“问题驱动”在高等数学教学中的应用探讨

陈佩树，陈淼超，赵开斌

（巢湖学院 应用数学学院，安徽 巢湖 238000）

“问题驱动”在高等数学教学中的应用探讨

陈佩树，陈淼超，赵开斌

（巢湖学院 应用数学学院，安徽 巢湖 238000）

作为一种新型的教学模式，“问题驱动”教学法在高等数学教学中得到了广泛的应用.通过强化问题导向，可以引导学生在学习过程中层层深入，自主探究解决问题，逐渐构建起自身知识体系.本文立足高等数学教学实践，分析教学过程中存在的具体问题，探寻开展“问题驱动”教学的有效路径.

高等数学；问题驱动；教学创新

在高等教育体系中，高等数学是重要的组成部分，同时也是学生学习的难点.创新教学理念，改革教学方法，对于提升学生高等数学学习效果，具有至关重要的意义[1].“问题驱动”作为一种现代教学模式，强调践行“生本理念”，以学生为教学主体，通过优化课程设计，明确问题导向，引导学生层层深入[2].“问题驱动”最早由美国实证教育学家杜威提出，是一种以解决实际问题为根本目的的教学方式，可以有效提升学生学习的积极性和自主性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.

1 “问题驱动”模式在高等数学教学中的适用性

不同于一般的人文学科，高等数学具有较强的抽象性和逻辑性，学习难度较高，同时，高等数学又与现实生活紧密结合，是对现实生活中具体数学问题的抽象提炼.由于缺乏科学系统的指导，很多学生在学习过程中，无法找到其中内容在关联和规律，导致了学习效率不高问题.从教学目标来看，学习高等数学，就是为了指导其他学科学习，并运用数学知识解决实际生活中的问题.举例来说，微积分是高等数学中的重要教学内容，看似枯燥乏味，其实是对现实生活的提炼、假设和验证，具有极强的实践性[3].在教学过程中，如果单纯开展理论宣讲，则存在一定的枯燥性，但是通过“问题驱动”教学模式，可以有效提升课堂的针对性和指向性，将抽象知识转变为学生易于接受的具体问题.高等数学是一门基础性的理论学科，同时与物理、经济等学科有着千丝万缕的联系，是进行其他学科学习的基础，是解决其他学科的一个工具，具有极强的实用性.开展“问题驱动”教学，通过引导学生解决具体问题，可以掌握相关的理论，提升高等数学教学和学生学习实际效果.

2 在高等数学教学中运用“问题驱动”的具体策略

2.1 强化问题导向，构建知识体系

开展“问题驱动”教学，是一个螺旋式上升的学习过程[4,5].教师在进行问题设计时候，要注重教学原理问题的设计，融入解题思路和数学观念，帮助学生从基础层面认知数学，构建数学与知识体系.举例来说，在产生导数概念的本原性问题上，主要是关于物理的速度与几何上的切线.基于此，导数的性质都可以通过研究物理相关参数进行导出，如果研究的是瞬时速度和曲线切线，则可以通过问题设计，帮助学生抽象出具体的问题，导入弓背上的切线与弓弦的关系模型:，进一步得到拉格朗日中值定理.再通过研究切线的变化，进而掌握二阶导数在几何上的意义，即反映曲线在多大程度上进行了弯曲[6].比如若曲线C方程为直角坐标方程:y=f(x)，且f(x)具有二阶导数，则可以引导学生推导出曲率计算公式

2.2 创设教学情境，引导学生思考

作为一种科学教学模式，情境教学法在现代课堂上得到了广泛的运用，通过创设教学情境，可以有效引导学生深入知识体系.对于高等数学教学中的“问题驱动”教学模式，通过创设教学情境导入教学问题，可以激发学生的学习自主性和主动性，提高学生的学习效率.举例来说，对于重要极限公式，要掌握其导出过程，具有一定的枯燥性，教师可以通过设计具体的情境，将数学知识与现实生活联系到一起，提升学习的针对性和趣味性，比如说，可以让学生思索复利计算问题:如果将一块钱存入银行，年率为3%，如果分别以不同的时间计算，最终功能获得本息多少？通过这样的设计，可以让高数知识更加“接地气”.可以结合高等数学上的“归结原则”和变量替换知识，继续引导学生把n看成任意实数x，进一步有和

2.3 设置阶梯问题，层层深入学习

在运用“问题驱动”进行高等数学教学过程中，教师要为学生设置阶梯问题，通过问题的层层导入，引导学生深入学习，帮助学生从不同角度看待问题、分析问题，培养学生的多途径解决问题能力[7].在高等数学知识体系中，很多问题都存在着相互关联，也有多样化的解决方法，通过由浅入深、由简到繁的问题设计，可以帮助学生抽丝剥茧分析问题，逐步解决高等数学难题，夯实学习基础.比如在方向导数的教学过程中通过“问题驱动”方法引导学生（1）能否刻画出函数沿着某一坐标轴方向的导数？学生在思考后会知道答案是肯定的，本质上就是求单侧导数.（2）能否刻画函数在给定点除坐标轴外，沿任意指定方向的变化率？这就比较自然地引入方向导数的概念.即若函数f(x1,x2)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，为从P0出发的射线.P(x, y)为上且含于U(P0)内的任一点，记P0与P之间的距离为ρ.若极限存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数，记作:或fl(P0)(3)若函数f(x1,x2)在给定点可微，如何找到在给定点的最大的方向导数？由fl(P0)=▽f(P0)·（其中为向量的单位向量），可以得到当▽f(P0)和同向时，方向导数fl(P0)取得最大值，且最大值为|▽f(P0)|.另外，还可以引导学生归纳出导数、方向导数、微分等概念之间的关系.

3 “问题驱动”在高等数学实验教学中的应用

问题驱动式教学法在高等数学实验中有着广泛的应用，一方面把数学实验融入数学理论教学环节，通过Matlab绘图和数值计算功能，生动形象地展示出来，有助于学生理解抽象的数学概念和理论，调动其学习的主动性.另一方面在数学实验教学中，以实际问题驱动为导向，积极引导学生主动提出问题、分析问题、解决问题，主动融入到数学实验教学中，探索数学的奥秘，激发学生学习的兴趣.比如在高等数学理论教学中，两个重要极限的证明非常抽象、枯燥，学生难以掌握.但是通过Matlab数学实验绘图功能，学生能直观地看到极限趋近的过程，且能通过limit求极限命令迅速取得计算结果.再比如，泰勒公式是高等数学教学上的重难点.一方面，由于其手工计算的复杂性，学生有抵触情绪；另外一方面，相关理论知识比较抽象，学生有畏难情绪，导致难以掌握.在数学实验中，我们可以通过taylor(f,x,'ExpansionPoint',a,'Order',n)：求出函数f(x)关于x-a的n-1阶Taylor多项式.具体“问题驱动”过程如下:

（1）提出实验问题:求函数y=sinx的不同阶数的麦克劳林展式,并作图观察不同阶数展开式对函数的近似程度，并计算sin2在不同阶数展开式下的近似值.

（2）创设问题情境:麦克劳林级数展开式相关知识的学习.

（3）实验目的:理解麦克劳林级数展开式定义；掌握Matlab软件求不同阶数麦克劳林展开式的命令方法；利用Matlab软件绘出函数图像，并观察曲线的变化趋势,增强对麦克劳林展开式概念的理解和掌握.

（4）实验程序:

所绘图形如图1所示,对应的不同阶数taylor展开式已经在图上标示,sin2的近似值如表1所示.

图1 sinx的不同阶数麦克劳林展开式

表1 在不同阶数麦克劳林展开式下的近似值

由上述图1和表1知麦克劳林展开式的阶数越高，sin2近似精度也越高.通过问题驱动式的数学实验，学生不仅仅熟悉了泰勒级数展开的相关命令，也培养了他们的实践操作能力，且从直观的图形变化中理解了麦克劳林级数展开式的相关知识.学生在问题驱动式的数学实验过程中体会到数学的魅力，增添了学习数学的兴趣，且更符合对知识的探索过程.

4 结束语

综上所述“问题驱动”作为一种现代教学模式，通过有效的课程设计，可以引导学生自主寻找问题解决方案，提升高等数学教学水平和学生学习质量.在实践运用过程中，“问题驱动”作为一种教学方法，仍然要遵循基本的教学规律和教学规则，高等数学教师要强化问题意识，加强问题导向，创新开展“问题驱动”教学，避免创新教育模式落入形式主义，提升教学实效，帮助学生构建高等数学知识体系.

〔1〕滕吉红,黄晓英,袁博，等.问题驱动式教学模式在高等数学教学中的探索[J].高等教育研究学报,2012,35(4)：89-90.

〔2〕赵瑜,陈淼超.基于问题驱动的高等数学教学模式探究[J].教育现代化，2016，11(35)：135-136.

〔3〕杨宪立,赵自强.问题驱动原则在高等数学教学中的运用[J].河南教育学院学报（自然科学版）, 2014,23(1)：49-52.

〔4〕陈淼超，陈侃，彭维才.应用型本科院校数理学院的数据库原理课程的教学研究[J].巢湖学院学报,2014,16(3)：142-146.

〔5〕孔祥盛，陈淼超，等.MySQL核心技术与最佳实践[M].北京：人民邮电出版社,2014.

〔6〕曾钰,韩晓艳,陈丕炜等.基于问题驱动模式的高等数学教学研究[J].才智,2016(23)：95-95.

〔7〕刘晓妍,王言英.“问题驱动”在高等数学教学中的应用 [J].河南教育学院学报 (自然科学版), 2014,23(2)：66-67.

G642.4

A

1673-260X（2017）02-0188-03

2016-11-08

安徽质量工程项目（2016jyxm0689,2016jyxm0691,2015jyxm324,2013jyxm207);大学数学教学团队项目(ch12td01),巢湖学院质量工程项目（chxy15yykc03,ch16kcjgxm22,ch16yykc07）；中国博士后科学基金资助项目(2015M572327);安徽省自然科学基金重点项目（KJ2015A270）