平衡伪补Ockham代数的O-理想

赵秀兰，蒋红敬

（黄河科技学院数理部，河南郑州，450063）

平衡伪补Ockham代数的O-理想

赵秀兰，蒋红敬

（黄河科技学院数理部，河南郑州，450063）

在平衡伪补Ockham代数上，引入O-理想的概念，利用平衡伪补Ockham代数核理想和余核滤子同余关系表达式，获得了平衡伪补Ockham代数上的理想成为O-理想的充要条件.

Ockham代数；平衡伪补Ockham代数；核理想；O-理想

0 引言

回顾文献[1-2]，1个Ockham代数（简记为O）（L；∧，∨，f，0，1）是在有界分配格上赋予一元运算的代数，Ockham代数是布尔代数的推广，它包含着大量重要的代数子类，诸如Stone代数、de Morgan代数、伪补代数（简记为p）等.由这些代数又可产生比较复杂结构的代数，使上述某些代数在一个更复杂类型的代数中同时发生.比如人们已经研究过的伪补MS-代数、平衡伪补Ockham代数等.理想和滤子是研究Ockham代数类结构及同余关系的一个重要工具，特别是核理想与余核滤子，根据核理想与余核滤子的性质特征反映相关Ockham代数类的结构.在文献[3-4]中，作者借助核理想与余核滤子的同余关系刻画了平衡伪补Ockham代数的结构.文献[5-8]，以理想与滤子为载体刻画了双重伪补Ockham代数、伪补MS-代数、双重半伪补de Morgan代数的结构.在文献[9]中，作者研究了分配P代数中的O-理想，以O-理想为载体刻画分配P代数的结构，给出了分配P代数是O-理想的充要条件.本文研究平衡伪补Ockham代数的O-理想，并讨论它们的性质.

1 基本知识

定义1.1[1-2]一个伪补代数（简记为p）是一个代数（L；∨，∧，*，0，1），它具有一个最小元0及一个映射*：L→L，使得x*＝max{y∈L|x∧y＝0}.

定义1.2[1-2]设（L；∧，∨，0，1）是一个有界分配格，其上赋予一个一元运算f，若f满足条件：

称（L；∧，∨，f，0，1）是一个Ockham代数（简记为O）.

定义1.3[10]设（L；∧，∨）是一个格，I是格L的子格，若x，y∈L，y≤x∈I总有y∈I，称子格I是格L的理想.

对偶地，F是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F总有y∈F，称子格F是格L的滤子.

定义1.4[11]设（L；∧，∨，0，1）是一个有界分配格，其上赋予两个一元运算*和f，且

（1）（L；*）∈p；

（2）（L；f）∈O；

（3）（x∈L）f（x*）＝x**，[f（x）]*＝f2（x）.

称（L；∧，∨，*，f，0，1）是平衡伪补Ockham-代数（简称bpO-代数）.

定义1.5[3]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，θ是L的格同余关系，若

则称θ是L的同余关系.

定义1.6[3]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，对于L的理想I，若存在L的同余关系φ，使得I＝Kerφ，其中

称理想I为L的核理想.

对于L的滤子F，若存在L的一个同余关系φ，使得F＝Cokerφ，其中

称滤子F为L的余核滤子.

引理1.1[3，定理1]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I和F分别是L的理想和滤子，则下面的条件成立：

（1）I是L的核理想当且仅且（∀a∈L）a∈I⇒f（a*）∈I；

（2）F是L的余核滤子当且仅且（∀a∈L）a∈F⇒（f（a））*∈F.

设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I和F分别是L的理想和滤子，符号θ（I）和θ（F）分别表示由I和F所生成的主同余关系，它们具有下列性质.

引理1.2[3，推论2]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I和F分别是L的核理想和余核滤子，则

引理1.3[11]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，x，y∈L，则（x∧y）*＝x*∨y*.

定义1.7[7]设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I是L的一个理想，若存在L的一个滤子F，使得I＝Ker（θ（F）），则称I是L的一个O-理想.

设（L；∨，∧，f，*）是一个平衡伪补Ockham代数，由核理想与O-理想的定义知，O-理想一定是核理想.那么，核理想是否一定是O-理想呢？下面的定理2.5给出了答案.

2 主要结果

设（L；∧，∨，f，*，+，0，1）是一个bpO-代数，a∈L，定义，易见，则（a*］有下列性质.

定理2.1设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，a∈L，若（L；∨，∧，f）为de Morgan代数，则（a*］是的一个O-理想.

因为x∈F给出，[f（x）]*≥[f（a）]*＝f2（a）.由于（L；∨，∧，f）为de Morgan代数，故[f（x）]*≥a.所以，[f（x）]*∈F.由引理1.1知，F是L的一个余核滤子.

设x∈（a*］，则x∧a＝0，故x∧a＝0∧a＝0.又因a∈F，故由引理1.2知，

所以x∈Kerθ（F）.因此，（a*］⊆Kerθ（F）.

另一方面，设x∈Kerθ（F），即（x，0）∈θ（F），则存在f∈F，使得x∧f＝0.于是x≤f*，又因为f≥a给出f*≤a*，故得到x≤a*，从而有x∈（a*］，所以Kerθ（F）⊆（a*］.因此，

定理2.2设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I是L的一个核理想，令，则σ（I）是L的一个O-理想.

证明易见0∈σ（I），设x，y∈σ（I），即（x*］∨I＝L，（y*］∨I＝L.

下证x∧y，x∨y∈σ（I）.根据引理1.3可得

故x∧y，x∨y∈σ（I）.

再设y∈L，x∈σ（I）且y≤x，从而y*≥x*，于是（y*］∨I≥（x*］∨I＝L，所以（y*］∨I＝L，故y∈σ（I）.因此σ（I）是L的一个理想.

令F＝Cokerθ（I），下证σ（I）＝Kerθ（F）.

设x∈F，y≥x下证y∈F，说明F是L的一个滤子.由于（x，1）∈θ（I），由引理1.2知，存在i∈I，使得x∨i＝1∨i＝1.易得y∨（x∨i）＝y∨1∨i，从而y∨i＝1∨i，故（y，1）∈θ（I），即y＝Cokerθ（I），因此y∈F，所以F是L的一个滤子.

再证F是L的一个余核滤子.若x∈F，即（x，1）∈θ（I），于是（（f（x））*，1）∈θ（I），因此（f（x））*∈F，由引理1.1知，F是L的一个余核滤子.

再设x∈σ（I），则（x*］∨I＝L，故存在a∈（x*］，b∈I，使得a∨b＝1.又因b∨b＝0∨b＝b，故（b，0）∈θ（I）.于是（a∨b，a∨0）∈θ（I），即（a，1）∈θ（I），从而a∈F.由a∈（x*］得，a∧x＝0，所以a∧x＝0∧a＝0.又因a∈F，又由引理1.2知，（x，0）∈θ（F），因此x∈Kerθ（F），所以σ（I）⊆Kerθ（F）.

另一方面，设x∈Kerθ（F），即（x，0）∈θ（F），由引理1.2知，存在j∈F，使得

故j∈（x*］.

又因F＝Cokerθ（I），故（j，1）∈θ（I），由引理1.2知，存在i∈I，使得j∨i＝1∨i＝1，所以（x*］∨I＝L，即x∈σ（I）.因此Kerθ（F）⊆σ（I）.

综上σ（I）＝Kerθ（F），所以σ（I）是L的一个O-理想.

引理2.1设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I是L的一个核理想，则I＝Kerθ（I）.

证明为证Kerθ（I）为L的核理想，只须证Kerθ（I）＝I.下证I＝Kerθ（I）.设x∈Kerθ（I），即（x，0）∈θ（I）.由引理1.2知，存在i∈I，使得x∨i＝i，所以x≤i，故x∈I，因此Kerθ（I）⊆I.

另一方面，由于I是L的核理想，若x∈I，由引理1.1知，x**∈I，又因x≤x**，故x∨x**＝0∨x**＝x**，从而x∈Kerθ（I），即I⊆Kerθ（I）.所以I＝Kerθ（I）.

设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I是L的一个核理想，定义

易见，IO是L的一个滤子.那么，核理想I和滤子IO的同余关系满足下面的定理.

定理2.3θ（I）＝θ（IO）.

证明先证IO为L的余核滤子.假设x∈IO，则存在a∈I，使得x≥a*.从而（f（x））*≥（f（a*））*.由引理1.1知，f（a*）∈I.故（f（x））*∈IO.所以由引理1.1知，IO为L的余核滤子.

设（x，y）∈θ（I），由引理1.2得，存在i∈I，使得x∨i＝y∨i.又因i≤i**，故x∨i**＝y∨i**.所以i*∧（x∨i**）＝i*∧（y∨i**）.又因i*∧i**＝0，因此x∧i*＝y∧i*.又因i*∈IO，所以由引理1.2知，（x，y）∈θ（IO）.因此，θ（I）⊆θ（IO）.

另一方面，设（x，y）∈θ（IO），由引理1.2得，存在j∈IO，使得x∧j＝y∧j.由j∈IO，则存在a∈I，使得j≥a*.于是x∧a*＝y∧a*.所以

因为a*∨a**＝1，从而x∨a**＝y∨a**.又因I是L的核理想且a∈I，故a**∈I，所以（x，y）∈θ（I），因此θ（IO）⊆θ（I）.

综上可得，θ（I）＝θ（IO）.

定理2.4设（L；∧，∨，f，*，0，1）是一个bpO-代数，I是L的核理想当且仅当I是L的O-理想.

证明必要性结合核理想和O-理想的定义易得.

充分性由引理2.1和定理2.3知，I＝Kerθ（I）＝Kerθ（IO）且IO为L的余核滤子，命题得证.

3 结论

在这篇文章中，提出了平衡伪补Ockham代数的O-理想的概念，借助O-理想与核理想的关系，利用平衡伪补Ockham代数的核理想与余核滤子同余关系的表达式，构造了某些理想是O-理想的一些结果，同时，给出了平衡伪补Ockham代数的理想成为O-理想的充要条件，这些结论拓广了序代数的研究，丰富了Ockham代数的发展.

参考文献

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[10]GRÄTZER G.Lattice theory[M].NewYork：W H Freeman and Company，1971.

[11]FANG J，SUN Z J.Balanced pseudocomplemented Ockham algebras[J].Algebra Universalis，2007（57）：291-302.

O-Ideals in Balanced Pseudo-Complemented Ockham Algebras

ZHAO Xiulan,JIANG Hongjing
（Department of Mathematics and Physics,HuangHe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China）

The concept of O-ideals on balanced pseudo-complemented Ockham algebras is introduced.By using the expressions of the kernel ideals and co-kernel filters congruences on a balanced pseudo-complemented Ockham algebra,the sufficient and necessary condition of the Ockham algebra of the O algebra is obtained.

Ockham algebra;balanced pseudo-complemented Ockham algebra;kernel ideal; O-ideal

0151

A

1001-4217（2016）04-0019-05

2015-11-16

赵秀兰（1982—），女，河南周口人，副教授，硕士，研究方向：格论与序代数，E-mail：xiulanz@126.com.