从2016年全国中考题看规律类问题从何入手

☉江苏省海安县墩头镇吉庆初中邰群燕

从2016年全国中考题看规律类问题从何入手

☉江苏省海安县墩头镇吉庆初中邰群燕

新一轮课程改革提出了课程“核心素养”的概念，而“把数学的概念、思想、方法、思维运用于客观事物是提升数学学科素养的有效途径”.从中考试题的评价功能来看，规律类问题呈现明显的上升趋势，从数学知识与能力的综合考查层面显得丰富多彩.但是，从教学资源开发的角度来看，如果从此类问题的基础上综合探究，就可以找到解决此类问题的有效途径和突破方向.笔者认为，规律类问题的探究过程有助于培养学生用数学头脑思考、处理实际问题的意识和能力，有助于学生从中感悟数学在自然科学中的应用价值.从这个角度来看，此类问题的异军突起也就不奇怪了，这正是使得数学探究活动体现了学科素养的融合，能让学生从中感悟“大自然是数学化的”，“数学是仰望宇宙的透镜”，进而促进学生的数学学科素养的发展.下面笔者就从2016年中考题切入，具体谈一下规律类问题的解题突破方向和如何入手解决.

一、注意观察，找到规律，实现直接突破

例1（2016年四川）如图1，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）.

A.25B.33C.34D.50

解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7（个）；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10（个）；…由此可得第n次操作后，三角形共有4+3（n-1）=3n+1（个）.当3n+1=100时，解得n= 33，故答案选B.

图1

变式：（2016年湖南）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）.

A.CnH2n+2B.CnH2nC.CnH2n-2D.CnHn+3

解析：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察可知：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2× 3+2，…，即可得an=2n+2.所以碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2.故答案选A.

二、数列寻找通项，排列找到方法

例2（2016年山东滨州）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82；25×27+1=262；79×81+1=802；…可猜想第2016个式子为_______.

解析：观察等式两边的数的特点，第n个等式可以表示为（3n-2）×3n+1=（3n-1）2，用n表示其规律，当n=2016时，（32016-2）×32016+1=（32016-1）2.

变式1：（2016年山东枣庄）一列数a1，a2，a3，…满足条件（n≥2，且n为整数），则a2016=_____.

变式2：（2016年湖北）观察下列等式：

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第个等式an=______；

（2）a1+a2+a3+…+an=______.

中考与课标是相结合的，课标关注学生学习的思维与发展.在解决数列类问题的时候，教师也应该多关注这种“无形”的变化过程中的“有形”结构，让学生在动手排列的过程中能够有所收获.

三、几何类问题寻找几何特征，循序渐进解决

例3（2016年山东）用大小相等的小正方形按一定规律拼成如图2所示的图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）.

图2

A.2n+1B.n2-1C.n2+2nD.5n-2

解析：这一问题，通过几何图形的观察，很容易得到平方减1的结论.

变式：（2016年湖南）如图3所示，各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）.

图3

A.y=2n+1B.y=2n+n C.y=2n+1+nD.y=2n+n+1

四、数学史类问题需要多阅读，从史料中寻找答案

例4（2016年北京）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为_____.

解析：1～100的总和为（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为5050÷10=505，故答案为505.

变式1：（2016年北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知直线l和l外一点P（如图4）.求作：直线l的垂线，使它经过点P.

作法：如图5.（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ.所以直线PQ就是所求的垂线，如图6.请回答：该作图的依据是_________________________.

图4

图5

图6

解析：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）.

变式2：（2016年山东德州）如图7，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图像分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为______.

图7

解析：观察，发现规律：A1（1，2），A2（-2，2），A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），…，所以A2n+1（（-2）n，2×（-2）n）（n为自然数）.因为2017=1008×2+1，所以A2017的坐标为（（-2）1008，2（-2）1008）=（21008，21009）.故答案为（21008，21009）.

中考数学融入数学史的考查方式灵活多样，有时候是讲故事，而更多的时候采取数学史料的方式进行考查.为了更好地解决此类问题，教师应该鼓励学生对数学发生、发展的历史史迹，对自己感兴趣的历史事件和人物，写一些历史研究的小论文，进行交流和传播.这样做的目的是帮助学生弄清楚数学的概念、数学思想的发展过程，使学生对数学面貌有整体的把握和了解，这也是中考考查的真正价值所在.

五、结束语

除以上一些基本解决问题的方法以外，面对规律类问题还需要明确以下三点：（1）知其然，也知其所以然.也就是从宏观上认识初中数学知识的发生与发展，对数学概念、思想方法知其然也知其所以然；（2）接地气，让数学活起来.如果细究规律类问题我们很容易发现，数学活动往往镶嵌在历史或者生活实际之中，都是“有用”的知识，这样的知识才是真正有趣的；（3）助思维，促进数学思考.中考问题的出线与命制，一个首要的任务就是考查学生的思维活动和数学能力，因此让学生了解数学的原始思考及来龙去脉，在真实的思考中获得对数学的真正理解成为了一种最完美的考查方式.H