几何s-凸函数的加权积分不等式

时统业，周国辉

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

几何s-凸函数的加权积分不等式

时统业，周国辉

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

从几何s-凸函数的定义出发，建立了几何s-凸函数的Fejér 型和 Hermite-Hadamard 型不等式，推广了几何凸函数的一些结果．

s-凸函数；几何s-凸函数；积分不等式

0 预备知识

1978年，作为通常凸函数的推广，BRECKNER W W在文献[1]引入了第二种意义上的s-凸函数．1994年，HUDZIK H和MALIGRANDA L在文献[2]中研究了第二种意义上的s-凸函数的性质．

定义1[1]称f：[0，∞)[0，∞)→R是第二种意义上的s-凸(凹)函数，若存在s∈(0，1]，使得对任意x，y∈[0，∞)，λ∈[0，1]，有

f(λx+(1-λ)y)≤(≥)λsf(x)+(1-λ)sf(y)．

1999年,DRAGOMIR S S在文献[3]中建立了第二种意义上的s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

定理1[3]设f：[0，∞)→[0，∞)是第二种意义上的s-凸(凹)函数，s∈(0，1]，a，b∈[0，∞)，a

2010年，李觉友给出s-预不变凸函数的概念和Hadamard型不等式[4]．2013年，双叶、尹红萍等引入第二种意义上的GA-s-凸函数的概念．

定义2[5]设0

f(xty1-t)≤(≥)tsf(x)+(1-t)sf(y)，

则称f在区间I上是第二种意义上的GA-s-凸(凹)函数．

2014年，ISSCAN I在文献[6]中给出第二种意义上的GA-s-凸(凹)函数的Hermite-Hadamard型不等式．

定理2[6]设0

2015年，NOOR M A、NOOR K I、AWAN M U等在文献[7]中引入第二类调和s-凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式．

定义3[7]设0

则称f在区间I上是第二个意义上的调和s-凸(凹)函数．

定理3[7]设0

2015年，席博彦、祁峰在文献[8]中引入s-对数凸函数的概念．NOOR M A、QI FENG、AWAN M U在文献[9]中给出s-对数凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

定义4[8]设0

f((1-t)a+tb)≤(≥)[f(a)](1-t)s[f(b)]ts，

则称f在区间I上是s-对数凸(凹)函数．

定理4[9]设0

定义5 称函数g：[a，b](0，+∞)→R是关于几何对称的，若对任意x∈[a，b]有

2016年，宋振云在文献[10]中引入第二类调和平方s-凸(凹)函数的概念，又在文献[11]中提出了几何s-凸函数的概念，并建立了几何s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

定义6[10]设I(0，+∞)，s∈(0，1]，f：I→(0，+∞)，若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，有

则称f(x)为I上的调和平方s-凸(凹)函数．

定义7[11]设I(0，+∞)，s∈(0，1]，f：I→(0，+∞)，若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，有

(1)

则称f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数．当s=1时，几何s-凸函数即通常的几何凸函数[12]．

定理5[11]设0

(2)

对任意正值函数f(x)和p(x)，因为lnx是凹函数，由Jensen不等式得

(3)

(4)

引理1[11]设I(0，+∞)，s∈(0，1]，f：I→(0，+∞)，则f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数的充要条件是函数lnf(ex)为I上的s-凸(凹)函数．

引理2 设[a，b](0，+∞)，s∈(0，1]，g：[a，b]→(0，+∞)，则g为[a，b]上的s-凸(凹)函数，则函数φ(x)为上的s-凸(凹)函数．

本文的目的是建立几何s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

1 主要结果

定理6 设0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

证明 在式(1)中取t=1/2，得

(11)

对任意t∈[0，1]，在上式中取x1=a1-tbt，x2=atb1-t，并利用几何s-凸函数定义得

两边乘以p(a1-tbt)，然后对t在[0，1]上积分得

又利用积分换元法得

于是式(5)得证．

则式(6)得证．

由式(11)得

(12)

将式(12)的左边不等式乘以p(x)，然后对x在[a，b]上积分，则式(7)得证．

则式(8)得证．

式(9)的左边部分与式(5)的左边部分等价，又由式(3)可得式(9)的右边部分，于是式(9)得证．

则式(10)得证．

注1 当p(x)=1时，由式(5)可得几何凸函数的Hermite-Hadamard型不等式(2)．

注2 式(8)的右边不等式的成立与f的凸性无关．式(9)的右边不等式的成立与f的凸性及p(x)的对称性都无关．若f(x)为[a，b](0，+∞)上的几何s-凹函数，则不等式(5)、(6)中的不等号反向．

注3 若f为[a，b]上的单调函数，则可以对定理2中的式(8)作如下改进：

(13)

故式(13)的第二个不等式得证．式(13)的右边不等式可由Cauchy-Schwarz不等式立得．

注4 ex是[a，b](0，+∞)上的几何s-凸函数．事实上，对任意x，y∈[a，b]，t∈[0，1]，有

exp(xty1-t)≤exp(tx+(1-t)y)≤exp(tsx+(1-t)sy)=(ex)ts(ey)(1-t)s，

在定理6中取f(x)=ex，则由式(10)得

在定理6中取p(x)=1，得到下面的推论．

推论1 设0

(14)

(15)

特别地，当s=1也即f(x)为[a，b]上的几何凸函数时，由式(15)和(14)分别得到文献[13]中定理4.4.13的(i)和(ii)的结果：

定理7 设0

(16)

证明 由注2知，式(16)的左边不等式成立．由式(3)、(4)知式(16)的右边不等式成立．

推论2 设0

特别地，当s=1也即f(x)为[a，b]上的几何凹函数时，则得到文献[13]中定理4.4.13的(i)和(ii)的结果：

[1]BRECKNER W W．Stetigkeitsaussagen für eine klasse verallgemeinerter konvexer funktionen in topologischen linearen Räumen[J]．Publ Inst Math，1978，23：13-20．

[2]HUDZIK H，MALIGRANDA L．Some remarks ons-convex functions[J]．Aequationes Math，1994，48：100-111．

[3]DRAGOMIR S S，FITZPATRICK S．The Hadamard’s inequality fors-convex functions in the second sense[J]．Demonstratio Math，1999，32(4)：687-696．

[4]李觉友．关于s-预不变凸函数的Hadamard型不等式[J].重庆师范大学学报(自然科学版),2010，27(4)：5-8．

[5]SHUANG YE，YIN HONGPING，QI FENG．Hermite-Hadamard type integral inequalities for geometric-arithmeticallys-convex functions[J]．Analysis，2013，33(2)：197-208．

[6]ISSCAN I．Hermite-Hadamard type inequalities for GA-s-convex functions[J]．Le Matematiche，2014，69(2)：129-146．

[7]NOOR M A，NOOR K I，AWAN M U，et al．Some integral inequalities for harmonicallyh-convex functions[J]．University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin-Series A-Applied Mathematics and Physics，2015，77(1)：5-16．

[8]XI BOYAN，QI FENG．Some integral inequalities of Hermite-Hadamard type fors-logarithmically convex functions[J]．Acta Mathematica Scientia，2015，35(3)：515-524．

[9]NOOR M A，QI FENG，AWAN M U．Some Hermite-Hadamard type inequalities for log-h-convex functions[J]．Analysis，2013，33(4)：367-375．

[10]宋振云．调和平方s-凸函数及其Jensen型不等式[J]．数学的实践与认识，2016，46(3)：279-284．

[11]宋振云．几何s-凸函数及其性质[J]．山西师范大学学报(自然科学版)，2016，30(1)：1-5．

[12]吴善和．几何凸函数与琴生型不等式[J].数学的实践与认识,2004，34(2)：155-163.

[13]张小明，褚玉明．解析不等式新论[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009：146-147．

Weighted Integral Inequalities fors-Geometrically Convex Functions

SHI Tongye，ZHOU Guohui

(DepartmentofInformation，NavalCommandCollege，Nanjing211800，China)

By definition ofs-geometrically convex functions，Fejér and Hermite-Hadamard type integral inequalities fors-geometrically convex functions are obtained．Several integral inequalities fors-convex functions are expanded．

s-convex function;s-geometrically convex function; integral inequality

2016-06-05

时统业(1963—)，男，河北张家口人，海军指挥学院信息系副教授，主要研究方向：基础数学教学．

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.001

O178

1007-0834(2016)04-0001-06