以“勾股定理逆定理”为例，谈初中数学教学难点的突破策略

陈康金

[摘 要] 如何突破教学难点体现了教师教学水平的高低，需要我们教师对教材有精准的把握，需要我们课堂活动的设计能够有效激活学生的思维，需要我们设计的问题能够切中概念的内涵与外延.

[关键词] 初中数学；教学难点；问题；思维方法

我们知道，每节课都有教学难点和重点，很长一段时间，笔者将两者看成是一回事，其实不然. 难点对学生的要求更高，教学难点在整节课的教学过程中是“瓶颈”，直接影响着学生对整个概念、规律的理解，教学难点的突破直接关系到教学效率的提升，那如何突破呢？笔者认为教学难点的突破不能强攻，而应浸润. 本文结合“勾股定理逆定理”教学，就该话题谈几点笔者的看法.

综合分析学情与教材，精准把握难点

我们要从整个教材的教学结构来看，看学生已经掌握了哪些知识，具备了哪些能力.

例如，对于“勾股定理逆定理”的教学，纵观整个初中数学教学，学习这部分知识之前学生已经学习了“勾股定理”，他们通过作业和联系，已经能够应用勾股定理直接解决和证明与之相关的问题了，同时，在长期的数学学习过程中，探究性学习和总结问题的能力也有一定的基础.

接着要思考学生还存在怎样的不足.

从学生的学龄特征来看，初中生虽然能够研究和解决问题，但是对问题的总结及概括还存在着不够准确、表达不够完整的现象，需要进一步训练.

本节课的内容有哪些？流程如何？

从学生的知识基础和能力基础出发，本节课的内容有如下几个方面：（1）引导学生经历勾股定理逆定理的探究及证明过程；（2）体验证明三角形为直角三角形的方法和过程；（3）学会应用勾股定理逆定理来判断直角三角形.

这些内容中的难点在哪里？

从学生的学龄特点和我们教师的教学经验来看，“勾股定理逆定理”的证明是难点，尤其是“从特殊走向一般”这一数学思想方法在证明过程中的应用与体验. 当然，为了防止教师的主观臆断导致教学难点的偏离，我们在确立教学难点时还应该进一步研读教师用书，因为这个就是教材编写组课程专家写给教师参考看的，对教学重点、难点的区分有一定的参考价值.

设计有趣的活动，悄无声息破难点

确立教学难点容易，突破难点不易！在“生本教学”视域下，我们要突破教学难点不可强攻，而应该设置有趣的活动和生活化问题，将学生的思维“卷入”数学活动，潜移默化中完成对教学难点的突破.

例如“勾股定理逆定理”的导入情境设计，笔者给每组（两名）同学发30根木棒，通过PPT投影活动任务（如图1所示），请同学们摆出一个直角三角形.

设计意图 借助可操作的活动，让学生自己探究、体验，收集第一手材料，形成初步的认知.

在学生有了认知基础的基础上，进一步提出问题，将学生的思维引向深处.

问题1 在大家摆的过程中，有几组同学的摆法有如图2、图3所示的过程，大家根据图中所给的信息，想一想：他们最后拼得的图形都是直角三角形吗？

设计意图 从开课的引入环节来看，看似是一个游戏情境的活动设计，然而却极具数学韵味，游戏味丝毫没有冲淡数学味，反而让数学与生活走得更近. 学生有简短操作拼图的过程，而更多的则是思考“图2、图3两种拼图为什么均可以得到直角三角形（最终拼出的结果如图4）”这个问题，这对于学生来说具有挑战性，学生在思考的过程中会涉及数学思想方法和原有认知的提取.

为了帮助学生从旧知识链接到新的知识进行学习，笔者设计了如下问题串，串接学生的思维.

问题2 如果有一个直角三角形，其直角边分别为3和4，那么第三条边的长等于多少？（学生借助勾股定理可以计算出第三边的长为5）

问题3 图2、图3拼出的三角形的三条边的长分别是多少？它们与问题2中的直角三角形全等吗？

问题4 想一想：一个三角形的三条边满足怎样的关系，我们就可以判定该三角形为直角三角形？

学生对问题有了思考之后，笔者安排学生证明如图5和图6所示的特例情况下的“勾股定理逆定理”，在学生证明的过程中强调“证明的格式”.

待学生证明后，可设置问题引导学生反思并渗透数学思想方法.

问题5 如何将问题“判断一个三角形是直角三角形”进行转化？

其实，问题的重心是只要这个三角形中有一个直角，该三角形便是直角三角形. 即问题可转化为如何证明“三角形中的一个角是直角”的数学问题.

选择例题，通过训练促进知识内化

数学知识的内化必须经历问题解决的过程，规律应用的过程可以促进学生将知识内化到原有的知识结构之中.

例如，当学生证明了“勾股定理逆定理”之后，为了深化认知，我们可以设计如下数学例题.

例1 分析下列几组由线段a，b，c所组成的三角形，根据“勾股定理逆定理”来判断其是不是直角三角形.

第一组：a=3，b=4，c=6；

第二组：a=2，b=3，c=3；

第三组：a=9，b=12，c=15；

第四组：a=12，b=16，c=20；

第五组：a=30，b=40，c=50；

第六组：a=300，b=400，c=500.

变式 在△ABC中，∠C=90°∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，请判断以ka，kb，kc为三边的三角形是否是直角三角形.

设计意图 例1仍然属于特例情况下的思考，學生可以根据“勾股定理逆定理”来判断，也可以通过课堂伊始摆小棍的方式来完成. 当学生从例1中的几组数据发现规律后，可以借助变式完成方法的提炼与归纳. 学生在问题的解决过程中会体会到逆定理的条件实际上是三角形中较短的两边的平方和等于最长边的平方，这样能促进勾股定理逆定理及其应用进一步被巩固.

例2 若小虫从A点出发，向正东方向爬行一段距离后到达B点，接着向左拐前行至C点，如果你只有一把刻度尺，你如何验证小虫现在前进的方向是否是正北方向？请说明理由.

追问 此时，如果你的刻度尺不足以量出AC的距离，你能想出其他的解决办法吗？

设计意图 再一次将学生的思维从纯数学问题拉向生活，在有趣的情境中运用规律，深化对规律内涵与外延的理解.

总的来说，我们在突破教学难点的过程中，无论是教学难点的确立，还是教学难点的突破，都必须针对学生的实情，必须循序渐进. 当然，初中数学在初中阶段是一门稍复杂的学科，需要数学老师长久坚持，不停反思，扎实推进自己教学的每一个步骤. 大量的教学实践也证明了：要想取得良好的教学效果，实现教学水平的提升，还需要我们教师不断地反思，通过反思学生的学习过程和自己课堂上的动态行为，以更为准确地拿捏教学难点. 通过教学经验的积累，不断提高教学难点突破的效率，实现举重若轻的教学效果.