三十六计和概率论与数理统计课堂教学

李新娜，陈 轲,刘 楠

(1.信息工程大学 理学院,河南 郑州 450002; 2.信息工程大学 导航与空天目标工程学院，河南 郑州 450002)

三十六计和概率论与数理统计课堂教学

李新娜1，陈 轲2,刘 楠1

(1.信息工程大学 理学院,河南 郑州 450002; 2.信息工程大学 导航与空天目标工程学院，河南 郑州 450002)

讨论三十六计中的“以逸待劳”“抛砖引玉”“声东击西”“欲擒故纵”和“树上开花”等计策在概率论与数理统计课堂教学中的概念引入和解题方法中的应用.这种形式让学生能更快地记住新的数学概念和计算方法，拓展了数学的文化性和应用性.

三十六计;概率;计策

0 引言

三十六计是中国古代兵法谋略的集大成者，不仅是中国古代军事思想的瑰宝，而且其中一些思想、方法、原则对数学课堂的教学很有指导意义[1].作为教学活动的重要组成部分，课堂教学是师生为达到一定的教学目的，利用一定教学环境而采取有效措施进行知识传授的活动，是谋略在教学领域的具体体现和应用.

概率论与数理统计是理工科本科学生都必须学习的基础主干数学课程[2]，该课程的研究对象是随机现象，与高等数学、线性代数等确定性现象的数学课程在思想方法上有很大的不同，初学者对其概念的领会和方法的掌握往往感到很困难.子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”正是为了增加学生的学习兴趣，本文拟将三十六计加入概率论与数理统计课堂教学，这也契合了最近几年广为研究和倡导的在大学教育中开展人文素质教育的教学理念.

1 概念引入的计策

1.1 以逸待劳

三十六计中第四计“以逸待劳”，讲的是“困敌之势，不以战；损刚益柔”.意思是迫使敌人处于困顿的境地，并不需要以马上开战的方式获得，而是要夺其锐势，使自己从被动变为主动[1].用在数学教学方面就是：教师可适时设置一些“繁琐”，激起学生解决矛盾和探求真相的强烈愿望，让学生处于“口欲言而未能，心求通而未达”的急切期待的心理状态，促使学生更加积极主动地参与新知的学习.

概率论与数理统计是一门实用性很强的学科，在生活中的知识原型非常多，因此，在教学过程中，可引入大量的相关问题、案件来激发学生探求真相的欲望，引导学生在不经意间进入学习正题，既丰富了感性积累，又水到渠成地为后面进一步探究做了自然的联系和铺垫.

案例1 Bayes公式.在学习Bayes公式之前，引导学生围绕2个问题进行讨论.

问题1 生病时求医，为什么大家都愿意挂“专家号”？

问题2 伊索寓言“狼来了”的故事中，在小孩连续2次说谎之后，即便真的狼来了，人们也不愿意再相信小孩的话了，为什么？

问题1是因为专家的经验更加丰富，他可通过一些细微的表现较为准确地判断出生病的原因，进而对症下药；问题2是因为人们有了2次受骗的经验，在第3次听到小孩的求救声之后，人们判断出“小孩仍在说谎,即狼没有来” (即便狼真的来了).这两个问题均是“通过观察或经验得到一种结果，继而推测或判断其原因”，那么能否从数学层面对上述现象进行分析，整理出相应的适用公式？

1.2 抛砖引玉

三十六计中第十七计“抛砖引玉”，讲的是“类以诱之，击蒙也”.意思是出示某种类似的东西去诱惑敌人，然后便可打击受我诱惑的愚蒙之敌人[1].用在数学教学方面就是：要解决某些数学问题，不妨先利用已知的条件和常规的数学手段去处理.在处理过程中，留意新的逻辑关系的产生，进而处理更为复杂的数学问题.

概率论与数理统计归根结底是一门数学课，具有数学课程的严谨性、连贯性，因此，在实际教学过程中教师要注重将前后知识点进行合理的联系，在巩固“旧知”的基础上衍生“新知”.其实，在正常的教学活动中，教师也往往在不自觉地使用该计策，但是这种计策使用效果的好坏，关键在于如何将“砖”与“玉”进行合理的连接.

案例2 随机变量的独立性.为了引出“随机变量的独立性”这块“玉”，首先抛出“事件的独立性”这块“砖”.关于独立性，学生并不陌生.在学习了“事件的独立性”后，如何从“事件的独立性”扩展到“随机变量的独立性”呢？在教学过程中，教师就要设置一定的引导问题，使得“砖”与“玉”进行恰当的沟通.

问题1 事件与随机变量之间是什么关系？

任一事件均可用随机变量在某个实数集合上取值表示，反之，随机变量在某个实数集合上取值也对应于一个事件.因此，事件与随机变量之间有一一对应关系，我们就可以借助于事件的独立性来定义随机变量的独立性.

问题2 随机变量包含的事件非常多，为了定义随机变量的独立性就需要验证所有相关事件的独立性，有没有简便的方式来表达随机变量包含的事件？

随机变量在某个实数集合上取值总是可转化为{X≤x}形式的事件的组合，因此我们只需要讨论{X≤x}形式的事件之间的关系.定义A={X≤x}，B={Y≤y}，则利用事件的独立性，得

P{X≤x,Y≤y}=P(AB)=P(A)P(B)=P{X≤x}P{Y≤y}.

根据分布函数的定义，上述等式正是F(x,y)=F(x)F(y).

2 解题方法的计策

2.1 声东击西

三十六计中第六计 “声东击西”，讲的是“敌志乱萃，不虞、坤下兑上之象，利其不自主而取之”.意思是敌人神智混乱而且疲惫，而敌方并未意识到，这时我方则要抓住敌人不能自控的混乱之势，出其不意地一举夺胜[1].用在数学解题方面就是：要解决某一数学问题，可使用的逻辑关系已经建立，但通过该逻辑关系很难解决该问题，这时我们不妨先观察一下该问题对应点上的问题，通过该对应点问题的解决，达到最终解决该数学问题的目的.

案例3 (逆事件概率公式)一个班级一共有35名同学，请问至少两名同学同一天过生日的概率是多少?

解设A为“该班至少两名同学同一天过生日”，其逆事件为“该班每人生日都不相同”，则

总结事件A包含了很多个事件，如“该班两名同学同一天过生日”…… “该班35名同学同一天过生日”.若逐一求解各个事件的概率，则该概率问题的计算将会非常复杂，为此考虑它的逆事件的概率.如果将逆事件概率公式与事件独立性相结合，可以解决更加复杂事件的概率计算问题.

2.2 欲擒故纵

三十六计中第十六计 “欲擒故纵”，讲的是“逼则反兵，走则减势.紧随勿迫，累其气力，消其斗志，散而后擒，兵不血刃.需，有孚，光”.意思是逼迫敌人太紧，他可能因此拼死反扑，但若让他逃跑则可削减其气势.紧紧跟随又不交手，消耗敌方有生力量和麻痹其战斗意志，使敌方成为一盘散沙，最后我方轻而易举地获得最后胜利[1].用在数学解题方面就是：要解决某些数学问题，直接解决无有效的数学手段，若使其变得更为复杂时，很多数学手段却更容易使用.但复杂和简单之间又存在某种联系，用看似复杂了的关系使问题简化，最后达到解决该数学问题的目的.

案例4(数学期望的计算方法)一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车.如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车次数，求E(X)(设每旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立).

解X为离散型随机变量，取值范围为0，1，2，…，10，但它的取值概率并不容易确定，从而直接利用数学期望的定义进行求解困难很大.设

并且X=X1+X2+…+X10.虽然把X变成了10个随机变量的和，形式上变得复杂，但是Xi的分布律很容易确定，即

总结通过该例题的分析，总结出计算数学期望的一类方法——随机变量分解法，即将复杂随机变量转化为一些简单随机变量的和.该方法适用于求解背景复杂的随机变量的数学期望，推而广之，利用该方法求解二项分布b(n,p)的数学期望等.

2.3 树上开花

三十六计第二十九计“树上开花”，讲的是“借局布势，力小势大.鸿渐于陆，其羽可用为仪也”.意思是借助某种局面布成阵势，兵力弱小但可使阵势强大，就像鸿雁张开了羽毛丰满的翅膀一样[1].用在数学教学方面就是：对于某一数学问题，如果人为呆板地去完成，会造成不必要的时间上的浪费.但若借助某种工具，使人能从机械的工作中解脱进而解决该数学问题.

案例5 (中心极限定理的应用)一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率为1/3，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，求其中有29 500～30 500次纵摇角度大于3°的概率.

P{29 500≤X≤30 500}≈

总结通过两种计算方法复杂度的对比，学生更形象地感受中心极限定理的应用——随机变量和的概率计算问题.同时，通过该计策的提出，学生也更容易记住这类问题的解题方法.

3 小结

在课堂教学中，三十六计和概率论与数理统计教学相结合，教师以谋略处于主动，并以此调动学生的好奇心和求知欲，启发学生发现学习中的乐趣，引导学生巧妙解决问题，受到学生的喜欢，课堂气氛也变得活跃.这种形式让知识点变得更鲜亮起来，使学生能更快地记住新的数学概念和解题方法，拓展了数学的文化性和应用性.

[1]代新祥.数学与三十六计[M].吉林：吉林大学出版社,2010.

[2]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京:高等教育出版社,2008．

The Classroom Teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics Based on the Thirty-six Stratagems

LI Xinna1,CHEN Ke2,LIU Nan1

(1.SchoolofScience,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450002,China;2.InstitutionofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

By using “waiting at one’s ease for the exhausted enemy”“giving the enemy something to induce him to lose more valuable things” “making a feint to the east and attacking in the west” “letting the enemy off in order to catch him” and “putting artificial flowers on trees” from the Thirty-six Stratagems,focus on the concept introducing and problem solving method in the process of classroom teaching of probability theory and mathematical statistics.The students may quickly grasp the new concepts and solving methods.And the culture and application of mathematics is expanded.

the Thirty-six Stratagems; probability; strategy

2016-01-19

信息工程大学教育教学项目(XD6201513C)

李新娜(1982—)，女，河南确山人，信息工程大学理学院讲师，博士，主要研究方向：应用统计．

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.014

G642.0;O211.67

1007-0834(2016)04-0058-03