舒尔不等式的四元形式

我们知道，著名的舒尔不等式的一种三元形式为：已知a,b,c≥0, 则有abc≥(b+ca)(c+a-b)(a+b-c) ①.在文献[1]中，给出了不等式①的四元形式：

问题1：设a,b,c,d是非负实数，证明：(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)≤(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)②.

说明：显然，在不等式②中令d=0,便导出舒尔不等式①.

针对如下形式的舒尔不等式：已知a,b,c≥0, 则有(a+b+c)3+9abc≥4(a+b+c)·(ab+bc+ca)③.

探究其四元形式，笔者获得：

问题2：已知a,b,c,d≥0, 证明：(a+b+c+d)3+9(abc+bcd+cda+dab)≥4(a+b+c+d)(ab+bc+ca+ad+bd+cd)④.

证明：不妨设a≥b≥c≥d≥0,应用三元舒尔不等式有(a+b+c+d)3=[a+b+(c+d)]3≥4(a+b+c+d)[ab+b(c+d)+(c+d)a] -9ab·(c+d).于是，只要证明4(a+b+c+d)[ab+b(c+[d)]+(c+d)a]-9ab(c+d)≥4(a+b+c+d)(ab+bc+ca+ad+bd+cd)-9(abc+bcd+cda+dab)等价于9(bcd+cda)≥4(a+b+c+d)cd,等价于9(a+b)≥4(a+b+c+d), 因为a≥b≥c≥d≥0,所以9(a+b) ≥8(a+b)≥4(a+b+c+d),成立.获证.

说明：显然在不等式④，令d=0,便导出舒尔不等式③.