思路贯通想教学，洞察结构再变式——以2016年中考湖北武汉第24题为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校丁志国

思路贯通想教学，洞察结构再变式
——以2016年中考湖北武汉第24题为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校丁志国

我们知道，全国不少省份都是以地级市为单位统一命制中考试题，这一方面使得中考命题风格呈现“百花齐放”的格局，另一方面不少地区也延续着命题组个性化的喜好，引导着本地区备考复习的风向.本文关注湖北武汉2016年中考压轴题，在思路突破之后，反思考题的深层结构，并开展变式练习的教学思考，供研讨.

一、考题思路突破与解后反思

考题（2016年湖北武汉，第24题）抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方.

（1）如图1，若P（1，-3）、B（4，0），

①求该抛物线的解析式；

②需要分两种情况思考，构造图3所示的两种可能的点D，在该图中都满足∠DPO=∠POB.而且当∠D1PO=∠POB时，PD1∥AB，根据抛物线对称性质，容易求出D1的坐标是（-1，-3）.以下重点计算点D2的坐标.若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标.

图1

图2

（2）如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

1.思路突破

（1）①给了两点坐标之后，根据待定系数法可把P（1， -3）、B（4，0）代入y=ax2+c，得抛物线的解析式为

图3

图4

图5

让我们分离出图4方便问题的讨论.在图4中，△QOP是等腰三角形，PQ=OQ，PH=3，OH=1.设PQ=m，则HQ=m-1.在Rt△PQH中，根据勾股定理可得（m-1）2+32=m2，解得m=5，即Q（5，0），于是直线PQ为

另解思考：如果不能及时构造Rt△PQH利用勾股定理突破，也可以走另外的路径设法求出Q点的坐标，比如解析法.构造图5，作OP的中垂线交x轴于Q，可利用N（1，-1.5）及两直线垂直的性质，求出直线QN的解析式，从而确定Q点的坐标（5，0），后同上述解法.

（2）问题十分抽象，因为没有一个常量给出，可考虑设B（b，0），根据对称性质有A（-b，0），将其代入抛物线解析式得ab2+c=0，变形为如图6，过点P（m，n）作

PQ⊥AB，有n=am2+c.

图6

2.解后反思

（1）问题的难点有几处？

对于（1）②，难点之一是需要分类讨论，难点之二是分类讨论之后点P右侧的点D如何求，真正的难点是如何确定直线PD2的解析式，并与抛物线方程联立求解.

第（2）问的难点在于“全程”参数化运算，对数式运算变形提出太高的要求，信心不足、预习性不强的考生很容易中途放弃.

（2）最后一问的结构是什么？

由第（2）问“全程”参数化运算，最后也能获得定值这一结论，将此结论稍作推导、成果扩大，可得出如下一些真命题，比如OE+OF=2OC；点C为EF的中点等.为了更清楚地说明问题的深层结构，我们还可以将图形进一步简化为图7.

图7

问题结构：顶点为C的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交于A、B两点，点P是AB下方抛物线上任意一点，直线AP、BP交抛物线的对称轴于E、F.是否一定有C为EF的中点？如何证明？

思路概述：点C确是EF的中点.可考虑作PD⊥AB于D点，利用相似三角形计算出AB的中点为原点，AB为x轴，重新建立直角坐标系，令OB=p，则抛物线方程为y=a（x2-p2），OC=ap2.设OD=d，则PD=a（p2-d2）.这里以对称轴为y轴、AB重新建立坐标系，将问题特殊化后研究起来比较容易些，而对比武汉卷压轴题也是这样的设计意图.

二、教学思考

由于武汉卷带有浓浓的“地方个性”，故对相关地区选练或复习备课时提出如下教学建议.

1.函数综合题复习时要重视“解析法”渗透

以函数为载体的综合题一直是各地中考命题的重点和热点，通常都会与平面几何进行有效融合.像本文考题这样利用几何相似或直角三角形等性质可以获得问题突破.讲评时，面对高层次学生传递不同解法时，不宜回避初中课标并不涉及的解析思路，即利用不同直线之间的位置关系对应的直线方程中的系数特殊灵活处置，往往可以直达问题本质，使对思维要求偏高的几何构造减弱为解析法中的运算.这就提醒我们，面对类似考题的命题特点，备考教师应该将解析法中常见的一些技巧、设元策略向学生传递、辅导，比如两直线平行，它们的直线方程中一次项系数相等；两直线关于直线x=a对称，则两直线方程中的一次项系数互为相反数，等等.这些性质可以不要求所有学生都理解或掌握，但对于高层次学生（人群中前5%）来说是很容易理解和掌握的.

2.解题教学时要注意预设铺垫、拓展追问

对于这样的较难问题，在讲评时，不宜直接呈现考题，而应该先在外围设计一些热身问题、铺垫问题，使得较难问题出现时，学生可以通过一些铺垫问题获得启示和探究的方向.以下就是围绕考题第（1）②问的铺垫式设问的PPT截图（如图8），供分享：

图8

3.加强解后回顾，特别是难点反思与结构揭示

解题教学中，在思路贯通、规范表达之后，还需要引入解后回顾环节，即从问题的难点反思、结构揭示、方法提炼、经验积累等角度引导学生反思.比如考题的最后

一问，隐着图7所揭示出来的深层结构，稍作变式就可生成很多新的问题.

三、变式改编

作为本文的结束，我们本着命题研究的兴趣，再对考题给出变式改编，供研讨.

变式改编题：抛物线y=ax2+k与x轴交于A、B两点，顶点为C，点M在抛物线上，且位于x轴上方.

图9

图10

（1）如图9，若M（1，3）、B（4，0），

①求顶点C的坐标；

②若D是抛物线上一点，满足∠DMO=∠MOB，求△ABD的面积.

（2）如图10，已知直线MA、MB与y轴分别交于E、F两点.设E点关于x轴的对称点为点E′，猜想线段E′F与OC之间的数量关系，并说明理由.

1.付小飞.明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考［J］.中学数学（下），2016（7）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.Z