机械制图课程中椭圆弧长度的计算方法与应用

周亚辉

（辽宁轨道交通职业学院，辽宁沈阳 110023）

机械制图课程中椭圆弧长度的计算方法与应用

周亚辉

（辽宁轨道交通职业学院，辽宁沈阳 110023）

为解决机械制图中椭圆弧长度计算问题，利用椭圆的参数方程和定积分计算弧长的方法，得到了椭圆弧长度计算的数学模型。该数学模型是非初等函数积分，所以使用了定积分近似计算方法中的梯形法实现了长度计算。在编程软件中编写了计算程序，生成了椭圆弧长度计算器。最后用工程实例，详细讲解了计算器中各参数的输入方法，由计算结果可知该计算器具有较好的实用性。

椭圆；定积分；梯形法；计算器

职业教育是现代国民教育体系的重要组成部分，在实施科教兴国战略和人才强国战略中具有特殊的地位。机械制图是研究阅读和绘制机械图原理和方法的一门实践性较强的课程，是高职机械类专业的专业核心基础课程，其学习效果的好坏将直接影响到学生对后续专业课程和实践操作的学习。椭圆是现实生活中常见的几何图形，在数学（制图）、天文（轨道分析）、艺术和建筑（如石拱门）设计中曾有广泛应用[1]，但椭圆弧的长度没有现成的计算公式，所以笔者提出了一种算法，并依靠软件编制计算器，实现了椭圆弧长度的计算。

一、数学模型

在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限接近某个确定的数，那么这个确定的数就叫做该函数的极限。我国古代就是利用圆的内接正多边形来推算面积——当圆的内接正多边形边数越多，正多边形面积就越接近于圆的面积[2]。现在用类似的方法来建立平面的连续曲线弧长的概念，从而应用定积分来计算弧长。

设A、B是曲线弧的两个端点，在弧AB上任取n个分点，并依次连接相邻的分点得一折线。当分点的数目无限增加时，那么曲线弧AB就是可求长的。若曲线由参数方程

给出，计算它的弧长时，则将弧微分写成

的形式，从而有

椭圆是到两个定点等于定长的曲线，参数方程[3]为

代入得椭圆周长：

二、计算器

求解定积分时候，当能找到原函数时，利用牛顿—莱布尼兹公式就可以精确地求出数值，但是当原函数不易求得时，便可借助数值方法近似地求出数值[4]。椭圆弧长定积分是非初等函数，所以需要借助数值方法计算。

用数值方法计算定积分有两个关键点：一是将连续的对象分割为易于求解的一些子对象；二是用迭代法对迭代表达式反复操作。梯形法就是把曲边分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。当分割数目趋于无穷大的时候就能准确地求出定积分：

椭圆弧长计算程序如下：

在对象窗口添加6个文本框，其中4个为输入文本框，分别输入椭圆弧的长半轴长、短半轴长、起始角度值和终止角度值，另两个文本框为输出文本框，分别输出椭圆弧的长度值和计算迭代次数；添加了两个命令按钮，分别为计算和结束按钮。

由于程序计算中角度值为弧度制，所以将输入的角度值转化为相应的弧度值。计算次数n一定要为整数，设置初始步长为0.000001时，很难保证n是整数，所以对n做了取整计算，并计算了实际的步长值。利用For循环语句完成了多次相加运算，完成了椭圆弧的长度计算。编制的计算器如图1所示。

图1 编制的计算器界面

三、工程应用

机械制图是装备制造领域的通用语言[5]，其中展开是工程施工常见的方法，即是将复杂的图形展开，以获取长度等数据。如图2所示保护罩，由一块宽30mm薄壁板弯曲而成的，在弯曲处板料厚度发生变化，外部变薄，内部变厚[6]，为了简化板料尺寸计算，假设板厚的平均值为原来板料的厚度，则按体积不变条件，可以认为板料的长度等于弯曲后的长度。

图2 零件图

为了便于计算，按薄壁板厚中线画一个图3所示的草图，是由三条线段和一段椭圆弧组成。?

图3 计算图

其中椭圆弧长没有现成计算公式，可在生成的计算器中输入椭圆长半轴长a=30，短半轴长b=18，弧起始角度α=－90°，终止角度β=90°，点击计算按钮，计算结果如图4所示。经过3 141 593次迭代计算，椭圆弧长为76.581mm。

图4 计算结果

板料长度尺寸为：36+50+50+76.581=212.581mm，即弯曲加工成一个保护罩需长为212.581 mm，宽为30 mm，厚为2mm的板料。

四、结束语

椭圆是现实生活中常见的几何图形，机械制图课程中对椭圆的画法和性质做了详细的介绍。本文利用数学和软件编程的方法，实现了椭圆弧长度的计算，通过工程实例说明了该计算器的实用性，使学生掌握了椭圆弧长的计算方法，同时也为学生求其它曲线的长度提供了一种思路。

[1]周亚辉.基于牛顿迭代法的椭圆近似画法误差分析[J].图学学,2016(37):189-192.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2014: 27-34.

[3]高存明.数学[M].北京:人民教育出版社,2007:30-45.

[4]谭浩强,张基温.C语言程序设计教程[M].北京:高等教育出版社,2006:103-105.

[5]殷红.机械制图正五边形画法及证明[J].辽宁高职学报,2015 (7):88-89.

[6]钟毓斌.冲压工艺与模具设计[M].北京:机械工业出版社, 2012:173-176.

[责任编辑，抚顺职院：陈辉]

The Calculation of Elliptical Arc Length in Mechanical Draw ing and Its Application

ZHOU Ya-hui
(Guidao Jiaotong Polytechnic Institute,Shenyang 110023,China)

To solve the problem of elliptical arc length calculation in mechanical draw ing,it uses the parameter equation of ellipse and the definite integral calculation of arc length method to get the math model of elliptical arc calculation.The mathematical model is the non-elementary function integral,so it uses the trapezoid method in the approximate calculation method of definite integral to calculate the length.It w rites calculation program in the programm ing software and generates the elliptical arc length calculator.In the end,w ith engineering examples,it explains the input method of each parameter,and the result shows the practicability of the calculator.

ellipse;definite integral;trapezoid method;calculator

G712

A

1009—7600（2017）01—0063—02

2016-11-03

周亚辉（1978—），女，辽宁沈阳人，讲师，硕士。