基于连续函数性质在积分计算中应用的研究

李 伟

(集美大学理学院, 福建厦门 361021)

基于连续函数性质在积分计算中应用的研究

李 伟

(集美大学理学院, 福建厦门 361021)

对于Riemann积分的计算，高等数学教材中归纳出了奇、偶函数在对称区间上的两个运算性质．本文在此基础上，推出对称区间[-a，a]上任意连续函数的积分性质，以及任意区间[a，b]上连续函数积分的几个性质，并应用这些性质求解有关连续函数的Riemann积分问题．

连续函数；Riemann积分；对称区间；任意区间

1 预备知识

定义1[1]设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若

则称函数f(x)在点x0连续．

定义2[2]若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则称函数f(x)是(a,b)内的连续函数；若函数f(x)在区间(a,b)内连续，又在区间端点a处右连续，在b处左连续，则称函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数．

定义3[3]若函数f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则

∫-aaf(x)dx=0

定义4[3]若函数f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则

∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx

2 推广的性质的证明及应用

性质1 若函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续，则

∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx

=∫a0f(-u)(-du)dx

=∫0af(-u)du

=∫0af(-x)dx，

所以 ∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx=∫0af(-x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx．

在对称区间上非奇、非偶的连续函数的定积分计算，运用性质1能收到好的效果．

其中

因此

由定义3、定义4及性质1，可将对称区间上连续函数定积分的计算，归纳为如下性质.

若函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续，则

∫-aaf(x)dx=

性质2[4-5]若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

∫abf(x)dx=

证明 令u=a+b-x，则

∫abf(x)dx=∫baf(a+b-u)d(-u) =∫abf(a+b-x)dx，

所以有

又因为

在上面后式中令u=a+b-x，则有

所以有

∫abf(x)dx=

于是性质2得证．

因为

所以由性质2的结论(1)有

性质3[6]若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(x)=f(a+b-x)，则

令

因为

F(x)=-F(a+b-x)

由性质2结论(1)，所以有

亦即

例3 计算 ∫02πxcos2xdx．

解 令 f(x)=cos2x．

因为

f(x)=f(2π-x)，

所以由性质3有

3 结语

对于连续函数在对称区间或任意区间上的Riemann积分的计算，只要弄清被积函数的奇、偶性或有关特征，运用本文中推广之性质，将有利于问题的解决，这对于Riemann积分的计算将起到事半功倍的效果．

[1] 华东师范大学数学系．数学分析：上册[M]．4版．北京：高等教育出版社，2010：85-91．

[2] 上海交大，集美大学．高等数学：上册[M]．3版．北京：科学出版社，2010：62-68．

[3] 同济大学数学系．高等数学：上册[M]．6版．北京：高等教育出版社，2012：244-253．

[4] 朱莉．积分对称性及其在简化积分计算中的应用[J]．南通职业大学学报，2010, 24(4)：78-81．

[5] 曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用[J]．吉林师范大学学报：自然科学版，2012，8：125-128．

[6] 韦宝荣．连续函数若干性质的研究[J]．杭州师范学院学报：自然科学版，2008,7(1)：1-5．

[责任编辑 胡廷锋]

A Study of the Application of the Properties of Continuous Function in Integral Calculation

LI Wei

(School of Sciences, Jimei University, Xiamen 361021, China)

With regard to the calculation of Riemann integration, advanced mathematics teaching materials generalized odd and even function’s two operation properties on symmetric interval. (see literature [1]). On this basis, this paper obtains the integral properties of arbitrary continuous function on symmetric interval [-a,a], and some properties of continuous function on arbitrary interval [a,b], and applies these properties in the solution to the problems of continuous function Riemann.

continuous function; Riemann integration; symmetric interval; arbitrary interval

O171

A

1009-4970(2017)02-0026-03

2016-12-08

集美大学教学质量工程资助项目 (C16207)

李伟(1962—)， 男， 湖北恩施人, 副教授.