计算教学中算理和算法的有效结合

罗梅莉

【摘要】在小学数学教学中，计算教学直接关系到学生对基础性目标的掌握。为了能有效提高学生的计算能力，本文结合课堂教学实践提出：改进教师的教学，主要有结合情境，感悟算理，探索算法；重比感悟，理解算理，优化算法；灵活运用，明晰算理，内化算法。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地展开进行计算。

【关键词】计算教学 算理 算法 有效结合

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）01A-0070-03

培养学生的计算能力是小学数学教学的一项重要任务。教师在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机地结合起来，从而发展学生的运算能力。

处理好算理与算法的关系对于计算教学很重要。在小学阶段，学生对于算理和算法的学习，主要体现在整数、小数和分数的口算和笔算以及新增的估算内容中。计算课教学要改变传统教学中通过熟记法则来学习计算的方式，而应让学生经历计算的全过程，发现算理、掌握算法，能探究出相应的计算方法，形成新的技能与教学应用，避免学与应用脱节。新课标理念下的计算教学倡导在教学过程中通过让学生动手操作、合作探究等形式，让学生结合情境理解算理，自主掌握计算方法，形成技能，并能综合应用。下面笔者就结合平时的计算教学，谈谈在计算教学中如何处理算理与算法的关系的几点策略。

一、结合情境，感悟算理，探索算法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对不同学段的学生计算的要求是不同的。作为教师，我们要根据各学段学生在学习过程中的认知水平和思维特点，以及课标和教材的特点来因材施教。对比新旧版本的人教版教材，我们不难发现：旧教材在计算教学中多半是直接出示算式并给出相应的计算法则和规律；新教材则是出示一组相关的情境，让学生在情境中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，在解决问题的过程中感受学习计算的必要性，经历自主探索，感悟算理，并能在此基础上掌握计算方法。

例如，在一年级结合情境可用数数、摆学具等直观操作的方法帮助学生“感悟”算理；在二、三年级可结合情境借助由直观操作过渡到直观演示（画图）等方式，让学生理解算理，但“直观”的成分已慢慢减弱，同时引导学生逐步摆脱对具体形象的依赖。在经历数学化的过程中，不断提高思维的水平，学会抽象地思考问题。随着学生的年龄增长及心理成长，教师应结合情境顺应学生的思维发展，凭借“迁移—类推—转化”思想，引导学生在已有生活经验和知识的基础上，学会多角度地思考问题，不断发展推理能力和思维能力。

案例一：结合情境，借助直观，感悟算理，探索算法

笔者在使用旧版教材教学“9加几”时，教材中有摆小棒，还有算式，笔者按教材呈现的内容告之学生计算“9+几”就是要把第二个加数拆1个1，加上9就凑成10了，接着算10加几就行了，有的学生在学习“8加几”等知识时会用此法来计算，但更多学生遇到了困惑：“8加几”要把第2个加数拆1个1，还是拆多少呢？教后笔者反思：学生没真正弄懂“9+几”的算理是要通过凑十法将“9+几”转化成已学过的“10+几”来计算，同时因为上计算课时教师直接告诉学生此题就是这样算，学生上课兴趣也不高，计算的正确率也不高，并且课后采用多练的方法提高计算正确率，效果甚微。

新课改以来，笔者结合课标、教材和学生的年龄特点，创造性地使用教材，把教学“9加几”定位在利用生活的情境开展“看、听、想、做、说、算”等活动，学生在经历了理解算理的基础上掌握计算方法，真正达到“知其然，知其所以然”的效果。

第一层次，创设情境，引发思考。

（观看运动会中学生们分组运动及分饮料的场景）要求一共有多少瓶饮料，应怎样计算呢？结合学生熟悉的生活情境展开教学，进一步激发学生挑战解决自己提出问题的动力，这比过去单纯的计算教学更能激发学生的学习兴趣。

第二层次，自主探索，合作交流。

有了强烈的求知欲，学生在交流过程中，更愿意提出不同的方法计算，这样的交流体现算法多样化，使每个学生都能收获成功的体验。在这过程中，由于给了学生足够的探索空间，对于“9+4=？”怎样算，学生的方法是多种多样的：数数、摆小棒、珠心算、画图等，教师将学生的多种方法进行有序地整理，和学生们一起数数。在数数的过程中，学生们看到情境中一箱饮料空缺1瓶，马上就会想到补上一瓶凑成10瓶，数数时也不再是1、2、3……一个一个地往下数，而是看到盒子有9瓶后，接着往下数10、11……这样数形结合很巧妙，便于学生的理解。有了数数的经验，再用小棒帮助理解就更加轻而易举了，在摆小棒的时候，学生从4根小棒中拿出1根凑成10根，10加3等于13，在操作时教师要引导学生理解“为什么都从4根中拿出1根，不拿2根给9根呢？”这样在摆的过程中使学生的操作没有停留在表面，而是深入思考，真正理解9只能和1凑成10，“10加几”就是以前学过的知识。在此过程中培养学生根据数据的特点来进行相应的简便运算，而不是一种麻木的乱分，为后面“8加几”等知识的教学打下基础。这种教学方式应是一种重理解、重能力培养的方式，目的是让学生获得继续自主学习的方法，同时也使学生体会到学习数学就是那么简单，为今后在数学学习中利用旧知迁移转化为新知做好思维发展的铺垫。

第三層次，属性转换，形成技能。

经历数数、摆小棒等活动后，再把摆小棒的过程迁移到算式，学生很快就知道了计算“9+4=？”要把此题的9先加1，再变成学过的10加几得十几计算出结果。通过这样的引导，让学生真正理解“9加几”的算理，从而掌握了计算“9+几”的方法。

上述案例中，教师依据对新课标的理解，既加强了对学生个性化算法的尊重和重视，也加强了对学生亲身经历算法多样化过程的组织和实施，帮助学生理解算理；同时又让课堂上呈现的算法多样化，让多数学生理解它、掌握它，体验多种算法，唯有如此才能让更多的学生理解算理。

案例二：结合情境，借助“转化”，感悟算理，探索算法

在教学三年级下册《除数是一位数的除法》时（被除数是三位数），笔者根据教材设计了以环保为主题的情境——植树节开展植树活动。情境的创设一下子就将枯燥繁琐的计算课注入了活力，激发了学生的兴趣，增强了学生的环保意识。在教学过程中，学生在情境中发现并提出了问题，且能列式“238÷6=？”可是学生在独立试做时遇到了以下三个难题：1.做除法时，应从哪一位除起？2.商应写在什么位置？3.当除不尽时怎么办？在学生遇到困难时笔者没急于教学生应怎样计算此题，而是围绕学生提出的三个问题来调整教学流程，笔者出示“36÷6”与“36÷3”让学生对比：这两道题有什么相同与不同的地方？学生通过观察发现：被除数相同，除数不同，商也会不同。当学生有了发现后，笔者乘胜追击引导学生观察：“你在算这两题时是先从哪一位除起的？”学生很快有了答案，此时再让学生思考“238÷6=？”应从哪一位除起呢？学生遇到的困难就在旧知的比较中迎刃而解了。这样的教学比让学生背诵除法竖式的计算法则更有效。有了成功的开始，在让学生解答第二个问题时，学生很自然地想到了用学过的知识来帮助理解，有摆小棒的，有对比竖式的。例如有学生摆了两个大捆，三个小捆，8根单根的小棒，在摆的过程中学生发现：整百一捆的小棒要想平均分六份，每份整百一捆是不可能的，那怎么办呢？学生提出将整百一大捆拆开（注：这个“拆”学生是在学习最简单的36÷6竖式书写时发现的，虽然有除法口诀帮忙不需要摆小棒，但笔者还是让学生摆了一摆，有了摆的经历后学生也就有了发展、迁移、转化的能力）成了10个小捆，这样就变成了23个小捆（也就是23个十），就可以分了，此时问题就得到了解决，即竖式中遇到的2个百除以6，商不够1个百，应与十位的数合起来变成23个十再除，因此商也就应写在十位上。这本是三年级学生较难掌握的知识，但是本课让学生经历了凭借在已有生活经验和知识的基礎上，运用“迁移”规律或“转化”思想来学习新知，从而让学生在直观形象中理解算理、发展思维。

二、重比感悟，理解算理，优化算法

算法优化的过程是一个促进学生学会反思、自我完善的过程。但要在教学中把握好度，不能为算法多样化而多样化，而应让学生在经历算法多样化的过程中，发现知识内涵的本质，从而促进学生思维的发展。教师要为学生提供足够的时间和充分交流的机会，让其深入讨论，进而去发现最优的算法，使之知其然更知其所以然，从而“悟出”属于自己的最佳方法。

以教学三年级上册《多位数乘一位数》一课为例，笔者将教学环节预设为三层：利用表内乘法口诀解决问题—利用知识迁移掌握整十数乘一位数的方法—优化类推出整百、整千数乘一位数的方法。教学时，笔者先让学生计算2×9，再计算2×10，由于有了表内乘法2×9=18，表示9个2是18，那么2×10=20，则表示10个2，也就是9个2加1个2就是18加2等于20。在经历从表内乘法口诀帮助计算迁移掌握整十数乘一位数的方法，并理解了其算理后，笔者让学生在用尽可能多的方法来独立计算结果时，学生给出了很多种方法：10×2就把它看成10个2相加即2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20；10×2就把它看成2个10相加即10+10=20；因为1×2=2，所以1个十×2个十，只要在2的后面加一个0就可以了，即答案为20。学生在这样的主动参与中思维得到了更好的发展，能力得到了更大的提高。此时，笔者引导学生将这些方法进行对比，让学生选择出自己最喜欢的计算方法并说明理由。由于每种方法都是学生自己想出来的，所以大家都认为自己的方法最好。这时，笔者没有急于肯定或否定哪种计算方法，而是耐心等待。当第二次探索20×3的计算方法时，由于有了上一题的成功体验，学生们都选择自己认为最好的方法计算，然而计算的正确率却不尽如人意。随着学生对算理的深入理解以及学习的层层深入，笔者适时结合实例，让学生再次展开对比讨论：怎样计算既对又快？你喜欢哪种方法，为什么？让学生感悟出每种口算方法都有各自的特点，但他们在不同的计算中作用也不一样，让学生感受到计算方法多样化的同时，又悟出了计算策略优化的必然性，进一步提升学生数学思维的含量。在多次这样的计算教学后，笔者常常思考：学生的“算法多样化”是老师“逼”出来的吗？一定要出现多种算法才是一节成功的计算课吗？其实不然，因为老师调整了自己的教学模式，放手让学生主动探索算法的时候，往往会出现多种不同的算法，这是基于学生已有的经验、认知水平和知识结构等个性因素的结果。所以教师既不要畏惧课堂上出现的算法多样化，也不要过度提倡算法多样化，而应引导学生对众多算法进行深入地探索并逐渐优化。算法多样化不是教学目的，关键是通过算法多样化达到“追本溯源，存异求同”的目的。这一探索交流的过程，极大地丰富和发展了学生的各种思维表象，起到了积极地激发学生主动优化算法、感悟算理的目的。

三、灵活运用，明晰算理，内化算法

当学生解决教材中的问题后，教师应及时引导学生总结。算法是学生在理解算理的基础上对适合自己的计算方法进行总结，然后过渡到应用环节。在教学实践中算理与算法的有效结合，更应注重计算法则的灵活应用及内化，即当学生有了算理作基础后，探究算法多样化，还需要学生在众多算法中选择自己适用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化的目的。

案例一：以三年级下册《两位数乘两位数》一课教学为例，在本节课中，在学生学会了23×12的竖式计算后，对于第二步23×10=230，笔者并没有让学生直接写成23，而是结合算理，让学生想一想，23×10=230是23乘第2个乘数上的什么数，所以23×10可以理解成23×1个十=23个十，有了这样的算理学习的帮助，学生可以进一步理解这个初始的竖式，经过一段时间的内化吸收后，再让学生运用简化的竖式计算。有了前面的多重分析、对比、总结，学生在后续的练习中对两位数乘两位数竖式书写有了更深刻的了解，在明晰算理中，内化了算法。

案例二：以四年级上册《四则运算》为例，因学生之前有了万以内数的加减法计算的基础，并在这节课中依托情境感受到了四则运算的运算顺序的合理性，导致在练习中出现这样一道题（364-36-164=？）时，让学生在三种算法（见下面算式）中选择一种算法时，学生都不约而同地选了最后一种算法，这正是学生对退位减法和进位加法的算理和算法及四则运算的运算顺序融会贯通后，对所学知识内化后有了更合理、灵活的应用。这正是新课标提出的：在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，算理和算法的有效结合，促进了小学数学计算教学从会计算、能算得快转变为不是为计算而计算学习，而是要将计算教学作为学生学习的介质，通过学习，将知识内化，最终达到：变“要我学”为“我要学”，由被动到主动；促教学方式的发展，由讲授式变合作式，学生拥有自主的空间；促学习的目的发展，变单纯的学习技能为学技能、促思维的发展。

364-36-64 364-36-64

=328-64 =364-64-36

=264 =300-36

=264

364-36-64

=364-（36+64）

=364-100

=264

“教无定法，贵在得法”。算理和算法是计算教学中一个有机整体，形式上可以分，实质上是不可以分的，但在实际的教学中难免会顾此失彼。教师在教学过程中应依托新课标，借助教材，在课堂教学中处理好算理和算法的关系，创设恰当的情境，激发学生的学习兴趣，并引导学生感悟算理，活用算法，实现算理与算法的融会贯通，以促进学生各方面能力的发展。

（责编 林 剑）