高中数学作业设计的基本要求“典、广、分、活”*——以线面、面面间的平行关系为例

☉江苏省海门市四甲中学 陆丛林

高中数学作业设计的基本要求“典、广、分、活”*
——以线面、面面间的平行关系为例

☉江苏省海门市四甲中学 陆丛林

高中数学作业是高中数学教学活动中不可或缺的一环，是学生巩固课堂所学知识、发展数学能力、提高数学素养的重要途径；是数学教师了解课堂教学效果、进而及时调整教学进度、改进教学方式、提高教学质量的重要手段.但作为一线教师的笔者发现关于高中数学作业的设计还存在着不少问题.例如：作业量特别大，单一重复的“体力劳动”使得师生身心俱疲；作业只是相关考试题的简单堆砌，不注重学生所需数学素养的全面提升；作业没有因学生的学习情况进行分层设计，让不同层次的学生都能有相应层次的收获，体验学习的成功、学习的快乐；作业设计的形式过于单一，久而久之让学生产生枯燥乏味的感觉，失去了学习的兴趣.针对以上这些作业设计中的主要问题，结合笔者多年的教学经验，总结出了高中数学作业设计的四字诀“典、广、分、活”.

一、线面、面面平行关系的作业设计

A类题

1.已知不重合的直线a，b和平面α.

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.

上面命题中正确的是________（填序号）.

2.已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β.命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β.则p是q的____________条件.

3.已知平面α∥平面β，直线m⊂α，有下列命题：

①m与β内的所有直线平行；②m与β内无数条直线平行；③m与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.

4.有一块木料如图1，P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？

图2

图1

5.如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为棱AB的中点，点N为棱PC上的点.

（1）若PN=NC，求证：MN∥平面PAD.

（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.若为真，请证明；若为假，请举反例.

B类题

6.在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体ABCD的四个面中与MN平行的是________.

7.如图3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，则E为AC上一点，且AB∥平面BDE，求的值.1111

图3

图4

C类题

8.如图4，S-ABCD是正四棱锥，点P在SC上.

（1）若Q为SC的中点，求证：SA∥平面QBD；

二、作业设计的解读

（一）“典”——作业题的选择要典型

教师布置大量的作业，不外乎两个原因，一是力求知识点的全覆盖，不遗漏；二是出于让学生多练习，提高知识的应用能力.但大量的作业除了消耗学生的大量课余时间、让学生得不到充分的休息外，批改作业也消耗了教师大量的时间，减少了对教材、教学的研究，不利于教师的专业成长.事实上，作业设计时不应该在“量”上铺天盖地，而应在“质”上做到精选“典型”即可.在“量”上降下来，可以减少学生的答题时间，增加学生的思考、内化时间；在“量”上降下来可以节省教师批改作业的时间，认真研读教材、研学教法，提升教师的专业素养.例如，对于立体几何中关于线面位置关系的平行这一节，主要涉及的知识有线面平行的判定与性质、面面平行的定义、判定及性质.作业设计中的第1、4、5、6、7、8题考查了线面平行的判定与性质，第2、3、5题考查了面面平行的定义、判定以及性质.应该说总共只有8道题，学生在一节课的时间里是肯定能够完成的，但对于两类重要的知识均考查了多次，不留知识盲区.

（二）“广”——作业题的考查面要广

教育部制定的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》发布以后，数学课标修订组提出了数学核心素养的六个方面：“数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算以及数据分析.”教师在进行作业设计时就要有意识地去培养学生的数学核心素养.例如，在线面平行关系这一节的作业设计中，逻辑推理能力与直观想象能力每道题均有涉及，另外，第4题考查了学生的数学抽象与数学建模能力，第6、7、8题考查了学生的数据运算与数据分析能力.应该说对于数学核心素养的几个主要方面，该作业设计均有体现.如果教师能够在平时的作业设计中注重数学素养的培养，并在作业点评时有意识地去引导，相信学生的数学素养一定会取得巨大的进步，为新一轮的课程改革贡献自己的一份力量.

（三）“分”——作业题的难易要分层

不同学生的学习基础以及接受能力不尽相同，在现行的班级授课制下，课堂教学不易分层，但如果让学习能力强的同学终日“吃不饱”，学习能力偏弱的同学“吃不了”，那势必导致学习能力强的同学不能有更好的发展，学习能力弱的同学不能获得成功、愉悦的作业体验，甚至长期忍受着作业及心理的沉重负担，最终产生极端的做法.所以教师在进行作业设计时要努力做到以学生的自身发展为依据，努力让每一位学生都能从作业中体验收获、体验快乐.例如，在线面平行关系这一节的作业设计中，笔者设计了三个层次的作业：A类、B类、C类.教师在布置作业时可以根据学生的实际情况，分别从数量上以及难度上对不同的学生提出不同的要求，并告诉他们完成自己对应的作业就是成功.诚然，教师不可能把作业的层次划分得太细，教师的精力不容许他（她）做到一生一作业、一生一标准，但教师如果能够做到作业的分层设计再辅以个别交流的话，相信绝大部分学生定会充分发挥出自己的最大潜能.

（四）“活”——作业题的形式要灵活

不少教师布置作业的形式均是一成不变的“已知……求（证明）……”作业形式过于死板，写作业的时间久了，学生写作业毫无积极性可言.心理学研究表明，在认知的过程中，积极的情绪能起协调、组织作用，而消极的情绪起破坏、阻碍作用.设计不同形式的数学作业能有效降低学生的疲劳感，不断调动学生学习的积极性，激活学生的思维.例如，在线面平行关系这一节的作业设计中，笔者从作业类型上设计了选择型问题（1）、（3），填空型（2）、（6），解答型（4）、（5）、（7）、（8）；从作业内容上设计了实际应用型作业（4），自主探究型（5）；对于平行关系中十分重要的线面平行关系.笔者在作业设计时又将线面平行分别作为充分条件和必要条件进行了多次考查.自主探究型、实际应用型作业不仅能丰富学生的学习方式，还能激发学生的创新潜能，培养学生的应用意识，提高学生解决实际问题的能力.所以教师在作业设计时，作业形式要尽可能灵活多变一些.

作为教学环节中十分重要的一环，但相对于其他教学领域，研究又寥寥无几的作业设计应充分引起我们广大一线教师的注意.数学教师要从学校和学生的实际出发，以“典、广、分、活”为基本要求，优化作业设计，让学生的知识在作业中得到巩固、能力在作业中得到提升，素养在作业中得到培养，思维在作业中得到发展.Z

*本文系江苏省海门市教育科学规划微课题“高中数学课外作业设计的实践与思考”研究成果之一，课题批准号：hmwg2015127.