浅谈不等式中“一题多解”的教学思考

姚永亮

【摘要】不等式在高中的数学教学中有非常重要的地位和作用，对学生数学思想的培养和思维能力的训练起着非常关键的作用.高中数学教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”，或者说，“教学生什么”永远比“怎么教学生”重要，我们教学的形式理应服务于教学的内容.因此，要改进当前不等式教学中的诸多问题和弊端，真正地使学生理解和掌握不等式的相关知识，并在不等式的学习中，逐渐领悟数学思想，培养自己的思维能力和创新意识，促进自身的全面发展和素质的不断提高.

【关键词】不等式；一题多解；数学教学

培养学生的数学思维能力是全面培养数学能力的主要途径.数学是思维的体现，解决问题是学习数学的目的.但过多过密盲目地解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳、兴趣降低，窒息学生的智慧，只有“闻一以知十”解题，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维的发展.一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法.下面将以一典型例题来谈谈“一题多解”在高中教学中的神奇效果.

例 设a，b∈R+，a+b=1，求证：1a+1b≥4.

此题是一个内涵丰富的不等式最值问题，问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，我们会产生许多的联想：（1）用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值；（2）利用三角函数进行换元；（3）构造函数等.这样，我们就可以揭开此题“神秘的面纱”了.

解法1：

由于a，b∈R+，利用均值定理a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立），则：

∵a+b≥2ab即2ab≤1，

∴ab≤14即ab≤a+b4，

∴a+bab≥4即1a+1b≥4.

解法2：

1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4（当且仅当a=b=12时等号成立）.

解法3：

由于a，b∈R+，根据柯西不等式，得1a+1b=1a+1ba+b=[（a）2+（b）2]1a2+1b2≥a×1a+b×1b2=4

当且仅当a1a=b1b即a=b=12时等号成立.

解法4：

根据sin2α+cos2α=1，利用换元法得：

令a=cos2α，b=sin2α，则：

1a+1b=1cos2α+1sin2α=sin2α+cos2αsin2α·cos2α=114sin22α=4sin22α≥4

（当且仅当sin22α=12α=π2+kπα=π4+k[]2π，即a=b=12时等号成立）.

解法5：

由a，b∈R+且a+b=1得b=1-a，则：1a+1b=1a+11-a0

f′（x）=-1x2+11-x2=2x-1x21-x2.

故x∈0，12时，f′（x）<0；x∈12，1时，f′（x）>0即f（x）在0，12上单调递减，在12，1上单调递増，

所以f（x）≥f12=4，即1a+1b≥4.

解法6：（反证法）

假设1a+1b<4，则：

∵a，b∈R+，故a+b<4ab.即ab>14.

而ab≤a+b22=14，两者相违，故假设不成立.

∴1a+1b≥4.

上述主要是用综合法、分析法、三角换元法、反证法、构造函数法等解决不等式问题，解不等式的方法多种多样，层出不穷，我们在学习过程中还要不断探索、研究，不断总结.

总结 学生是学习活动的主体，因此，在教育教学活动中，必须充分尊重学生的主体地位.教学实践不是单纯地教授学生知识，而是引导学生自己探索，去发现去学习.因此，教师要有侧重点地设计教学，充分挖掘学生的潜能.做到深入浅出地进行讲解，对解答要有理有据，同时注意渗透数学思想，引导学生发现规律，并总结规律，把课堂交给学生，给学生足够的时间、空间和机会.