倾听有收获沿途真精彩——一道课本习题的变式探究

☉江苏省睢宁高级中学南校 刘亚平

倾听有收获沿途真精彩
——一道课本习题的变式探究

☉江苏省睢宁高级中学南校 刘亚平

最近笔者在高三数学复习中与学生一起处理了一道经典老题，在教学中多次出现教学意外，笔者及时调整教学策略，重构课堂动态生成.期间师生多次经历了“行到水穷处”的窘境，“坐看云起时”的愉悦，演绎了一幕幕令大家流连忘返的精彩瞬间.

一、题目及标准答案

题目设a≥1，若对于任意x∈［1，2］，不等式x|x-a|+≥a恒成立，求实数a的取值范围.，对不等式右边进行如下分类讨论：

二、学生的意外

2.学生2的意外错误

学生2采用“正难则反”的策略.原命题的否定是∃x∈［1，2］，不等式x|x-a|+＜a有解，进而转化为|x-a|＜有解，去掉绝对值整理得，∃x∈［1，2］，使不等式组

1.学生1的意外困惑

标准答案虽然清晰明了，但学生1觉得有点画蛇添足，因为|x|＞a⇔x＞a或x＜a与|x|＜a⇔-a＜x＜a对一切a∈R都成立，直接去掉绝对值才是最好的通法，即直接进行标准答案中的第（2）种情况，但求得a的取值范围为1≤a≤（对不等式组右边而言，x∈（1，2］）有解.要使此不等式组有解，只要使故，所以a的取值范围为1≤ a≤所得a的范围只是标准答案的充分不必要条件，但我弄不明白这种解法错误出现在哪里？难道这种方法不能运用？

3.学生3的意外想法

虽然标准答案及学生1、学生2的解法都是容易想到

的通性通法，但过程繁冗，根据解题经验猜想此题还可以用数形结合法，但没有找到合适的切入点.

三、教师的困惑

1.发现学生1的隐情

师生一起仔细核对了学生1的运算，发现运算无误.教师在迷茫之际，学生1的提示“把a=代入不等式验证

知道此方法是错误的”令笔者茅塞顿开：能不能采用“特殊探路，巧解一般”的策略发现“隐情”？把a=代入a≤，解得≤x≤2，把a=代入a≥，解得1＜，两者的解集的并集正好为（1，2］.于是揭示了学生1的错误解法的“隐情”——把|x-a|≥对任意x∈［1，2］恒成立单独分割成两个不等式恒成立是错误的，还应包括两个不等式a≤解集的并集为（1，2］的情况.

2.挖掘学生2的蹊跷

3.探索学生3的猜想

在备课时，教师仅仅囿于成见标准答案，没有多想能否运用其他方法，当学生3提出此猜想时，笔者心里有些内疚与不安！俗话说“解铃还须系铃人”.教师只好把问题顺势交给学生，和学生一起多方尝试，共同探索.在聆听学生的想法与意见后，教师思路峰回路转：只要把不等式x|x-a|+≥a变形为x|x-a|≥a-，再结合（fx）= x|x-a|，x∈［1，2］的图像，求出（fx）的最小值即可.

四、教师的解惑

教师：不等式|x-a|≥对任意x∈［1，2］恒成立是否只等价于x-a≥对任意x∈［1，2］恒成立且xa≤-对任意x∈［1，2］恒成立？若不是，能否举个反例？

教师：那能不能采用数形结合法进行补救呢？

2.解惑学生2的蹊跷

学生4：不正确，因为原不等式是同步不等式恒成立，而不是异步不等式恒成立问题.

教师：学生2的思路完全正确，但是通过求a的范围时出现了错误.哪位学生能说明错误的根源吗？

学生4：不能在区间［1，2］上求它们的最值.

图1

3.解惑学生3的猜想

（1）当1≤a≤2时，fmi（nx）=（fa）=0≥a-，所以1≤a≤.

（2）当a＞2时，fmin（x）=f（1）或f（2），只要使解得a≥.

五、教师的收获

1.驻足意外，收获精彩

叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”在教学中教师在关注学生数学学习的过程、结果、理解问题的深刻、情感态度的变化等时要学会打破教学预设，不要一味地被教学进度或课前预设牵着走.对于回答正确的学生及时给予恰如其分的鼓励和表扬，通过比较不同方法的优劣，展示成果，让学生产生成功的愉悦；对于回答错误或不完整的学生，不要批评，更不要责难，要俯下身子耐心地倾听学生的想法，细心体会他们的思维过程与方向，并给学生以恰到好处的提示与引导，帮助他们回到正确的思维轨道上；对于学生的“意外”提问、“意外”困惑，教师不要心慌意乱，因为精彩的课堂往往发生在预设之外，教师要机敏地扑捉到这种课程资源，通过巧妙追问，或是讨论交流，或是合作探究等，把真正的“生态课堂”的理念带入常态课，收获“平淡的”常态课无法收获的精彩.

有些教学意外由学生自主学习很难完成，这就需要教师运用灵活的教学机智创设情境，启发学生思考，激发学生去尝试，在思考尝试中化教学“意外”为教学的“情理之中”，达成教学目标.为了顺利帮助学生解决“教学意外”，教师就必须精心设计一些蕴含着有思考力度又能独立尝试的数学问题，构建适宜的教学活动，制造“冲突点”，激活思维.教师要大胆地把问题的“尝试权”“操作权”交给学生，让学生自己去感知、去探索、去生成.或许教学过程曲折，花费较多的教学时间，影响预定的教学进度，但会使学生的思维更灵动、印象更深刻、课堂更精彩.

2.消除困惑，打磨思维

本节课，学生有这么多的“意外”是笔者始料未及的，特别听到学生发自内心的困惑与不解：“难道这种方法不对？”“难道这种方法不能运用？”……更令笔者使命感与责任感陡增：若不帮助学生消除困惑中的“隐情”，通法就会变成“险法”，遇到类似的问题学生的思维就会畏首畏脚.教育家弗莱登塔尔指出：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学习的知识发现或创造出来.”当学生发现问题后，教师要给予学

生充分的思考时间与空间，通过变换问题的视角、转换问题的类型、变更问题的背景等有效引导学生思考，审视“意外”，消除“困惑”，旨在提高学生的创造力，“打磨”灵活多变的思维.

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《新课标》）指出：“数学课程要讲究逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探究活动，体会蕴含在其中的数学思想方法.”罗增儒教授提出：“通过有限的典型例题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.”这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，对数学思想方法的提炼.在解题教学中，如果教师仅仅停留在浅层次的分析上，没有触及问题的本质，那么容易造成学生探究问题的肤浅性，解题能力就不会得到相应的提高与发展，更谈不上创造性地进行求解.对数学思想理解的深度往往决定了学生思维方向及解法的优劣.只有学生把握了问题的本质，才能提高数学概念、公式、定理等使用的效度、灵活度；才能有效提高学生自身发现问题、分析问题、解决问题的能力；才能促使学生产生解决问题的创造性的思路与方法，形成简捷、高效的解决方法.

3.创设探究，增长能力

乔治·波利亚说：“学习东西最好的途径是亲自去发现它，最富成效的学习是自己去探索、去发现.”《新课标》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.”作为数学教育工作者，教师一定要有搞好探究活动的信念与意识，创设有利于学生探究活动的环境，激起学生探究问题的欲望，让学生在探究中“放飞思想”，快乐思考，不断成长.

如果高三的数学复习课，每天重复在“讲、练、考、评”中，那么承载高考负重的课堂就会沉闷没活力，学生就会疲于奔命，进而抑制学生学习数学的兴趣.因此，教师要给复习课创设适时、适当的探究机会，并把对问题的探究活动交给学生，让学生参与到知识生成的全过程，让学生在有限的课堂牢固掌握知识的同时，获得理性精神的给养，这无疑会增添学生学习数学的动力.若有必要，教师还可以用变式串当堂体验探究得来的结论的运用，使学生各个器官和思维充分动起来，让“生动”的课堂真正生“动”起来，引导学生如《新课标》所倡导的“主动参与、乐于研究、合作交流”，帮助学生在结论的提炼和习题的分析中体会数学思想，领悟数学知识的内在本质.这样，学生在潜移默化中解题经验得以积累，应试能力得以提高，学习素养得以提升.

4.做好主导，共同发展

苏霍姆林斯基在《给教师的建议》一书中说：“教师所知道的东西，就应当比他在课堂上要告诉的东西多十倍，以便能够应付自如地掌握教材，到了课堂上，能从大量的事实中选出最重要的来告诉.”只有这样的告诉，才能使学生获得“听君一席话，胜读十年书”的体验.众所周知，数学教学中教师是主导，学生是主体.教师的主导作用，着眼于“导”，主要体现在“导学、导研、导解”上；学生的主体作用，着眼于“做”，主要体现在“读、说、写、讲、解”上.教师的主导作用决定了教师是学生学习的组织者、指导者与帮助者.有时，并不是所有的数学问题学生都能独立完成，这就需要教师的适时参与，发挥教师的主导作用.主导作用较强的教师可能会一下子看透问题的本质，讲引有度、板书得当、详略有别、重点突出，教学效率较高；主导作用较弱的教师可能懵懵懂懂，抓不住本质，分不清主次，找不准问题的突破口，带领学生原地绕圈子，影响教学效率.

在教师的专业发展中，知识无疑处于核心地位，一名数学教师是否具备扎实的学科专业知识对于教学的有效性至关重要.然而并非具备了充足的数学知识就能成为一名优秀的数学教师，因为学生不是容器，教师的知识再多，学生不一定成为学习数学的受益者，因为高效的数学课堂教学还需要教师的幽默的教学语言、先进的教学理念、娴熟的教学技能等协助实施；甚至还需要具有针对特定数学内容的教学知识，即懂得如何表述、呈现、解释数学内容，以促进学生对数学知识的理解.

数学教师在师范院校所学习的主要是数学专业知识，以及一些教育学、心理学等知识.虽然有数学教学论这门课，但也只是“数学案例”与教学论的简单结合，这对于教师形成学科教学知识是远远不够的，要成为一名优秀的主导者，教师除养成善于解题、乐于解题外，还需要多读书，多听名家讲座，甚至通过进修学习和撰写论文等途径来提升教学素养.

1.谢尚志.评课，重在赏析贵在思考［J］.中学数学教学参考（上），2012（12）.

2.刘亚平.追溯“缺失”让学生的思维自然地流淌——从一道“不该”做错的考题说起［J］.中学数学教学参考（上），2014（3）.

3.刘亚平.运用数学活动经验提升数学教学实效［J］.中学数学（上），2016（5）.F