一道题就是一节课

☉江苏省如东县洋口镇古坳中学袁绍建

一道题就是一节课

☉江苏省如东县洋口镇古坳中学袁绍建

2016年中考已落下帷幕，留给我们的是无限的思考和深深的总结.一年中考的结束无疑给“如何有效复习”这个老话题赋予了新的疑问：如何围绕新教材组织复习，如何结合本地中考试题开展解题教学，更好地践行课标核心理念，科学备考，迎接2017年中考的到来？笔者认为，用好本地中考题，挖掘其价值，发挥其在教育上的价值，是核心环节.奇特的授课形式能够让事情更容易成功，特别是在中考之前采用此种办法，能够让全部重点贯穿起来，让学生得到更多的知识养分，改善复习效果，更加快速地完成复习任务.如是，笔者以2016年中考第26题为案例，使用“一道题就是一节课”的方案，希望与同行充分交流.

一、原题呈现

如图1，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC.连接DF、EG.

（1）求证：AB=AC；

（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.

解答：（1）由⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，得AD=AE.则∠ADE=∠AED.

由DE∥BC，得∠B=∠ADE，∠C=∠AED.

则∠B=∠C.则AB=AC.

图1

图2

（2）如图2，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG.

设⊙O的半径为r.

由四边形DFGE是矩形，得∠DFG=90°.

则DG是⊙O的直径.

由⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，得OD⊥AB，OE⊥AC.

又OD=OE，则AN平分∠BAC.

由OD⊥AB，AN⊥BC，得∠ADO=∠ANB=90°.

又∠OAD=∠BAN，则△AOD∽△ABN.

由OD⊥AB，得∠GDB=∠ANB=90°.

又∠B=∠B，则△GBD∽△ABN.

二、题型分析

南京近几年中考试题中，圆是必考知识点，经常与等腰三角形、等边三角形、平行四边形相结合进行考查，常常定位在较难题的位置.从考查内容上看，本题注重对基本知识和原理的检查，同时其还能够检验学生的几何直观和推理能力，从考查形式上看，本题形式多样，既有几何证明的考查，又有求线段的长度，每一问所检验的学生的能力都不一样，给不同程度的学生以不同的体验，既能够让后进生体验到成功的喜悦，也能够让优质生有

更多的展现的空间，这也正是新课标所指出的“不同的人在数学上有不同的发展”的精髓；从检验意义角度看，本文侧重点在于检验学生对知识间的联系的运用.第一问涉及切线长定理、等边对等角、等角对等边、平行线的性质等知识，第二问涉及切线的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识，同时本题的图形是常见的基本图形，学生感觉十分熟悉，故能公平、合理地考查学生分析问题和解决问题的能力.作为数学考试的大题，其不但考查学生对知识的掌握，还检验学生对知识的运用能力，不单考查学生的观念，而且检验学生的思想.试题由浅到深，由易到难，层次分明，有较高的选拔功能和区分度.

笔者经过长期的研究，发现南京此类中考题有两个特点，其一，每个小问之间存在着紧密的联系，常常上一问作为下一问的条件，或每小问之间解决方法类似；其二，题目来源于课本，图形均是学生熟悉的基本图形，经常是由书本例题或习题中出现的图形适当变形而成.

三、变式研究

在课堂上，为了能让学生更好地掌握此类题目，从而解一题，练一类，通一片，不妨对三角形或圆的位置进行适当改编，将类似的几道题放在一起研究.

变式1：如图3，在△ABC中，D为边BC的中点.O是AD上一点，⊙O与BC相切于点D，且与AB、AC分别相交于点E、F.连接EF.

（1）求证：EF∥BC；

（2）已知AB=5，BC=8，当EF是⊙O的直径时，求EF的长.

分析：原题中，图形的位置是：圆与等腰三角形两腰相切.本题中，圆与等腰三角形（要先证明）的底边相切，第一问证明两条直线互相平行方法很多，学生在证明时可能会用到切线的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质、全等三角形的性质、平行线的判定等知识，第二问在一种特殊的情况下“EF是⊙O的直径时”求EF的长，会用到相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识.事实上，这种改编是命题常见的手法，在考试中经常会出现.

图3

图4

变式2：如图4，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点.O是AD上一点，⊙O与BC相切于点D，且与AB相交于E、F两点，与AC相交于G、H两点.连接EG、FH.

（1）求证：EG∥FH；

（2）已知AB=5，BC=6，求FH是⊙O的直径时OD的长.

分析：本题中，圆与等腰三角形的底边相切，但与变式1又有所区别，⊙O与AB、AC交点的个数变多，难度也更大.解决第一问方法依然很多，学生在证明时除了需运用变式1的知识，还需要用到“圆的内接四边形对角互补”，解决第二问会用到垂径定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识.由于本题图形更加复杂、难度有很大的增加，对学生的数学能力有更高的要求.

四、启示反思

中考，肩负着导向教学和选拔人才的重要功能.在当今教学过程中，普遍存在着重教轻学、重训练轻理解、重知识轻思想、重结果轻过程的现象.这些教学中的不良价值取向都将严重遏制学生的数学发展，所以教师要在教学前多深入研究、教学后再次反思、练习后归纳规律，让学生知道，如何去思考和解决一类数学问题，才算得上高效，这样才行之有效.所以笔者提倡在中考复习前，一定要善用中考题，因为中考题是专家们的心血之作，也代表了一个地区命题的风格，多对中考题及变式进行训练，对学生短期的提升很有帮助.

1.掌握命题规律，注重题组训练

纵观近几年的中考题，不难发现，很多考题源于课本，故建议教师在教学的过程中重视课本的教学，要以课本为载体，让学生熟练掌握研究一些问题的步骤、思路和方法.中考前的复习，完全可以以中考题为上课重点，以一道题上一节课，深入研究，真正研究透彻.笔者建议教师注重题组的训练，争取从一道中考题出发，多变式，做到研究一个问题上升到研究一个体系，让学生真正做到研究一个题，就会研究一类题.

2.突出类比研究，一题成就精彩

波利亚说过：“类比是一个伟大的引路人．”上述例子，从原题到变式，强化了学生对某知识的掌握情况，题组层层相扣，由易到难，让学生对此类问题研究得更深刻，达到启发思维、举一反三的效果，实现认知结构的迁移，真正让学生的数学思想、能力达到提升，实现课堂的高效发展，让学生在中考中更加胜人一筹．

所以我们的课堂必须有更高的要求，应注重融知识、方法、思想、能力于一体.不能走“题海战术”“强化训练”的老路，要开展“一道题就是一节课”的研究，让学生认识某类题的特点，把握其规律，真正让课堂“高效”起来.Z