一类上三角矩阵的计算研究

何超林，于媛，朱桂静

（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）

一类上三角矩阵的计算研究

何超林，于媛，朱桂静

（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）

针对一类特殊的上三角矩阵，主要对其两种特殊形式下的矩阵与分块矩阵进行了分析及其应用研究，得到了矩阵Tn的几个性质和分块循环矩阵Bm，k行列式的一种低阶计算公式及其相关的若干性质.

三角矩阵；分块矩阵；行列式；极限

上三角矩阵是矩阵论里面非常重要的一类矩阵，具有良好的性质，比如若尔当块或史密斯标准型矩阵.作为计算算子，更是有其独特的作用.文献[1-2]对整数环上的单位上三角矩阵群及其子群结构进行了研究.文献[3-5]给出了范德蒙行列式的多种推广及其行列式计算.文献[6-8]对循环矩阵进行了推广和对其正交性、求逆、特征值与特征向量等问题进行了研究.本文对文献[1-2]的单位上三角矩阵群的另外一种特殊形式下的上三角矩阵群的矩阵进行了两种特殊形式下的分析探究，并借助文献[3-5]的范德蒙行列式的推广计算着重对分块循环矩阵的行列式计算及其矩阵序列的敛散性进行了研究.

1 预备知识

特别地，当a1＝d（），d（）为关于的首项系数为1的多项式，aj＝0，j=2，3，…，n，则Tn为史密斯标准型的矩阵；当a1＝，a2＝1，aj＝0，j＝3，4，…，n时，J＝Tn为n阶若尔当块.对于，容易发现有.

定义2设B1，B2，…，Bm为k∈N+阶方阵，称矩阵为关于｛Bi｝，i＝1，2，…，m，m∈N+的分块循环矩阵，简记为Bm，k.

定理1[9]（凯莱-哈密顿定理）设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则f（A）＝O.

定理2[3]准Vandermonde行列式计算，A（jj＝1，2，3，…，n）为非O的可交换k∈N+阶矩阵，E为k∈N+阶单位方阵，则

2 主要定理

定理3设矩阵Tn，aj为任一实数，j＝1，2，…，n，则（Tn－a1I）n＝O.特别的，a1＝0，aj∈R时，（Tn）n＝O.

证明：由Tn的定义，易知Tn的特征多项式为：，所以由定理1可得：f（Tn）＝（Tn－a1I）n＝O.其中a1＝0时，f（Tn）＝（Tn）n＝O，证毕.

定理4设矩阵Tn，，则有∀x，y∈R，有

由于j，t的任意性，所以∀j，t∈N+，有

由定理4易得如下的结论：

特别地，（Tn（x））r＝Tn（rx）.

证明：由G易知：

所以G存在单位元.又∀x∈R，Tn（x）∈G，∃Tn（－x）∈G，使得Tn（x）·Tn（－x）＝Tn（0），所以G存在逆元.另一方面，由定理4易知G满足结合律与交换律，所以（G，·）构成一个交换群，证毕.

则当且仅当x＝0时，矩阵序列｛Tn(k)（x）｝收敛且，I为n阶单位矩阵.

证明：若x＝0，则Tn（x）＝I，则有，所以矩阵序列收敛.

此类特殊的三角矩阵除了本身的一些性质外，在分块矩阵的行列式计算以及分块矩阵的矩阵分析中同样起到比较好的作用.

定理7设分块循环矩阵Bm，k（m,k∈N+），则

考虑（*）式的右边的矩阵的第一列，有

同理可得（*）式右边的矩阵的第j列有

故（*）可化为：

推论7.1设分块循环矩阵Bm，k，若， j＝1，2，…，m则m＝1，.

定理8设分块循环矩阵Bm，k，矩阵V为关于矩阵Aj（j＝1，2，…，m）的准范德蒙矩阵，若.则矩阵序列｛（BV）t｝在m≥2且m≠3时发散；在m＝3时，序列收敛，且，其中O为零矩阵，.

当j＝m－1时，有

由推论7.1知j≠m－1时，f（Aj）＝（0），故lj＝（O，O，…，O）T，j＝1，2，…，m-2，m，则有，其中

当m≠3，m≥2时，

这类特殊的矩阵还有很多性质值得我们去探究，特别是在分块矩阵的行列式的计算当中的应用.

[1]刘合国，吴佐慧，周芳.单位上三角矩阵群的注记[J].数学学报，2011，54（2）：211-218.

[2]刘合国，吴佐慧.单位上三角矩阵群的注记（II）[J].数学学报，2012，55（4）：673-688.

[3]齐登记.准Vandermonde行列式[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2006，29（2）：254-256.

[4]尤兰，王振.Vandermonde行列式的一类推广[J].科教文汇，2014（292）：49-50.

[5]陈祥恩，程辉，刘仲奎，等.第三类广义Vandermonde行列式的计算[J].大学数学，2012，28（1）：162-164.

[6]何承源.循环矩阵的一些性质[J].数学实践与认识，2001，31（2）：211-217.

[7]李天增，王瑜.循环矩阵的形式及求逆方法[J].四川理工学院学报（自然科学版），2009，22（4）：47-50.

[8]姜友谊，刘兴洪.二步循环矩阵的性质[J].西南民族大学学报（自然科学版），2005，32：60-62.

[9]方保镕，周继东，李医民.矩阵论[M].北京：清华大学出版社，2004.

Computation on First-Class Upper Triangular Matrix

HE Chaolin,YU Yuan,ZHU Guijing
（School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou 510631,Guangdong,China）

Aiming at one particular upper triangular matrix,two particular forms of matrices and block matrices are mainly analyzed and researched.Several characters of matrix Tnand one low-order calculation formula and several related characters on the determinant of block circulant matrix Bm,kare obtained.

triangular matrix;block matrix;determinant;extremity

O151.21

A

1001-4217（2016）04-0024-07

2015-08-06

何超林（1990—），男，广东广州，硕士研究生.研究方向为初等数学、数学教学.E-mail：609059099@qq.com