一题多解与数学发散思维的培养

☉重庆市九龙坡区教师进修学院周建玲☉重庆高新育才学校陈立

一题多解与数学发散思维的培养

☉重庆市九龙坡区教师进修学院周建玲
☉重庆高新育才学校陈立

发散思维又叫辐散思维、求异思维，是由美国心理学家J·P吉尔福特作为与创造性有密切关系的重要思考方法而提出的.它是指人们从不同角度、不同方向寻找解题途径的一种思维形式.它包括横向、逆向及多向思维.发散思维是创造思维的主要成分，其主要特点表现在求异、奇特、想象丰富和不寻常规.正如徐利治先生在《数学方法论选讲》中给出的这样一个公式：创造力=知识+发散思维能力，可见培养学生发散思维能力是发展学生创造能力的重要方面.发散思维是灵活运用知识解决问题所必需的，更是迎接信息时代，适应未来生活所应具备的能力.下面主要谈谈用一题多解来培养学生的发散思维.

一、一题多解与学生的发散思维

1.培养学生发散思维的重要性

古人云：“授人以渔，则终生受用无穷.”是说教师在教学中，要重视发展学生的智力，培养学生的能力，而思维能力是各种能力的基础，是发展智力的核心.所以在教学中培养学生的思维能力是一项重要的教学任务.传统的教育过分强调聚合思维，而忽视发散思维的教学，这不利于对学生的创新精神和实践能力的培养.教学中教师要有意识地对学生进行发散思维训练，可以发展学生思维的流畅性、变通性和创造性，使他们的思路开阔、灵活多变.

2.一题多解在数学教学中的作用

波利亚认为：“中学数学的首要任务就是加强解题的训练，掌握数学就意味着擅长解题.”因此，应思考如何把原来的题目变成“长流活水”，激发学生把问题想得深、想得广，使学生更加善于解题，而一题多解在中学数学教学中的作用是举足轻重的［6］.一题多解能够引导学生学会思考，学会从多个角度去分析问题，取得问题的最优解答，从而拓展解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力，拓展学生的知识面，使学生牢固掌握基础知识和基本技能，培养学生的创新意识，锻炼学生的发散思维能力，提高其思维的敏捷性，而且还可以训练其思维的深度和广度，是一种行之有效的思维训练方法.一题多解对发散思维的培养有着重要的作用，下面举例说明.

（1）代数中用一题多解来培养中学生的发散思维.

解法1：（展开法）由条件可得（b-c）2=4（a-b）（c-a）.

即b2+c2-2bc-4ac+4a2+4bc-4ab=0，于是有（b+c-2a）2= 0.

解法2：（插值法）由于b-c=（b-a）+（a-c），则由已知可得［（b-a）+（a-c）］2=4（a-b）（c-a）.

则（b-a）2+（a-c）2-2（b-a）（a-c）=0，则［（b-a）-（ac）］2=0.

同解法1可得结果.

解法3：（换元法）设a-b=x，c-a=y，则x+y=c-b.

解法4：利用判别式构造一元二次方程.

若a-b≠0，构造一元二次方程（a-b）x2+（b-c）x+（ca）=0.

由Δ=（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，得此方程有两个相等的实数根.观察此方程有一根为x=1.则方程的两根为x1= 1，x2=1.

解法5：利用x+y=a、xy=b构造一元二次方程.

设A=a-b，B=c-a.

则A+B=c-b，AB=（a-b）（c-a）.

构造一元二次方程x2-（c-b）x+（a-b）（c-a）=0.

由Δ=（c-b）2-4（a-b）（c-a）=0，得方程有两个相等的实数根.

可见，发散思维是同一问题从不同角度来思考的一种思维形式.同一问题从不同角度去思考，不同的思路去考虑，但最后都能得出同样的结果.上例用了换元法、构造法、转化法等数学思想方法，综合运用了多方面的知识，对学生综合运用各方面的知识、拓宽知识面有很大的帮助.因此，如果学生一道题用多种方法来解答，那么在解答过程中，就无形中培养了学生的思维能力，特别是培养了学生的发散思维能力.

（2）平面几何中用一题多解来培养中学生的发散思维.

例2已知：△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求证

证法1：如图1，过D作BF的平行线交AC于M.

由BD=CD，得FM=MC.

由AE=ED，得AF=FM.

则AF=FM=MC.

图1

证法2：如图1，取FC的中点M，连接DM.

由BD=CD，FM=CM，得DM∥BF.又AE=DE，则AF= FM=CM，即

证法3：如图2，过C作DA的平行线交BA的延长线于M，交BF的延长线于N.

由BD=CD，得BA=AM.由AE=ED，得CN=NM.即CA、BN是△BCM的两条中线.

图2

证法4：如图3，在△AFE、△BCF和△BDE中，由正弦定理得

图3

可见，几何的一题多解所涉及的知识面较广，不仅巩固了基础知识和基本技能的学习，还开拓了学生的思路，培养了学生的数学思维能力，特别是发散思维能力.

二、一题多解培养学生发散思维应注意的问题

一道题用几种解法解完后，应引导学生对几种解法进行比较，优化思维过程，并不断进行分析、比较和概括，提炼出更好的、更典型的解题方法或改进，使学生在比较各种解法优劣之际，加深对学科本质的深刻理解，促进思维能力的发展.在当前数学教学中，忽视发散思维训练的倾向表现得极为严重，尤其在解题教学过程中更缺乏发散思维能力的训练.教师喜欢用自己的思路去限制或代替学生大脑思维中可能出现的独特新颖的思考方法，使学生思维方式保守、缺乏创造性.因此，教师应当注意每当学生想出一种解法时，不论解法正确还是错误，都应当给予肯定和鼓励.若学生的解法有问题，不但要帮助他们找到问题的症结，更要肯定他们思维的合理成分，从而进一步鼓励他们继续探索.

三、结论

在数学教学中，我们应该重视一题多解与发散思维，特别是用一题多解来培养提高中学生的发散思维能力.老师要教会学生一道题并不难，但是要真正让学生解决好一个问题、掌握好一种思维方法和一种有效的思维策略就不容易了.为落实立德树人的根本任务，多方面培养学生的思维方式很有必要，利用一题多解来培养中学生的发散思维也很有必要，它同时也是培养学生数学核心素养的一个重要组成部分.

1.郑元昌.发散思维训练例谈［J］.教学与管理，2005（9）.

2.杜刚庆.一题多解激活思维［J］.理科爱好者，2003（24）.

3.易同祥.开拓思路一题多解［J］.小学生课程辅导（数学辅导版），2004（11）.

4.梁佃斌，张迎军.发散思维在解题中应用［J］.内蒙古教育，2004（12）.

5.兰忠宏.感悟一题多解培养发散思维［J］.理科考试研究（初中版），2005，12（3）.

6.王千.如何认识一题多解的教育功能［J］.数学通报，2004（11）.Z