一类行列式考研题目的算法探究

郭 杰，郭淑妹

(信息工程大学 理学院,河南 郑州450001)

一类行列式考研题目的算法探究

郭 杰，郭淑妹

(信息工程大学 理学院,河南 郑州450001)

结合线性代数中常用的“打洞”技巧，对具有某种特定结构的行列式提出了具有针对性的计算方法.计算方法思路清晰，简洁高效，对这种类型的行列式的计算起到事半功倍的效果.

线性代数；行列式计算；考研试题；“打洞”技巧；矩阵初等变换

0 引言

行列式是线性代数[1-3]的开篇章节，对于学生领悟线性代数的思想和方法有着重要意义,行列式的熟练掌握对于后面章节的学习起着举足轻重的作用，但是学生往往对行列式的计算又有些不知所措、无从下手.行列式计算不理想的原因是多方面的，一方面，行列式的定义抽象、不可捉摸，对于刚入学的大一新生来说是个不小的挑战；另一方面，行列式的题目千变万化、纷繁复杂，学生不可能把每个题目都做一遍.因此引导学生学会归纳整理则会事半功倍，对于具有某种特点的行列式就用某种固定的解法，针对性强，提高做题效率.对该类题目的做法要理解其要点，举一反三、触类旁通.

行列式是研究生入学考试的必考知识点.从历年真题来看，行列式在考研数学试卷中一般以填空题、选择题为主，所占比例不是很大，但却是必考内容，而且不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、求逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、方阵的特征值、正定二次型、正定矩阵等都会涉及行列式.如果试卷中没有独立的行列式试题，必然会在其他章节的试题中得以体现，所以在教学中必须要求学生熟练掌握行列式计算的常用方法.

1 行列式计算的一般方法介绍

行列式的计算方法有很多，比如降阶法，有时与递推法结合使用，或者借助特殊行列式比如三角行列式、范德蒙行列式、三线型行列式等，还有一些较高难度的加边法、拆分法等.行列式计算的题型一般分为数字型行列式的计算、抽象型行列式的计算、含参数的行列式的计算.下面我们就一类行列式关于考研题目的计算进行探究.

例1 2015年研究生考试数学(一)中的填空题第13题[4-5]，计算行列式

解法1 从行列式的结构上看，特点明显，大多数元素为零，同时元素分布比较有规律，因此可以设法找出n阶行列式Dn与较低阶行列式的关系，以此类推来计算行列式.据此，按行按列展开，然后结合递推法计算.对行列式Dn按第n行展开有

整理得Dn=Dn-1+2n，进一步有

Dn-1=Dn-2+2n-1
Dn-2=Dn-3+2n-2,

…

D2=D1+22，

D1=2，

相加求和得Dn=2n+2n-1+…+22+2=2n+1-2.

以上两种方法是计算行列式的常用的基本方法，对于大多数行列式来说，应用上述方法均可求解.但是具有这种特定结构的行列式，我们还可以采用更有针对性的解法，做到有的放矢，精简高效.

2 特定结构行列式的针对性解法

为了探究计算这一类行列式的一般解法，需要介绍下述的舒尔公式，通常又称为矩阵“打洞”技巧，实际上是将矩阵的初等变换推广到对分块矩阵施行初等变换，华罗庚教授形象地称此方法为矩阵“打洞”.矩阵“打洞”技巧在行列式计算、可逆阵的判定、逆矩阵的求解、二次型理论等方面的应用,显示了它是矩阵计算中最基本的技巧,也是最重要、 最有用的技巧.

证明思路也很简单，就是利用子矩阵A或者D的可逆性来“打洞”，换句话说就是将子矩阵B或C化为零子块.总之“打洞”并不复杂，就是利用可逆的子矩阵来做初等变换消去其他的子矩阵，从而实现问题的简化.

解法3 令

同样，我们可以用舒尔公式简化线性代数教材中的习题.

证明令

注意：题中约定x≠0，若x=0，可用第1列展开得证.

考研题目纵有千变万化，但是万变不离其宗，比如2016年考研试题数学一的填空题第13题：

不难看出，这个行列式和例2的结构完全相同，只是阶数降了，改编为四阶行列式.这个类型的行列式计算技巧掌握了，不论如何变形，我们都能顺利求解.同时，我们还可以利用舒尔公式2)计算这类型的行列式考研题目.

解令

以上借助矩阵的“打洞”技巧计算了一类具有某种特点的行列式，给出了具体的操作方法和步骤，希望能够引导读者对行列式计算更进一步的探索.

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[3]方文波，段汕，江世宏,等.线性代数及其应用[M].北京：高等教育出版社,2011:6-35.

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Exploration on Determinant of Grind Subject Algorithm

GUO Jie,GUO Shumei

(SchoolofScience,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

Based on skills of making a hole in linear algebra,corresponding algorithm for a particular structure of determinant is proposed.The method is clear,concise and very efficient for this type of determinant calculation.

linear algebra; determinant calculation; questions of postgraduate entrance exam; skills of making a hole; elementary transformation of matrix

2016-08-12

信息工程大学教育教学项目(XDJY3-2016039,XD6201513C)

郭 杰(1979—)，女，河南淮阳人，信息工程大学理学院副教授，主要研究方向：统计学应用及数据处理.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.012

G642.0；O151

1007-0834(2016)04-0048-04