节，可以节省时间。教材通过日常生活中的烙饼事例，“怎样才能尽快吃上饼”这样一个数学问题，引发了本节课对“最优烙饼方案”的数学探究与思考。解决一个问题，需要思考有哪些方案或途径，在这些方案或途径中，哪个又是最优、最节省时间的？需要进行比较和探究。这样一种思维、发现、体验与感悟，是非常有价值的。这就是教材的编写意图，也是人教版教材编写“数学广角”的价值所在，魅力所在。“烙饼”这样一个或一类于现实生活中常见却没有被关注的事例，通过我们的教学，让学生发现，这其中有数学问题，也有思维策略，从而积累一些活动经验。

二、教学过程中几个细节的再优化

1.烙饼方法的多种表征手段的融合与优化。

烙饼方法，对学生来说应该是比较抽象、不易理解的，虽然学生在生活中接触过烙饼的情境，但缺乏烙饼的实际经验。

因而，我们要让学生经历烙饼的过程，体验不同的烙饼方法及结果，这样的环节必不可少。比如，烙三张饼时，就需要充分的展开，安排学生动手操作（以桌面代替锅，以圆片代替饼）。在动手操作时，还要让学生用语言表达烙饼的过程，边操作边讲，并把过程记录下来，边说边记。从操作到语言，语言到图示，各种表征方法融合在一起，从具体到抽象，从抽象到形象，让学生充分经历烙饼的过程。然而，语言层次的表述比较困难，学生往往词不达意，但这样的环节却必不可少，因为思维必然要经历一个从混沌到清晰的过程。因此，可以引导学生学会用符号、图示、数字等表达操作过程或思维过程，使过程表述变得清晰明了。

怎样记录烙饼的过程呢？教师一般会这样板书（如上图），这似乎没有什么问题。然而，学生在概括时往往答非所问或者比较困难。如果在板书上再加一个圈，即是否满锅显而易见，容易比较得出结论也省时。即前者空着位置，后者是满锅的。空着位置，烙的次数多，时间也多。在讨论时，大家比较认同这样一个细节的优化。

2.多个饼的烙法要适时进行优化。

烙三个饼的最优方案，让学生动手操作探究是非常有必要的。那么，当饼数增加时，是否还需要依次让学生动手操作呢？笔者认为，要适可而止。因三个饼“交替烙”的负迁移，烙四个饼时，学生也会出现“交替烙”的情况，我们不妨让学生再次动手操作，通过“两个两个地烙”与“交替烙”的比较，感悟不同条件应选用不同的烙饼方法。

在讨论五个饼的烙法时，应该让学生脱离操作，对操作方法进行抽象，然后讨论，有意识地让学生对饼数分组，运用已有的结论去解决问题。这样做有几个好处：其一，能提高课堂的效率。如果三个也操作，五个也操作，让学生继续停留在操作的层面，而谓之为让学生体验，笔者认为没有意义。教学应该适时进行提升，让学生掌握运用已有的知识去解决未知的东西，这种思想应该是必备的。其二，让学生体会到分组解决问题的便捷性。最后，让学生体会迁移的思想。为后面多个饼的烙法提供一个策略，或者说是一个模型。

3.经历规律的发现过程，优化观察的结论。

几位教师通过多个饼的探讨，形成了一张表格（见上图），然后引导学生进行观察，提问发现了什么？当学生说饼数与次数相同时，教师马上进行“饼数×每面烙的时间=总时间”这个数量关系的引导与概括（且不说这个数量关系的正确与否），然后就安排练习的环节。

笔者认为，这样安排有“走过场”的形式之嫌。经过多个饼的探讨而有意识形成的表格，是一个非常好的教学资源，应该放手、留足时间让学生经历多个规律的发现过程。培养学生的数学素养，就要让学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题，所以让学生经历从一堆数据中发现规律，并进行探因，是有必要的。

如果说饼数与次数之间存在相等关系（一个饼除外），这个发现是容易的，也是比较直观的。那么“饼数都是分成两个两个或两个两个与三个”，这个发现却是有价值的。为什么有这种分组？是因为前面的探究形成了一种思维上的策略，分组也就意味着利用已掌握的方法或规律去解决问题。

饼数与次数相等时（一个饼除外），多数教师急于引出“饼数×每面烙饼时间＝总时间”这个数量关系，并计算多个饼的总时间。那这个数量关系正确吗？在这道题目里看是正确的，因为饼数与次数相等。然而，当条件发生变化时，显然不正确。那么，这个数量关系的提出是否有必要？笔者认为，可以有这个过程，但需要引导学生探究一下数量关系的背后是什么原因。因为这个数量关系的背后实则是有一种“转化”的思想。一个锅每次烙好两个面，相当于一个饼的两面，即一次能烙好一个饼，几个饼就要烙几次。把每次烙好饼的面数，转化为一次烙好几个饼。这个转化或转换的思想非常具有推广价值。所以表面上的规律总结，还需要再挖掘一次才显得更加科学。

三、时间不够用——一个不能回避的问题

“烙饼”所蕴含的优化思想得以渗透或感悟，需要让学生充分经历知识的形成过程。这个过程包括观察、操作、思考、交流和概括。

通过动手操作去“烙一烙”，直接感知“同时烙”和“交替烙”的烙饼方案，这样学生的数学活动经验才会积累，理解才会深刻。操作也许是表面的体验，知识的内化还需要让学生经历思考与交流。为什么“交替烙”能节省时间？为什么每次烙两个饼时，饼数（一个饼除外）会与烙的次数相等？通过观察、思考、交流，所产生的智慧的碰撞，还需要教师能够抓住时机，适时地引导学生去概括和提升，这样才会加深对知识的理解，才会积累思考的经验，才会感悟思考问题的方式，才会体会本节课所蕴含的数学思想方法。

让学生充分经历知识的形成过程，往往需要时间的保证。笔者比较认同“磨刀不误砍柴工”的观点，过程的充分经历，是非常有价值的。因此不必陷于时间不够用而产生“取舍或压缩”环节的痛苦之中。当然，让学生经历知识的应用过程也是必要的。学生对新知的牢固掌握需要教师提供内容丰富、形式多样的练习，使学生在情境的变换中依然能够用所学知识解决实际问题。在应用中，积累应用的经验，进一步感受数学思想方法的价值。如果时间不够用，不妨增加一些课时，舍得花时间去落实“数学广角”编排的实际意图，才能达到效果的最大化。