高中数学解题中换元法的运用

☉江苏省盐城市亭湖高级中学 侍昌亚

高中数学解题中换元法的运用

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换元法是高中数学中一种常见的数学解题方法.在数学解题过程中有很多比较复杂的或者存在两个及两个以上未知条件的数学题，解题时根据知识间的内在联系，适时地转化题目中的数量关系，通过各个变量间的条件转换，把一种问题转化为另一种问题，从而简化整个解题过程.换元的方法有很多，比如函数换元、等量以及不等量换元、变量换元、三角函数换元等等，在数学解题时，如果能灵活运用换元法，不仅能有效地锻炼学生的思维敏捷性，而且能有效地提高学生的思维能力.下面笔者结合平时的教学实践分析各种换元法在高中数学解题中的灵活应用.

一、通过三角函数关系换元

三角换元在高中数学解题中运用比较广泛，它的解题思路有一定的技巧性，运用三角换元解题，使复杂的问题简单化.利用三角换元解题的主旨是：通过适当的三角换元，将代数表达转化为三角表达，进而把代数式的证明或解答转化为三角式的证明和解答，从而起到理顺思路、简化题目的作用.有时利用同角的三角关系，有时利用辅助角公式（其中a、b是不为零的实数，φ角由确定），由此简化解题过程，提高解题效率.

例1 已知实数x，y满足x2-xy+y2=1，求x2-y2的取值范围.

解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ，则ρ2-ρ2sinθcosθ=1，即ρ2=cos2θ=2k，（其中由三角函数的有界性得即

二、通过构造辅助函数换元

通过构造辅助函数达到换元的目的是一种重要的解题思想方法.函数是整个高中数学的核心知识，它具有工具性和导向性.许多问题都可以通过巧妙地构造辅助函数，使得原本扑朔迷离的问题变得直观明了，变得可程序化.因此，在教学中应该重视这种方法的引导和渗透，同时还要加强训练，及时归纳总结，才有利于方法的掌握和运用.

解：当m=1，a＜0时，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞）.

所以f（x）在［3，4］上为增函数.

设h（x）=1=ex，

g（x） ex

所以h（′x）=ex-（1xx2-1）＞0在［3，4］恒成立，

所以h（x）在［3，4］上为增函数.

则u（x）在［3，4］为减函数.

所以v′（x）＜0，v（x）为减函数.

点评：在解题中构造辅助函数方法灵活多样，应具体问题具体分析，弄清原问题和辅助函数的直接或间接联系，通过大胆联想、猜测、推理，就可以构造出合理的辅助函数，进而使问题顺利解决.但一定要注意原问题和辅助问题的等价性.掌握这种方法，不但能开阔学生的解题思路，还能培养学生创造性地解决问题的能力.

三、通过复合函数进行换元

形如y=f［f（x）］的复合函数相关问题，在近几年的高考中屡见不鲜，常以压轴选择题或填空题的形式考查，有时关于该类问题的解答通常为分类讨论，过程繁杂且不易于学生接受，更谈不上举一反三、触类旁通了.笔者从复合函数角度出发，利用换元思想，轻松便捷地解决此类问题.

通过换元，借助函数y=f（t）和y=2t的图像可解决分解问题1（图1）：

图1

图2

由图1知，满足f（t）=2t的t的取值范围是t≥1，而t的取值范围与a的取值范围又有关联，即f（a）≥1.借助函数t= f（a）的图像解决分解问题2（图2）：

点评：在此例中，先进行换元，将复合函数y=f［f（x）］利用换元思想写成两个函数y=f（t）和t=f（x）；再在直角坐标系tOy和直角坐标系xOt中画出函数y=f（t）和t=f（x）的图像.一般情况下，两幅函数图像应该不一致，只有当自变量t与自变量x的取值范围相同时，图像保持一致.但在具体作图中，未考虑自变量t与自变量x的取值范围，将两幅图画得完全一致，也不影响解题；最后借助直角坐标系tOy中，借助函数y=f（t）的图像求出t的范围（分解问题1），再在直角坐标系xOt中，利用函数t=f（x）的图像求出x的范围（分解问题2）.以上解法很好地回避了分类讨论过程，将整个解题过程以图形方式直观地呈现出来，易于学生理解与接受，同时注重了函数教学中需强化的数形结合思想.

四、通过对函数变量整体进行换元

在高中数学中很多函数都是在已知函数相关等式的前提下，求相关的函数值，如果函数值比较复杂时，学生往往会被题目复杂的表面所困，实际上解答此类问题可以用换元简化函数等式，使复杂的函数得到简化，从而使学生轻而易举的解出函数值，掌握解题思路，同时训练学生的发散思维能力.

例4 已知f（x）是定义在R上的奇函数，同时f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

（Ⅰ）请求证：f（x+2）=f（x-2）；

（Ⅱ）请计算出f（2005）的值.

解：（Ⅰ）证明：通过上述分析可知，f（x-2）=-f（x），所以，f（x）=-f（x-2），然后可以采用变量换元法将x变换为x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（Ⅱ）通过（Ⅰ）我们可知，f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用换元法将x变换成为x-2代入其中，最后可以得到f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

总之，在高中数学的学习过程中，换元法是一种比较常用的解题方法，它不仅能简化解题过程，而且帮助学生分析解题思路，培养学生发散思维能力，灵活运用多种不同形式的换元法能将复杂而烦琐的数学题简化计算，收到奇妙的效果，使学生不再畏惧数学计算.所以在数学的学习中一定要综合运用归纳、猜想、假设、数形结合以及等量转化等相关的数学方式解决疑难问题，简化数学解题思路，培养学生学习兴趣，从而提高学生的学习能力.