知其所以然，才知其然——例谈数学概念教学中的溯本求源

朱绍敏

笔者认为：数学课堂教学应重视引导学生“知其所以然”，从而使学生真正“知其然”。教学中不但要让学生知道结果，更要让学生知道结果的来源。以下三则案例源于笔者的多年教学实践，异曲同工之处在于重视学生的体验和感悟、重视概念的生成过程，在知识的生长点处精心设计，溯本求源，引领学生自主探究获得知识，做到了学有痕而教无痕。

【案例1速度单位】

（溯本求源，制造冲突）

“神十一”飞船在太空5秒飞行了约40千米，飞船的速度约是（ ）。

小方骑自行车，2小时骑了16千米。小方骑自行车的速度是（ ）。

师：神舟飞船和小方骑自行车，谁的速度快呢？

生：一样快，都是8千米。

生：不一样！“神十一”飞船的速度是每秒8千米，而小方骑自行车的速度是每小时8千米。

（教师板书：每秒8千米每时8千米）

师：每次都要写这么长的一句话来补充说明，好麻烦呀！你能不能设计一种新型的单位，让人一看单位就全明白了？

生：可以在千米的后面加上斜杆再加上时间单位。

（请学生上黑板上来：8千米/秒 8千米/时）

师：我们写速度单位时，不仅要写路程单位，也要写时间单位，大家要完整地表示出来。

师：你对速度有什么新的认识？速度表示什么？

生：速度表示每秒、每分、每时走几米。

师：是的，速度表示每秒、每分、每时……单位时间里所走的路程。它和时间、路程有着密切的关系，速度单位是复合单位，不仅含时间单位同时含路程单位。

【评析：从两个8千米的同与不同引起学生思维的激辩，水到渠成地引出速度概念是复合单位的深层含义。】

【案例2利用数对确定位置】

（现场资源，直观感悟）

师：班里来了一位新老师，你能用一句话来表述一下数学课代表现在所处的位置吗？

生：数学课代表在我的左边。

生：数学课代表在我的前边。

生：数学课代表在我的东南面。

师：这几种表述，不同位置的人有不同的表达，老师需要先找到你的位置，然后再找你的左边、前边或东南面；而且，你的左边、前边或东南面可是有一大片同学，所以新老师还是不能找准具体哪一位是数学课代表。

师：还有其它更准确的表达方式吗？

生：课代表在第2组第4个。

师：新老师完全可以根据你的信息，准确无误地直接找到课代表的位置。

（板书：第2组第4个）

师：如果你只告诉新老师，课代表在第2组，情况会怎样？你只告诉新老师，课代表在第4个，情况又会怎样？

生：如果只说课代表在第2组，那么老师会在第2组找但不知道是第几个；如果只说课代表在第4个，那么老师会在每组的第4个找，但还是不知道究竟是哪一组的第4个。

师：那就是说，像我们现在这样，有好多组，每组又有好多个，这样的情况下，若想确定某一个位置，我们不仅要交待“第几组”，还要交待“第几个”。只有这两者都说明白了，才能“确定某一个位置”。这节课我们一起来学习《确定位置》。（板书）

师：刚才课代表的位置可以用数对（2，4）来表示，跟老师读一读这个数对：数对二四。

……

【评析：学生根据已有经验回答“左边”“前边”“东南面”等，这种表述的缺点其一是位置不明确，左边、前边、东南面的同学不止一个；其二是这样的表述以回答者个人为标准，要想找课代表，得先找发言同学的位置，再找他的左边、前边或东南面，是间接的。引导学生观察教室的座位分布情况，提出用第×组第×个来表述。然后通过追问，让学生感受：确定位置时，仅从“行”或“列”的一维角度出发是不够的，确定位置需要二维性，这也是数对中两个数的来源。】

【案例3长方形的面积】

（操作表象，内化推理）

1.小组合作测面积。

铺一铺：利用1平方分米的小正方形测大长方形纸的面积。

说一说：我用面积是（）的小正形去铺，每行（）个，有（）行，共（）个，这个长方形的面积是（）。

师：你怎么算出这个长方形共铺12个的？算式是什么？

生：算式是4×3。

（板书：4×3=12）

师：4、3、12各表示什么？

生：4表示每行个数，3表示行数，12表示总个数。

师：看来求总个数可以用每行个数乘行数。

（板书：每行个数×行数＝总个数）

师（横竖各铺一条边）：这种铺法，没铺满，你们怎么看出一共可以铺12个呀？

生：横铺一行有4个，说明每行是4个；竖排一列有3个，说明有3行。

师：同学们真聪明，这种铺法，虽然没有铺满，但沿长边铺一行已经可以看出每行个数，沿宽铺一列可以看出能铺的行数。用每行个数乘行数，就可以求出总个数，总个数知道了，面积也就知道了。

【评析：从满铺到各铺一边，这是思维的第一次提炼：抛开操作中具体事物的外衣，留下了具有思维含量的数学思考。】

2.想象铺，求面积。

（1）屏幕出示：中间一个红色大长方形，右上角一个小正方形。

师：看屏幕，右上角这个小正方形的面积是1平方厘米，请你估一估，中间这个红色长方形的面积。你会怎么估？

生：我估每行铺5个，能铺3行，共15个，所以我估它的面积是15平方厘米。

生：我估面积是18平方厘米，每行铺6个，有3行。

（屏幕出示：长6厘米，宽4厘米）

师：现在，你能确定，这个长方形的面积是多少？怎么推算的？

生：这个长方形的面积是24平方厘米。

生：我想象这样铺：每行铺6个，能铺4行，一共是24个1平方厘米。

师：每行铺6个，能铺4行，你是根据什么确定的？

生：长6厘米，每个小正方形的边长是1厘米，说明每行能铺6个；宽4厘米，说明能铺4行。

师：看电脑老师铺。（课件演示）他说对了吗？

（板书算式6×4=24）

师：为什么刚开始估不准呢？

生：因为刚开始，我们不知道长和宽。

师：为什么长、宽不知道，面积就估不准？

生：长宽不知道，每行个数和行数就不能确定，所以不能确定面积。

题目：一个长方形游泳池，长50米，宽30米，它的池面面积是多少？

师：你会用什么方法来解决这个问题呢？有想下水去铺一铺的想法吗？那你会有什么好办法？

生：不用下水去铺，用长乘宽就可以！

生：长乘宽等于面积！

师：大家听明白了吗？长几，每行个数就是几；宽几，行数就是几。我们原来用“每行个数×行数”求出总个数，来推算面积。现在，知道了这个奥秘以后，我们可以直接用“长×宽”来求长方形的面积了。

（板书：长×宽=长方形的面积）

【评析：学生从“操作铺求面积”→“想象铺求面积”→“根据长宽直接推算面积”，学生的思维从实际操作的层面，过渡到了“用思维去把握对象”，这是学生操作活动内化的结果，体现了“操作→表象→推理”的数学思维活动过程。】