工程例证式教学法的实践研究——Fourier变换的频移特性

吴聪伟，曹继平，朱亚红

(1.火箭军工程大学 理学院，陕西 西安 710025；2.火箭军工程大学 五系，陕西 西安 710025)

工程例证式教学法的实践研究
——Fourier变换的频移特性

吴聪伟1，曹继平2，朱亚红1

(1.火箭军工程大学 理学院，陕西 西安 710025；2.火箭军工程大学 五系，陕西 西安 710025)

阐述了工程例证式教学法的思想内涵、基本特征以及基于“多、寡、易、止、精、熟”的案例选择原则，并结合积分变换课程中“关于Fourier变换的频移特性”的案例详细介绍了工程例证式教学法的实施原则和方法.工程例证式教学法在积分变换研讨课上的实施表明此法对于改善传统教学带来的弊端效果明显，是提高教学效果的有效策略.

工程例证式教学法；Fourier变换；频移特性；传统教学；有效策略

0 引言

“工程数学—积分变换”课程学习的主要目的在于培养工程类学生把积分变换作为一种工具去应用解决实际问题的能力，然而现行“积分变换”教学中存在很多突出的问题(学生对此课程并无兴趣甚至反感等).这样的现象，不仅是教学课时紧缺的缘故，更大程度上是我们采用“重理论知识讲解而轻背景应用介绍”的传统教学模式造成的.这种教学方式会在学生心中埋下理论和应用分割的假象，不利于其后续专业课学习及以后发展.这也至少从侧面说明现有传统的课堂教学模式需要一些改变，让学生不仅有兴趣有能力学，而且能够学以致用.在明确工程应用背景下提出的工程例证式教学法不仅可以丰富教学理论，而且能够为工程教学实践提供参考，进一步改善目前工程类数学课程中存在的诸多教学弊端.文章分析工程例证式教学的内涵并结合具体案例——Fourier变换的移频特性分析探讨了工程例证式教学法案例的选择及实施组织原则和方法，力图构建工程例证式教学的理论,从而丰富教学的理论.

1 工程例证式教学法内涵

工程例证式教学法主要是针对工程类数学课程教学，并经过多年教学经验总结与思考，在现有例证式教学法基础上提出来的能够有效维持和促进工程类学生学习的教学方法.它是一种以工程案例来组织教学的教学方法，和传统案例式教学法[1]相比，主要差别不仅在于其提供大量生动形象、贴近学员工程专业背景的案例，而且主要体现在其例证教学中“证”的成分能够有力地为数学基础理论服务.

工程例证式教学法体现理论知识在工程中具体的应用价值，同时从应用层面为工程数学理论知识提供了支撑，改变了以往“以理论支撑理论”的教学模式.利用工程案例对理论知识的辅助讲解，并不以学懂学会某一具体知识点为目的，而是通过这种教学方式启发鼓励学生自己利用工程例证式教学过程中所掌握的技巧去探索和思考问题.此教学方法不仅丰富了教学理论，而且能够在一定程度上弥补工程类数学课程传统教学的种种弊端.

工程例证式案例的选择，从数量和质量上应避免“多、寡、易、止”.不宜过于多，多则不精；亦不能太少，少则无法达到相应的教学效果；不能太容易，太易则使学生缺乏探索之激情；又不能浅尝辄止而不前，要给学生一定思考探索的空间.“积分变换”是通信工程专业学生后续课程“通信原理”的数学基础课，近年来关于“通信原理”课程教学改革研究[2-3]较为普遍，更多研究表明工程数学课堂教学效果直接影响了学生后续专业课程的学习效果.下面以“积分变换”课程中Fourier变换的频移特性为例进行工程例证式教学内容剖析.

2 例证案例：Fourier变换的频移特性

2.1 基本概念

无线电技术中经常需要传送的单音频信号f(t)由于其频率太低，导致信号在传送过程中衰减很快，不适合远距离传送.实际中会借助一个高频载波信号x(t)=ejω0t(ω0比较高)作为载体，产生一个高频振荡信息fω0(t)=f(t)x(t)再发送，达成远距离有效无线传送信号的目标.调幅信号fω0(t)可以经过天线以电磁波的形式辐射到空间中去，从而达到用高频信号x(t)“运载”低频音频信号f(t)的目的.

在此过程中，经常需要搬移低频信号的频谱至一个高频ω0附近，此时要用到Fourier变换的频移特性(调制定理)，即

f(t)e±jω0t↔F(ω∓ω0),

(1)

其中F(ω)为f(t)的Fourier变换，即F(ω)=F(f(t)).Fourier变换的频移特性表明，可以通过原信号f(t)与ejω0t或e-jω0t相乘达到将其频谱函数频移的目的.实际中，将低频信号f(t)的频谱F(ω)移至高频ω0附近，这称为调制；反之，对一个频谱在高频ω=ω0附近的信号f(t)，可以通过原信号f(t)与ejω0t相乘使其频谱搬移到ω=0(低频信号)，此过程称为解调.

用最简短而精准的语言将专业课“通信原理”中的基本概念加以介绍，尽可能地通俗易懂而又不失其数学严谨性，为内容讲解做充分准备.

虚指数信号ejω0t是正弦信号的一部分，因此工程上常将f(t)与正弦函数sin(ω0t)或余弦函数cos(ω0t)相乘达到频谱搬移的目的，即选择载波x(t)为sin(ω0t)或cos(ω0t),

由频移特性(1)易知调制以后的频谱为

(2)

2.2 实例

2.2.1 非周期信号频移特性

设有门信号

由图1可容易看到，门函数与高频振荡相乘，其结果就是把门信号函数的频谱对称平移到ω0附近，这正是理论知识Fourier变换的频移特性在调幅无线电广播中发挥的重要作用.

图1 门信号的调幅信号及其频谱图Fig.1 Amplitude modulation signal and its frequency spectrum of the gate signal

可见Fourier变换的频移特性，能够实现将多个低频信号频谱分别搬移到各自不同的载波频率附近，选择合适的不同高频载波，明显能使这些低频信号的频谱互不重叠，从而实现了多个低频信号在同一信道内传送，即所谓“频分复用多路通信”.

2.2.2 周期信号频移特性

fω(t)=Asin(2πω0t)+mAcos(2πω1t)sin(2πω0t)=

调幅信号由三个频率分量ω0,ω0-ω1,ω0+ω1对应的单音频信号组合而成，其相应的频谱图如图2.

图2 低频周期信号的调幅信号及其频谱图Fig.2 Amplitude modulated signal and its frequency spectrum of low frequency periodic signal

语音信号和音频信号并非单音频信号，而是包含了许多频率成分，因此已调信号的频谱是分布于载波附近的一群频率分量，占有一定的频带.通过这样的工程例证式教学，不仅展示了理论知识的应用特色，而且充分地利用图形的直观性解释实证了理论知识，更易于学生接受并最大限度地激发其学习潜力.

3 案例的实施

工程例证式教学中例证的建构主要以我校学生后续专业基础课程的需求入手，寻找合适恰当的例证，其实施原则是“重引导而轻牵引、重启发轻结果”，以合适的引导和鼓励营造一个师生亲和融洽的教学气氛，从而达到让学生能够具备放开思维去独立思考并探索问题的能力.《礼记》中讲：“故君子之教也，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达，道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思，和易以思，可谓善喻矣.”大意就是，教学过程应该本着“引导而不牵着鼻子、鼓励而不抑制思考、启发而不言尽其意”的原则，使得教学在一个亲和融洽的气氛下进行，能让学生觉得轻松，又能去独立思考，如此方是一种好的教学，即“可谓善喻矣”.

以Fourier变换的频移特性为例，在教学设计过程中一定要把握好“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的原则.例如，以“单音频频率信号在传送过程中衰减很快不适合远距离传送”为问题，可以适当创造一些机会让学生在课堂上表达自己的想法，适时引导学生思考如何才能克服这个问题，尽量避免教学中“牵鼻子”行为.通过载波方式解决了单音频频率信号在传送过程中衰减问题后，可能需要留给学生一些研讨的空间，充分活跃课堂气氛，“道而弗牵则和”就是这个道理.通过研讨，适时引导必然有学生意识到通过单纯低频和高频信号相乘肯定不是唯一解决问题的方法，那么后续将频移特性的两种情形(周期和非周期信号)展示出来时，学生就不会因为两种调幅信号的形式不同而有所困惑，甚至可以鼓励学生去积极探索不同情况下调幅信号如何去获得，这就留给了那些更擅长自主探索学习的学生更大的学习空间.

以Fourier变换频移性质一个简单应用的讲解为突破口实施工程例证式教学法研究，不仅表面上极大地激发了学生学习兴趣，而且实际上达到了工程类课程“以数学知识为工具解决工程实际问题”的目的.

4 结束语

以“积分变换”课程为基础展开的教学改革工作[4-5]表明通过具体一门课来逐步展开新的教学法实践研究是一条有效途径.因此，工程例证式教学法实践前后,笔者对火箭军工程大学二年级通信工程专业同学进行了简单的问卷调查，并对其中和“积分变换”课程相关的部分问题做了对比分析.问题1：“这门课有什么实际应用”，想过这个问题吗？问题2：积分变换应用于求解积分微分方程? 问题3：积分变换应用于线性系统分析? 问题4：积分变换应用于信号原理? 问题5：给你一个机会再学一遍“积分变换”，是否有兴趣？调查结果令人惊讶，工程例证式教学实施前后，学生对同样问题的回答有了明显的改变，统计对比结果如图3.

图3 工程例证式教学法实施前后调查问卷对比Fig.3 Comparison of questionnaire before and after the implementation of the engineering exemplification teaching method

可以看到，工程例证式教学法实施后，绝大多数(68%)通信工程专业学生课程结束后仍然有兴趣去重新学习“积分变换”.相比之前4.1%的结果而言，通信工程专业学生对“积分变换”这门对他们后续专业课而言重要的课程的兴趣得以提升，这也从侧面证实了工程例证式教学法作为影响教学效果的内部因素对教学效果的改善是明显有效的，从一定程度上缓解了有限课时下“重理论知识讲解而轻背景应用介绍”的教学困境.

[1]张艳.浅析国内大学法学教学中的案例教学法之不足与对策[J].教育理论研究,2013(12)：279-280.

[2]唐万伟.通信原理课程多维教学改革方法与实践[J].课程教育研究,2013(30)：17-18.

[3]吴俊,徐丹,罗勇.军队院校“通信原理”的实验教学改革[J].电气电子教学学报,2014,36(1):100-102.

[4]肖亚峰,侯强,杨明.复变函数与积分变换课堂教学方法改革研究[J].中北大学学报(社会科学版),2007,23(S1):160-162.

[5]李景和.复变函数与积分变换课程的教学改革与实践[J].数学研究,2013,36(4):92-95.

Practice Research of Engineering Exemplification Teaching Method:Frequency Shift Characteristics of Fourier Transform

WU Congwei1,CAO Jiping2,ZHU Yahong1

(1.CollegeofScience,RocketsEngineeringUniversity,Xi’an710025,China; 2.The5thDepartment,RocketsEngineeringUniversity,Xi’an710025,China)

The ideological connotation,basic characteristics of engineering exemplification teaching method (EETM) and the case selection principle based on the “multiple,few,easy,precise and mature” is expounded.Combining with the case of frequency shift characteristic of Fourier transform in the course of integral transformation,the implementation principles and methods of EETM is introduced in detail.The implementation of EETM in the course of integral transformation shows that this method has obvious effect on improving the disadvantages of traditional teaching,and it is an effective method to improve the teaching effect.

engineering exemplification teaching method; Fourier transform; frequency-shift characteristics; traditional teaching; effective strategy

2016-08-23

第二炮兵工程大学教育教学理论研究项目(EPGC2015009)

吴聪伟(1986—)，男，陕西眉县人，火箭军工程大学理学院讲师.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.017

G642.0

1007-0834(2016)04-0068-04