试论数学教学的思维方法与策略

简淳++刘航宇

【摘要】本文旨在分析数学的思维方法和重要的数学思维表现形式， 并结合学生的实际认知处境，提出了在数学教学中的运用策略，

【关键词】数学 思维方法 教学策略

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，运用范围极为广泛，在信息预测，管理决策，情报解析等方面都能凸显出高品质的应用价值，在整个科学体系中处于特殊关键性的地位，数学思维所含的创新意识更是独具魅力。在教学中不失时机地传授数学的思维方法，培养学生的思维品质和能力，使其受益终身。

一、数学中几种重要的思维

1.归纳思维. 归纳是人类赖以发现真理的基本和重要的思维方法。许多数学概念、定理、法则的形成， 都经历过大量观察、计算等积累经验的过程， 然后归纳出其共性和本质的东西， 例如导数、微分、积分、哥德巴赫猜想、素数定理等等。

2.类比思维.“类比是一种创造性思维的形式。”当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系， 或者一对多的同态关系时， 我们便可对这两个对象系统进行类比。例如， 极限、连续、导数、微分、积分、级数、微分方程均有线性性质， 而这个共性可以升华到线性算子的理论上， 还有多元与一元微积分， 各类微分方程求解等都具有很丰富的类比性。

3.发散思维.发散思维亦称扩散思维、辐射思维、求异思维。数学发散思维最大的特征是发散性、可变性。同一数学问题， 提出多方面的设想和各种解决办法， 然后经过筛选， 找到科学合理的结论。此外， 发散思维对所研究的数学对象、数学方法， 甚至已得出的公式、定理， 都可以作为发散点， 放在不定、可变的地位上加以观察和思考， 探索“可变”的各种可能， 甚至在范例中也可变中求活， 活中求异， 异中求新， 新中求广。

4.逆向思维.思维本身具有双向性。逆向思维是相对于习惯思维的另一种思维形式， 它的基本特点是从已有的思维的反方向去思考问题。顺推不行， 考虑逆推， 直接解决不行， 想办法间接解决， 探讨可能性发生困难时， 考虑探讨不可能性， 突破了习惯思维的框架， 克服了思维定势的束缚， 具有创造性。例如命题的逆否命题， 探讨问题的不可能性， 反证法等中无处不体现逆向思维。

5.猜想思维. 牛顿说过 “没有大胆的猜想， 就作不出伟大的发现。”猜想是一种合情推理， 它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题， 猜想也是寻求解题思维策略的重要手段，对于培养能力， 形成数学直觉， 发展创造性思维有着极其重大的作用。

二、领悟数学分析方法，提升课堂教学设计品质

在研究复杂的、运动的、高维空间、多因素作用和无限过程的事物时，数学分析方法得心应手。其思路就是“化难为易”。即把所要研究的问题先整体分解成部分，把复杂变为简单、动态凝固成静态、高维空间转化为低维空间、无限的视为有限的，再用最简单的形式近似表示，最后将近似的转化为精确的。同时要加强开放思维的训练和发散思维的训练。教学设计要创设与学习内容相融合的、有利于学生建构知识意义的学习情境，通过提供生动、直观的教学方式及学习材料，构建由问题、观点、实例交叉组织的学习任务，设计一些有争议空间的问题，并提供丰富的信息资源和认知工具，给学生以广阔的建构空间，从而激发学生的联想，让其通过主动探索达到对知识的全面理解和灵活应用。

三、研究数学拓展思维，实现认识能力的飞跃

在科学领域中，某些概念随着发展而改变，而丰富。同样.数学为使概念用于更大的范围的对象，必须拓展原来的概念。例如，我们研究数学的扩充，即由自然数一实数一复数。每扩充一次就要加进新的数，并在原来运算的基础上加进新的运算法则，这样才逐步地完善数的理论。为此，我们能够从数学的拓展思维过程总结出由特殊到一般的拓展规则：①在原有知识不够用的情况下，要有拓展前的合理猜想；②在原有的基础上加进新的内容与新的规则；③新定义应该是旧定义的拓展，新的规则不仅适应新的内容，而且包含原则，适应原内容且绝对不可有互相矛盾的意义。大凡拓展后，在部分性质仍旧保留的同时都增加了一些新的性质，成为一种全新的概念。遵循这个原则，我们在教学中应该恰到好处地引导和培养学生大胆猜想的勇气，拓展思维的兴趣、推陈出新的思想和逻辑思维的能力，以实现认识能力上的突破和飞跃。

四、培养学生数学思维能力的教学策略

1.在教学中可选择数学史上著名的事例， 经简化设计后， 形成富有启发性的材料， 让学生沿着数学家的思想去了解数学概念、性质、定理的形成过程， 促进数学思维方法的形成。

2.教师要钻研教材， 精心备课， 注重暴露教师的思维， 即暴露数学思维过程中的每个层次和环节， 否则， 教师的分析“路路通”， 教师以为易如反掌， 学生却难于下笔， 寸步难行。

3.在教学中常采取启发式， 引导学生运用已有的知识研究思考问题， 通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等逻辑思维活动， 得出正确的结论。

4.教师要善于选编一些练习题引导学生向更深更宽的层次纵向挖掘， 横向拓展。把所学的知识在更大范围内进行归纳， 演变， 使零碎的知识形成一个更加完整的认知结构。

5.应该加强学生逻辑与技巧方面的训练，以弥补知识的先天或者储备的不足，使其能够在陌生的情境下生成方案技巧，促进问题的化解，更为重要的是节约学生宝贵的时间生命资源，确保其在各个阶段的学习中获得均衡以至最佳的效果。

【参考文献】

[1]李玉棋.数学教育概论[M].中国科学技术出版社，1994.

[2]张莫宙.《数学教育研究导引》.南京：江苏教育出版社，1998。

作者简介：简淳（1985— ），男，湖北天门人，研究生学历，工学学士，教育硕士，中学二级教师，主要从事数学奥林匹克研究，任职于天门市彭市中心学校。

刘航宇（1985—），男，湖北天门人，本科学历，工学学士，中学二级教师，主要从事小学数学教学教研，任职于天门市渔薪小学。