化解困惑，着力培养学生列方程的能力

贾庆华

列方程解应用题是小学数学的重要内容。从算术到代数，是学生认识现实世界数量关系过程中的一个飞跃，也是学生数学学习的一个转折点。学生的思维发展水平和代数的抽象性特点之间的矛盾，以及算术思维定势的影响等，使小学生在学习列方程解应用题时遇到很多困惑。而在小学的数学教学中，应用方程解决问题是数学教学联系实际的重要课题，因此对于培养学生分析问题、解决问题的能力尤为重要。

一、思维定势的干扰

初学列方程，学生仍用已掌握的算术解法，对列方程解法很不适应。如何能排除学生由算术解法形成的思维方式的干扰，从而使学生逐步适应并熟练掌握方程解法，顺利达到从算术解法到列方程解法的过渡；逐渐体会到用字母代替数，认识到从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术解法到方程解法是数学的进步。举例说明：小明的姐姐送给他科技书和故事书共12本，其中送了科技书4本，那么姐姐送给他几本故事书？用算术方法可以列出算式：12-4=。用方程方法：设送给的故事书为x本，通过数量关系列出方程：x+4=12。两种方法各有特点，算术解法是已知总数和一部分来求另一部分，属于逆向思维，难于思考；而方程解法是用部分加部分等于总体的思路列出算式，将未知数与已知数一起运算来求出x的值，执果索因的分析法，是顺向思维，便于思考。通过让学生自己进行比较，认识到方程解法的优越之处。如果要解决的问题较为复杂，那么用方程列等式求解的优势更为明显。方程解法的主要特征就是将未知数与已知数同等看待，将未知数用字母表示。而算术解法的基本特征是通过已知数按照一定的数量关系来列出算式，经加减乘除运算求出要求的数量。

二、学生在列方程解应用题遇到的几个困惑

1.用字母表示数。

用字母表示数是代数的一个基本特点，也是列方程解应用题的基础。小学生从具体的五本书、两颗球过渡到抽象的数5、2是认识上的一次飞跃。由于每个数都是确定的，因此学生易于掌握。但从确定的数过渡到用字母表示数，更是认识上的一次飞跃，用字母表示题中涉及的数量关系，并把这种数量关系转化为相等关系，从而得到方程。由于字母表示的数具有不确定性，有时可以是任意数，有时有一定的范围，在特定场合下又有其特定的意义。这种不确定性对于小学生来说是比较抽象的，再者还受到确定的数表示数量关系的思维定势的影响。因此，用字母表示数就成为学生列方程解应用题的第一个难点。

2.代数式构建。

方程的建立就是把两个等值的代数式用等号连接起来。因此，正确、熟练地构建代数式是列方程的基础。这就需要在感知应用题情境的基础上先将日常语言“翻译”为数学语言，再把数学语言直接“翻译”为含有未知数的代数式。这对小学生来说具有相当的难度。

3.设何数为x。

在题目中无间接未知数x时，学生设直接未知数为x没有什么困难，但是往往由于定势思维的影响，误认为列方程解应用题可以无须考虑题意与条件，只要以x表示未知数，一切问题就都解决了。

三、化解困惑着力培养学生列方程的能力

1.数学语言和日常语言进行“互译”，培养学生构建代数式的能力。

培养学生把未知数和已知数放在同等地位来进行分析，并正确、熟练地列出代数式是列方程的基础。采取对策有两点：

（1）训练学生对数学语言和代数式进行“互译”。这种“翻译”训练可以为列方程扫除障碍，铺平道路。

例如：用数学语言叙述下列代数式：①2x+7，②5×7-6x。

用代数式表示下列数量关系:

①x与4的差。

②3与x的和。

③与2的积。

（2）训练学生把日常语言“翻译”为代数式。它是以数学语言为中介实现的。例如：“故事书比科技书的3倍多15本”，先翻译为数学语言“比某数的3倍多15”，再翻译为代数式“3x+15”。其意义在于使学生真正明白每个代数式的实际意义，这不仅是学习方程的基础，也是培养学生把实际问题抽象为数学问题的能力。

2.分析题意转化为熟悉的数量关系。

分析数量关系是列方程解应用题的关键，着力培养学生寻找等量关系的能力是教学的重点。在列方程解应用题中，“等量关系”是列方程的依据，同时“等量关系”又是与问题中所有的“基本量”密切相关，是对某一类“基本量”的关系的刻画。这就要求学生必须了解或熟悉基本的数量关系，这是列方程解应用题的基石。

（1）利用数形结合寻找等量关系。

数和形在客观世界中是不可分割地联系在一起的，小学数学教材十分重视数形结合。一般地，学生在感知应用题情境的基础上，画出示意图，采用数形结合的方法分析数量关系。其心理学意义在于：示意图能够使列方程所必须的条件同时呈现在视野内，示意图成了思维的载体，视图疑思实际上使视觉参与了解题过程。正如苏霍姆林斯基所言“教会学生把应用题画出来其用意就在于保证由具体思维向抽象思维过渡”。教学中，教师要充分运用直观教学，通过学生动手、动口、动脑，在获得大量感性知识的基础上，再通过抽象、概括上升到理性认识。例如：合唱队的人数比舞蹈队的2倍少3人。首先从同样多入手。教师在第一行摆了3个△，第二行摆了3个○，启发学生说出○与△的个数同样多。其次引出差，使差与比的标准同样多。接着教师在第二行再摆上1个○，这时○比△多1个。然后在第二行再摆上2个○，使学生说出△比○少3个；再引导学生通过观察得出：○比△多的部分与△的个数同样多。最后从份数入手建立“倍”的概念。接上面，如果把3个△看作1份，○有这样的几份呢？○有这样的2份，我们就说○的个数是△个数的2倍。学生通过启发可列出等量关系式：合唱队人数=舞蹈队人数×2-3；合唱队人数+3=舞蹈队人数×2；（合唱队人数+3）÷2=舞蹈队人数；（合唱队人数+3）÷舞蹈队人数=2。这些等量关系式正是列方程的依据。通过这一准备阶段训练，学生的思维得到了扩展，能用不同的等量关系式表示同一种关系，培养了学生寻找等量关系的能力。

（2）从常见数量关系中寻找等量关系。

为了便于学习把一些常见的数量关系概括成关系式并归类。如：行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；盐水问题：盐的质量=盐的质量分数×盐水的质量；价格问题：总价=单价×数量；总利润＝利润/件×数量＝总收入-总支出。以及各种面积、体积的计算公式。再有，对一些名词术语的含意也要使学生很好地掌握。如：和、差、积、商的意义，提高、提高到、提高了、增加、减少、扩大、缩小等的意义。否则会在分析数量关系时造成错误。经常复习一些常见的等量关系，有利于学生列方程时寻找等量关系。

3.培养学生设未知数的能力。

在应用题中，特别是未知量较多的问题中，若能巧妙地设未知数，可以给列方程带来方便。设未知数是列方程解应用题的第一步，对含有多个未知数而又只允许设一个未知数的问题，用哪个未知数来设元，直接关系到列方程的难易程度。一般来讲，解应用题有两种设未知数的方法：

（1）直接设未知数法。

题目里怎样问就怎样设未知数。这样设未知数，只要求出所列方程的解，就可直接回答问题。例如：女儿今年4岁，母亲今年36岁，几年后母亲的年龄是女儿的年龄的5倍?这道题就可直接设x年后母亲的年龄是女儿的年龄的5倍来解：x+36=5（x+4）。

（2）间接设未知数法。

一些题目中，若采用直接设未知数法，会给列方程增加麻烦。如果采用间接设未知数法，即通过间接的桥梁作用，达到求解的目的。间接设未知数的具体做法是设一个不是问题的未知数为“x”，然后用含有字母的代数式来表示所问的未知量，求得未知数的值后，再求出表示未知量的整式的值，最后回答问题。设计一题多问的形式来发散学生思维。如，修一条公路120千米，修了两天还剩下70千米，已知第一天修了全长的，问第二天比第一天多修多少千米？第二天修了全长的几分之几？学生兴趣一下调动开了，使课堂达到了高潮。

4.培养良好学习习惯，训练学生列方程的能力。

学生在解题时常常会有一种不良的习惯，不愿意边读题边做标记，更懒得咬文嚼字细细揣摩题中的信息和问题之间的关系，往往对题目一扫而过，根据经验“想当然”地解题，造成“不看题目，这么容易也会出错”的状况。训练学生列方程的能力，首先要指导学生在阅读数学问题时边读边思考，理清条件和问题，明确它们之间的关系，使要解决的问题在头脑中形成清晰、完整的印象，从而为解题做准备。读题是审题的前提，是解题的关键。培养学生良好的读题习惯是一个潜移默化的过程，需要长期坚持。对题中的重点字、关键词圈圈点点，图形描描画画，有助于学生深入思考，将抽象的数学语言转化为生活语言，将隐性的数学信息可视化。这样增强了解题的策略意识，有效地提高了学生的解题能力。其次，训练学生用综合法和分析法列方程。所谓综合法列方程，就是先假定题目中某一未知数为根据这个数与其他的已知数、未知数的关系，列出代数式，再依题意找出等量关系，最后用等号连接含此等量关系的代数式，即列出方程。而分析法列方程则是找出题中最明显的两个性质相同的等量关系，然后再找到这两个量分别与其他已知数、未知数的关系，如此一直推到最后只剩下一个未知数为止。即假定这个未知数为带入上式的各种相关关系中，即得到两个相等的代数式由此列出方程。以上这两种分析方法不是孤立的，而是相互关联的。在分析应用题时，往往是这两种方法结合使用，从已知找到可知，从问题找到需知，这样逐步使问题与已知条件建立起联系，从而达到顺利解题的目的。只要认真理解题意，抓住题中的关键词或者是不变关系，就可找出相等关系。利用所学的列代数式的基础，将其最终翻译成数学符号语言，列出方程解决问题。

总之，数学方程问题的教学，要理论联系实际，在教学过程中，要注意整个教学过程中学生的思维发展，培养学生的创新意识，渗透列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，即能够运用所学的数学知识构建方程模型来解决生产和日常生活中的实际问题。