从量与量之间的关系上认识比———《比的认识》教学思考与设计解读

吴春敏

【教学内容】

人教版六年级上册第四单元。

【教学思考】

修订版教材把“比”单独设立为一个单元，不再停留于比与分数和除法的关系上、仅从运算的角度去理解比，而是强调从量与量之间的关系上认识比。由此，概念描述从“两个数相除又叫做两个数的比”修改为“两个数的比表示两个数相除”。这充分说明“两个数相除”与“两个数的比”不是等价概念。比不是除法的另一种表示方式，而有自身的特点、意义和价值——比更加强调量与量之间“倍比关系”的直接描述；比可以用除法计算求出比值，但有时不需关注具体比值是多少；比可以同时表示两个、三个乃至更多量之间的倍比关系；比源于度量，比能表示物体不可度量属性的可比性，如“颜色、形状、口感”等。

思考一：为什么有了除法还要学习比？比与除法的本质区别是什么？

1.比由“倍数关系”导入，需要借助除法之势，除法更加趋向运算的形式和结果，比则更加强调量与量之间倍数关系的直接描述。

2.除法或分数只能表示两个量之间的倍比关系，比能同时表示两个、三个乃至更多量之间的倍比关系。

3.比可以转换为两个数相除，但两个数相除不能笼统说就是两个数的比，如“等分除”就是一个量进行等分。

4.比的本质与除法不同。比源于度量，长度、面积、体积、质量等常见的量，都是物体可度量的属性。度量包含“度和量”，度是度量单位，量是测量，表示度量结果的数，叫做量数。事实上，量数就是“量与度量单位（两个同类量）的比值。物体除了可度量的属性，还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地、口感等，这些属性不可度量，但是可以用“比”来进行表征。用比来记录这些量与量之间的”对等关系”，能够更加直观清晰地表示出这些不可度量的属性。

思考二：为什么异类量的比一直用“路程和时间的比是速度”这一素材？这个例子作为例2教学有什么用？有没有其他可以替代的素材？

经查找文献发现，自1923年教材中出现“比”内容教学，都是“同类量”比，直至1981年对“比”进行补充时，由“倍数关系”扩展为“相除关系”时，教材中引入“速度”素材作为异类量比的代表，原因有以下三点：

1.路程、时间和速度是学生熟悉的、比较典型的用“除法”计算的数量关系；路程和时间是两个不同单位的量，由于需求产生速度这一计算的结果。它既能表示这两个量之间的除法关系，也能表示两个不同类量的比。

2.速度是“路程和时间”比的量化结果，是路程和时间两个量衍生出的一个新的量；但由于这个新的量还可以理解为“后项为1”的比，因此用复合单位来记录，如50米/分。

3.生活中除了常见的“速度”“单价”之外，还有非常丰富的“异类量比”的资源。如密度、含量、交换关系、组合方式等，当要记录某种有意义的量与量之间的对等关系时，都可以用“比”的方式表示和记录。因此台湾教材自1982年起，就把比定义为“并置的两个量的对等关系”。

【教学目标】

1.经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义，在辨析比较中感受比的丰富内涵。正确地读写比、知道各部分的名称、比与除法的关系，会求比值。

2.实践中探究图形形状，观察比较中理解并体会比的含义和价值；初步感知比能描述量与量之间的不可度量物质属性的可比性。

3.能从同类量和异类量中找出量与量之间的对等关系，并用比表示。

4.学生经历用比描述生活中的现象和解决实际问题的过程，感受比在日常生活中的应用价值。

【教学重难点】

重点：多方位构建比的意义。

难点：理解比的自身意义和价值。

【教学设计与解读】

课前谈话：呈现各照片，在观察交流中达成共识：相似图形——用“形状完全相同”的语言来描述。

一、操作体验，初步感知比的含义

1.呈现部分国家的国旗，引导学生观察发现：各国国旗大小不同，但长方形的形状完全相同。进一步追问：国旗的形状与什么有关？与长和宽有怎样的密切联系？

2.给出一面长 15cm、宽10cm的国旗图形，学生自主尝试，在格子图中画出两个与国旗形状完全一样的长方形。思考：依据什么确定图形的长和宽？每个长方形的长和宽之间有什么关系？

3.呈现学生的画法，反馈汇报，交流思考过程。

预设情况如下：

●想法一：根据给定国旗的长和宽，将其同时扩大或缩小相同的倍数画出长方形。

生：把长和宽同时缩小五倍，长是3cm，宽2cm。然后再把长和宽同时扩大两倍，就变成长6cm，宽4cm的长方形。这样两个长方形形状与给出的国旗一样。

引导：两个长方形中长和长是倍数关系，宽和宽也是同样的倍数关系。

●想法二：根据给定国旗的长方形长是宽的1.5倍，画出同样倍数关系的长方形。如长12cm，宽 8cm；长 6cm，宽 4cm等。

引导交流：这是依据长和宽的什么关系确定形状？

搜集其他学生的同类作品，进一步丰富素材内容：长9cm，宽 6cm；长 30cm，宽 20cm等。同时呈现各图示，学生再次观察发现共性。

●想法三：根据长和宽相差“5”，画出具有同样相差关系的长方形。

思考：长 14cm，宽 9cm的长方形看似图形形状与给定国旗相似，那么当相差关系还是5，长方形变成长9cm，宽4cm后，图形形状还完全一样吗？

如果长6cm，宽1cm呢？

通过举极端例子呈现“相差关系”的长方形，发现长宽数据变化，形状发生改变。

4.全班交流。

师：长和宽的倍数关系与相差关系，哪种关系能够确定图形的形状？

（1）学生观察发现：多个依据“倍数关系”画的长方形，尽管大小不同，形状完全相同。

（2）几何画板动态演示：将长方形的长和宽数据不断变化，倍数保持不变，观察形状，进一步验证。

5.师生共同交流，得出结论：长方形的形状由长和宽的倍数关系确定。倍数关系相同时，长方形的形状也相同。因此国旗的设计中，只要保持“长是宽的1.5倍”，各种规格形状都是完全相同的。

【解读：以学生常见的不同规格国旗为素材，观察中发现：国旗大小不同，而形状完全相同，从而激发学生的探究欲望：这背后隐藏怎样的数学奥秘，图形的形状与长和宽有怎样的联系？接着让学生动手画图，“任务驱动”会使得学生自主寻找和建构长与宽的关系；不同形状的呈现，在反馈交流中，学生通过辨析自主发现长和宽的倍数关系，初步体验量与量的倍数关系确定图形的形状。】

二、认识比，初步体验用比记录的优越性

1.看倍数关系想象图形形状，引出长宽比的记录方式。

学生描述：长 1.5、宽 1；长3，宽 2；长 15，宽 10 等等。

教师给出：我们可以用长和宽的比来记录这种倍数关系。如：长是15，宽是10，长是宽的我们就说长和宽的比是“15∶10”；反过来宽和长的比就是10∶15。

2.微视频播放，认识比。

什么是比？微视频播放：比表示什么，比各部分的名称，比的读写及比值等。

3.反馈交流：通过视频，你了解“比”的哪些知识？学生反馈，教师板书记录相关知识点。

4.思考并讨论：除法中的倍数关系能表示图形的形状，为什么还要认识“比”？

学生自由发表看法，进一步用图示例子强化要点。

（1）呈现“长是宽的3.5倍，学生闭眼想象形状，用手势比划，交流想法。

（2）呈现“长和宽的比是7∶2，学生闭眼想象形状，用手势比划，说想法。

交流：哪种方式联想图形的形状会更加的容易？（7∶2能马上联想长7宽2，不用再举例计算）

小结：长方形长和宽的倍数关系能确定形状；用比的形式能更直接描述图形的形状。

（3）呈现各长方形的长宽比，学生根据“比”选择相对应的形状。

【解读：长和宽的倍数关系用比表示，是比引出的常态形式；而通过“倍数关系”与“比的形式”联想图形的对比，能够让学生更加直接体验比的优越性，同时跟进的选择练习让“数形结合”更加密切，体验更加深刻。至于比的相关知识，尽管是基础，但由于都是规定性知识，教材内容以讲授为主，通过微课展播能够快速帮助学生理清知识点。而且微课可以课后反复播放，有助于学生后续不断的复习巩固，促进学生掌握。】

三、拓展比的功能，进一步体验比的价值

1.举例：你在哪里见到过比？学生举例说明。

预设：（1）解释球赛的比分，辨析“比分”与数学中“比”的不同。（2）呈现金龙鱼油1∶1∶1的相关信息，介绍脂肪酸的含量比。

2.生活中只有这两个例子吗？下面这些情境中就有“比”，找一找并说一说。同时呈现三幅生活情境图：图①课桌椅的组合，图②蜂蜜水，图③车辆行驶速度。学生解读情境图中的“比”。

【解读：尽管比在生活中应用广泛，但通过前测发现符合学生现实背景的就是“球赛比分”和“金龙鱼广告”。通过举例方式，唤醒学生的生活经验，通过辨析阐明“比分”不同于“比”的理由，以反例强化数学中比的含义。广告中的“1∶1∶1”信息呈现进一步拓宽比的意义，可以表示两个以上量与量之间的关系。给出生活中的情境图，激活学生思维，进一步扩大探索空间，将比的功能进一步拓展。】

3.教师根据学生的发言，逐一呈现更加具体的数据信息，进一步了解生活中的“比”。

图①课桌椅的组合。学生通过观察发现：一张桌子配两张椅子，桌椅的数量比是1∶2，教师课件呈现生活中各种物品的组合，介绍组合关系中的“比”，延伸到“交换关系中的比”，学生仅作了解。

图②蜂蜜水的配制。信息：将10ml的蜂蜜加入90ml的水中。这里面有比吗？请结合蜂蜜和水的量说一说。

（1）根据学生说法，逐一呈现两个量之间的“比”：蜂蜜和水量的比是 10∶90（1∶9）;水和蜂蜜的比是90∶10；蜂蜜和蜂蜜水的比是10∶100；蜂蜜水和蜂蜜的比是100∶10等。

（2）拓展：呈现各类溶液中的比，学生选择其中一幅图，同桌交流“比”的含义。

反馈时的关键点：两个量的单位可以不同；可以是四个量甚至更多量的比。

图③车辆行驶速度。①速度是“比”吗，比的前项和后项分别是什么？②为什么速度单位与众不同？（路程和时间比产生的新的量）③类似的比产生“新的量”例子有哪些？（单价是总价和数量的比，产生新的量）

小结：同类量的比与异类量的比。

【解读：比在生活中应用广泛，饮料、食物的配比，可以直接以比的方式来记录，能够更加直接表示出量与量之间的具体含量；而速度、单价等衍生出的新量，尽管与除法有一定的联系，但是通过其复合单位能够直观反映出量化的结果。将量与量的比由倍数关系的同类量拓展到相除关系、对应关系的异类量中，学生逐步体会比的价值，触摸比的本质内涵。】

四、课堂总结

1.课件动态演示课堂学习过程，学生回顾梳理。

2.交流：对比有了哪些认识？用“比”表示有什么好处？

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）