关注学习过程，突出函数核心——一类以一次、二次函数为背景的中考压轴题赏析

☉江苏省金湖县实验中学王海松高峰

关注学习过程，突出函数核心
——一类以一次、二次函数为背景的中考压轴题赏析

☉江苏省金湖县实验中学王海松高峰

近年来，将一次或二次函数的图像与几何图形结合来编制中考压轴题一直是常见的题型，这种题型的实质是把函数图像作为与坐标有关的几何对象，并以此为背景，研究图形的属性，与几何内容综合在一起，表面上以函数为背景，实质上还是几何知识的运用.而函数作为一个重要的数学模型，其价值在于反映现实世界中某些事物的变化规律，是研究其他数学问题的工具，函数图像也只是研究函数的工具.下面几例突破了以函数为幌子的传统的命题格式，它们关注学习过程，突出函数的核心内容，给我们命题和教学都带来很大的启示.

一、例题分析

1.以一次函数为背景

例1（2015·泰州）已知一次函数y=2x-4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图像上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.

（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；

（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值.

解析：（1）求出A与B的坐标得OA、OB，求出P为线段AB的中点时d1+d2的值，即：

对于一次函数y=2x-4，令x=0，得到y=-4；令y=0，得到x=2.所以A（2，0）、B（0，-4）.因为P为AB的中点，所以P（1，-2），则d1+d2=3.

（2）根据题意确定出d1+d2的范围d1+d2≥2.设P（m，2m-4），表示出d1+d2=|m|+|2m-4|，分类讨论m的范围，根据d1+d2=3求出m的值，即可确定出P的坐标，即：

当0≤m≤2时，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此时P1（1，2）；

当m＞2时，d1+d2=m+2m-4=3，解得

当m＜0时，不存在.

（3）设P（m，2m-4），表示出d1=|2m-4|，d2=|m|.由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d2，代入d1+ad2=4，根据存在无数个点P求出a的值即可，即：

P在线段AB上，所以0≤m≤2，所以d1=4-2m，d2=m，所以由d1+ad2=4，得4-2m+am=4，即（a-2）m=0，因为有无数个点，所以a=2.

评注：解决问题时，首先是实现三个转换，坐标与距离的转换，距离与代数式的转换，函数关系式与方程的转换，这些充分体现了函数与代数之间的密切联系，突出数形结合思想、转化思想等数学思想的应用，这都是函数中的核心知识和思想方法.其次是运动变化，本题虽无运动，实质上却体现点的运动，不能局限于给出的图形，要将图看“活”，用运动的观点去看.其实在第（2）问，我们可以借助直观感受，用笔尖在一次函数图像上“走一下”，就能对范围有个感受.利用图像对函数进行研究是研究函数问题的一个重要方法，这就提示我们一定要引导学生学会研究问题的方法，需要我们注重学习的过程.

2.以二次函数为背景

例2（2015·天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b、c为

常数）.

（1）当b=2、c=-3时，求二次函数的最小值；

（2）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

（3）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

解析：（1）把b=2、c=-3代入函数解析式，求二次函数的最小值，即当b=2、c=-3时，二次函数的解析式为y=x2+ 2x-3=（x+1）2-4，所以当x=-1时，二次函数取得最小值-4.

（2）根据当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等的实数根，求此时二次函数的解析式，即：

当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5，由题意得x2+bx+5=1有两个相等的实数根，则Δ=b2-16=0，解得b1= 4，b2=-4，所以二次函数的解析式为y=x2+4x+5或y=x2-4x+5.

（3）当c=b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可，即：

当c=b2时，二次函数的解析式为y-x2+bx+b2，图像开口向上，对称轴为直线

b+3的情况下，y随x的增大而增大，则当x=b时，y=b2+b· b+b2=3b2为最小值，则3b2=21，解得

评注：本题考查的都是二次函数的核心内容，二次函数的最值、增减性、对称性及与一元二次方程之间的联系.解决第（2）问时，需自觉根据已知函数值将问题转化为一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式解决问题；第（3）问，需要学生自觉结合图像，利用分类讨论思想和数形结合思想直观地研究函数的增减性，从而确定最值.如果在平时的教学中，学生没有深刻经历如何利用图像去研究二次函数的最值、增减性、对称性等过程，那么要完成本题是有困难的.

3.以一次函数和二次函数综合为背景

例3（2015·广州）已知O为坐标原点，抛物线y1= ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C，且O、C两点间的距离为3，x1x2<0，|x1|+|x2|=4，点A、C在直线y2=-3x+t上.

（1）求点C的坐标.

（2）当y1随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围.

（3）将抛物线y1向左平移n（n>0）个单位，记平移后y随x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2-5n的最小值.

解析：（1）因为OC=3，C在y轴上，因此C（0，3）或C（0，-3）.

（2）①当C（0，3）时，代入y2=-3x+t中得到t=3，此时y2=-3x+3⇒A（1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=-3，因此B（-3，0）.此时可得：y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，因此可得：当y1随x的增大而增大时，x≤-1.

②当C（0，-3）时，代入y2=-3x+t中得到t=-3，此时y2=-3x-3⇒A（-1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=3，因此B（3，0）.此时可得y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，因此可得：当y1随x的增大而增大时，x≥1.

综上所述，可得：当C（0，3）时，x≤-1；当C（0，-3）时，x≥1.

（3）①当C（0，3）时，y1=-（x+1）2+4，左移n（n>0）个单位后，可得y1′=-（x+1+n）2+4，此时y2′=-3x+3-n，此时要使得直线与P有公共点，则顶点（-1-n，4）在直线y2′=-3x+ 3-n上方，即满足4≥y2′=-3（-1-n）+3-n=6+2n⇒n≤-1，应舍去.

②当C（0，-3）时，y1=（x-1）2-4，左移n（n>0）个单位后，可得y1′=（x-1+n）2-4，此时y2′=-3x-3-n.要使得直线与P有公共点，顶点（1-n，-4）在直线y2′=-3x-3-n下方，即-4≤y2′=-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

综合可得n≥1.2n2-5n=当且仅当n=

评注：本题通过以平移为载体，把函数本身内在之变化与图形的外在之变化有机结合，在图形与解析式的变化中寻找静态的关系式，这是把函数图像的几何特征作为研究函数变化规律和对应关系的直观工具，而非把几何特征作为研究的核心.本题没有配图，你不画图，寸

步难行；你一画图，迎刃而解.利用图形思考、探究，有利于找到适合自己的解题方式.如第（1）问，可在作图的过程中，发现点C的坐标有两种情形.第（2）问由作图的过程，就可找到一个简单的解题流程：定出点A、B；写出抛物线的对称轴；由点C的位置确定所求.第（3）问先从特殊入手，画出n=0、1、2、3时的图形，观察平移后抛物线的对称轴和平移后直线的交点的位置关系，进而得到区域P的范围，从猜想出n的取值范围，也可根据关键点的位置特征，挖掘其中的数量关系，利用方程或不等式来确定n的取值范围.先通过研究把握图像的变化、位置等特征，然后充分挖掘这些变化和位置中代表性特征的信息，利用这些信息直接解决问题或转化为其他的知识解决问题.这些思想和方法，都需要在平时的学习中引导学生去自主研究，充分经历研究的过程才能获得问题的解决，而非记住几个结论就能达到目的的.

二、教学反思

1.明确函数的核心内容

《课标（2011年版）》对函数的教学要求主要体现联系与变化这一本质属性，重点体现函数的模型思想、变化与对应思想、函数图像与性质研究过程的分类讨论和数形结合思想.对函数图像特征的研究，其目的在于让学生直观体会函数的变化与联系，函数图像是获得函数变化规律和对应关系的直观工具，而非研究的核心目标.函数内容是初中数学的核心内容，其中最重要的知识当然是函数的概念、图像和性质，最重要的思想是模型思想、变化和对应思想.也就是说，函数内容要着重考查函数的概念和函数的图像、一次函数、二次函数、反比例函数的图像及性质；考查学生根据实际问题建立函数模型，利用图像与性质研究运动变化过程、解决实际问题的能力；即使考查图像，也是为了从图像上获得变量的变化规律和对应关系.

2.学会研究函数的基本套路

我们要通过某些函数模型的示范，逐步建立研究函数的一般范式——研究函数应研究什么、怎么研究.函数内容的基本学习套路是：函数的定义、函数图像、函数性质、函数的应用，那么当我们学习一种特殊函数后，怎样再来学习第二种特殊函数？听课调研中，较多的情况是特殊函数一种一种介绍，每学一种函数都是“另起炉灶”，学生只知道各函数的解析式之间有区别，所做的题目也不一样，根本不知道该如何学习函数.如果教师在学完“一次函数”后，能够帮助学生梳理学习路径，这样，当他在继续学习新的特殊函数时，就可以运用以前学习函数的经验来进行学习，把学习新函数的过程变成对一类函数的研究过程，这样就能构建逻辑连贯、前后一致的教学.

3.经历研究过程，提升思维能力

教育的根本目标是育人，从具体的数学学科教学的角度，作为“人的发展”，体现为发展人的认识能力.思维能力是能力的核心，发展学生的思维能力应当成为数学教育的出发点和落脚点.具体到初中函数的教学，有必要思考：学生经历函数的学习，取得哪些知识收获，获得怎样的能力的发展.首先，要深化学生对函数概念的理解，更加系统地掌握研究函数的方法，进一步理解系统研究数学对象的套路；其次，要着力提高学生形式化的思维水平，特别突出从概念出发思考问题的思维方法；再次，进一步提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，例如，全面地、联系地、辩证地看问题；最后，用函数的观点、方法解决问题，提高数学应用能力和意识.

要实现上述育人的目标，必须要让学生经历真正的具有思考的学习过程.比如，如何描画一次函数图像.许多教师只是让学生按照列表、描点、连线的步骤画图，这样只讲“如何画不讲为什么这样画”，虽然学生也“经历”画图的过程，但这是“描摹”的过程，不是启发思考的过程，属于伪过程.真正过程可以如下进行：先引导学生写出符合一次函数解析式的有序数对，学生在写的过程中可能是随意而无序的，然后引导学生思考取哪些值、个数多少比较合适，让学生感受为了使得描点更加有序，建议列表、按照从小到大的顺序取代表值，这样在边描点的过程中就边感受这些点从小到大连线可能得到的图形，最后通过观察得出图像是一条直线.但此处在学生得到图像是直线以后，并不能止步，应该继续追问：以符合解析式的其他有序数对为坐标的点是否都在直线上？虽然我们不要求学生推理论证，但在这样的追问中，学生能够感受到完备性，接着，反过来追问：直线上任意一点的坐标是否都符合解析式？让学生感受存在性，由此得到一次函数的图像是一条直线.

所以学生只有经历能自主思考的过程，才能获得真正的能力提升，否则只是获得结论，很难获得思维能力的提升.

1.陈德前.重结果，轻过程，合情推理不合理［J］.中学数学教学参考（中），2014（10）.

2.高振山.函数图形搭台，代数推理唱戏［J］.中学数学教学参考（中），2014（8）.Z