引导学生学会“数学思考”的教学策略

李培芳 叶建云

一、有效设问与置疑，引发学生有条理的思考

教学《三角形边的关系》时，教师设计练习：有两根小棒，长度分别是5厘米与9厘米，再搭配上一根多长的小棒就一定能首尾相连围成一个三角形。（教师利用几何画板软件制作了一个可以拉动的三角形，其中两条边的长度分别是5厘米与9厘米，第三条边可以随着顶点的拉动不断变化它的长度）

师：先想象，第三边能不能是4厘米？为什么？

生：不能，因为 5+4=9，两边的和没有大于第三边，围不成三角形。

师：如果让第三边变成4厘米，会怎样？

生：会成一条直线。（教师演示将第三边变成4厘米的情况）

师：这个时候，只要第三边的长度变——（长），就能围成三角形。你们觉得要变长多少才能围成三角形？

生：一点点。

生：1微米。

生：0.00001微米。（演示：第三边多一点点变成的一个很“扁”的三角形）

师：第三边变得更长一点能形成三角形吗？

生：当然更能形成三角形。

师：第三边能无限地长吗？

生：不能无限地长。

生：不能超过14厘米。

在这一教学过程中，学生明白了这个三角形的第三边的取值范围是在4厘米与14厘米之间，同时可以无限地接近4厘米与14厘米，但是不能变成4厘米与14厘米。如果第三边变成4厘米与14厘米时，三角形便不复存在，它将成为一条直线。“先想象，第三边能不能是4厘米？”“如果让第三边变成4厘米，会怎样？”“第三边变得更长一点能形成三角形吗？”教师有效的、渐近式的设问，不断地将学生心理的平衡状态打破，使学生在自然的学习过程中激活了数学思维，从中展开了有条理的思考。

二、尝试归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力

1.尝试分析与归纳，发展初步的合情推理能力。

在教学《三角形边的关系》时，在学生发现“三角形两边的和大于第三边”之后，教师是这样开展教学的：

师：三角形两边之和大于第三边，这是大家的发现。不过，这一个发现，还得加上一个问号（板书“？”），因为只是这几个三角形两边的和大于第三边。别的三角形两边的和大于第三边吗？

生：要验证。

师：咱们班有多少人？（55人）要是有55个三角形来验证就好了？有办法吗？

生：每一个同学都画一个三角形来验证。

师：你真会想办法，就按你说的办！每一个同学在作业纸上画出一个三角形，然后量出它三条边的长度，再算一算，开始！（学生操作）

师：同学们，刚才在验证中，你画的三角形任意两边的和大于第三边吗？

生：是的。

师：这样，咱们画的这55个三角形都有一样的性质，是不是就能说明所有的三角形都有这样的性质呢？问号能擦掉吗？

生：还是不能，因为画到100个、1000个有可能就会出现反例。

师：咱们可以通过分类讨论的方法来验证。大家知道，三角形画得再多也就三类，即锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。在同学们的验证中这三类三角形都有这样的性质，这样三角形的所有类型都有这样的性质，我们就可以相信这条结论是成立的。这个问号现在就可以擦掉，换上一个完美的句号了。

在这里，从“三角形两边之和大于第三边”后面的“？”到“。”的教学过程，是一个分析与归纳的学习与领悟过程，同时也是一个初步的合情推理能力跨越式发展的过程。这样的学习过程，学生将积极的“数学思考”融入其中，学得生动、主动、深入。

2.巧用类比与猜测，发展初步的合情推理能力。

在教学《克、千克、吨》时，学生完成的作业中有这样一道选择题：小明的体重是30（）。参考答案:A.克；B.千克；C.吨。教师本以为这一道题学生会全对，没想到，居然有不少学生选择第1个答案“克”或第3个答案“吨”。之所以会出现这种错误，除了因为对这三个质量单位“建构”得还不够好之外，更重要的是在完成时学生没有联系实际加以理解。为此，教师到市场去挑选了一大一小两个鸡蛋，做了一个课件（5辆货车，每辆车身标明“载重：6吨”），开始了特殊的类比与猜测的教学过程：

师：我们不仅要做学习的小能手，还要做生活的小能手。下面，老师来考考大家，看谁猜得最准确？

教师边说边从抽屉里拿出事先准备好的较大的那个鸡蛋，问：这个鸡蛋大约有多重？

生：这个鸡蛋大约重50克。（因为教材中有，所以学生还记得较清楚）

教师又从抽屉里拿出事先准备好的较小的那个鸡蛋，问：那这个鸡蛋大约有多重？

学生意见不一，有的说约重40克，有的说约重30克。

师：老师昨天特意去市场挑了半天才找到这个宝贝鸡蛋呢！老师已称过，大约重30克。

师：刚才同学们说得不错。下面，老师继续考考大家，有一个运货车队（边说边投影显示课件：5辆货车，每辆车身标明“载重：6吨”），一次能运多少东西？

学生快速地回答：30吨。

师：非常正确！看来大家还真是考试高手呢。（学生显露得意之色）

师：可是，昨天晚上，不少同学把老师吓了一大跳呢！请看（教师边出示学生所做的选择题，边展示较小的那个鸡蛋），有这么轻的人吗？（学生大笑）

师：再请看，也有同学选择“小明的体重是30吨”，那可要5辆货车才能拉得动的，有这样的人吗？（学生再次大笑）

师：感谢选择“克”和“吨”的同学，为大家带来了笑声。让我们用热烈的掌声谢谢他们！

这一教学过程，教师将学生错误的学习资源，巧用类比与猜测，在充盈民主的教学氛围里，在学生和谐的笑声中，学生对“克”和“吨”的认识是立体的、生动的，促进学生对知识的有效、生动、科学建构，在动态建构过程中切实发展了学生初步的合情推理能力。

三、体悟证明的必要性，发展初步的演绎推理能力

在教学过程中，要引导学生对数学信息作出合理的解释、推断和证明，扎实有效地发展学生初步的演绎推理能力。

在教学《三角形内角和》时，可突出以下几个教学环节。

预测与检验：让学生从自备的各类三角形中，随意取出一个，当场量出其中两个角的度数，老师马上报出第三个角的度数，让学生检验是否正确，引发学生的好奇心，老师是怎么样知道的？激起学生强烈的学习动机。

解释与推断：思考、讨论，怎么样才能知道三角形内角和的度数？引导学生通过计算法（把各个内角的度数加起来，可能会有微小的误差，但都是在180度左右）和剪拼法（将三个角剪下或撕下，然后将顶点对在一起，连成一个平角）得出结论。

证明与深化：是不是所有的三角形都有这样的特点呢？如果把一个大三角形剪成两个小三角形，内角和会怎样？如果把两个小三角形合成一个大三角形，内角和又会是怎样呢？

这样，教学将操作、思维和语言表达有机地结合起来，将合理的解释、推断和证明联系起来，使学生能全方位地参与探索知识的形成过程，让学生在知识建构中尝试证明，使学习更具魅力与活力，使学生初步的演绎推理能力不断得到提升。