反思结构四点共圆，变式改编一题一课——以2016年四川成都中考卷第27题为例

☉江苏省海安县隆政初级中学钱宜锋

反思结构四点共圆，变式改编一题一课
——以2016年四川成都中考卷第27题为例

☉江苏省海安县隆政初级中学钱宜锋

《中学数学》（下）2016年8月、9月连续两期都发表了纯几何综合考题的研究文章，作者从思路突破出发，指向教学，起到很好的引领作用.受到启发，笔者也深入研究了2016年四川成都中考卷第27题，这也是一道纯几何的综合题，本文给出该题的思路突破，并立足于解题教学的视角，对该题的解题教学给出一些建议，提供研讨.

一、考题及思路贯通

考题（2016年四川成都中考卷第27题）如图1，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连接BD.

图1

图2

图3

（1）求证：BD=AC.

（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），连接AE.

①在Rt△AHC中如图2，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC= 4，tanC=3，求AE的长；

②如图5，设CG、AH交于点Q，由题意可知EH=AH，HF=CH，∠AHE=∠FHC=90°+30°=120°，再利用三角形如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由.

1.思路突破

（1）这是初二刚学全等时就练习的一道常见习题，利用“SAS”证明△BDH≌△ACH，就可得BD=AC.

（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF后，可以确认两个等腰三角形，也就是△CHF，△HAE是等腰三角形，而且它们的顶角∠CHF=∠AHE，即这两个等腰三角形是相似的.相似比为CH∶AH，结合△AHC是直角三角形，可知它们的相似比与∠C的正切值有关.所以AH=3CH.结合增设出来的强化条件BC=4，tanC=3，可算出CH=1，AH= BH=3，接下来构造图4进一步分析，过点H作HM⊥AC于点M，在Rt△CHM中回到图2中，在等腰三角形CHF中，根据“三线合一”的性质得出再对应到上面得到的那组相似三角形：△CHF与△HAE，可以解出内角和性质所以△AQG∽△CQH，可得比例式同样再由∠AQC=∠GQH，证出△AQC∽△GQH，所以sin30°.结合AC=EF，所以

图4

图5

2.解后反思

第（2）①问的关键是作HG⊥AC，利用△AEH∽△CFH，沟通AE与CF的数量关系，从而实现问题的解决.第（2）②问的关键是发现两个含120°的等腰△AEH，△FHC，并且发现A，G，H，C四点共圆.另外，旋转与相似在这一道题中有较多的体现，包括等线段的转化.

二、教学微设计

教学环节一：开课阶段，热身练习

练习1：如图6，Rt△ABC中，AC= BC，点D在边AC上，点E在BC延长线上，且CE=CD.连接BD、AE.

（1）直接写出sin∠BAC的值.

（2）指出线段BD、AE的数量与位置关系，并说明理由.

（3）小南同学认为△ACE可以看是△BCD旋转得到的，你能理解吗？

（4）当CD=1，tan∠E=2，求△ABC的周长.

设计意图：围绕原考题的图1，开发出来的系列问题，意图是训练该图形中相关线段与角度问题，为后续研究图形的旋转热身准备.

教学环节二：顺向旋转，初步探究

练习2：如图2，Rt△ABH中，∠ABH=45°，点D在AH上，且DH=CH，连接BD.将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），当点F落在AC上时（F不与C重合），连接AE.

（1）求证：△HCF∽△HAE；

（2）若BC=4，tanC=3，求AH的长；

（3）在（2）的条件下，求点H到AC的距离；

（4）在（2）的条件下，求△AEH的面积.

设计意图：将原考题的第（2）①问分解成4个小问，各个突破，直到最后一问跳过求AE的长，而是求△AEH的面积，仍然需要利用原考题中的求解思路.

图6

教学环节三：逆向旋转，深入探究

练习3：如图3，Rt△ABH中，∠ABH=45°，点D在AH上，且DH=CH，连接BD.将△BHD绕点H逆时针旋转30°得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），设射线CF与AE相交于点G，连接GH.

（1）求证：△HCF∽△HAE.

（2）小洁发现，点A，G，H，C四点能在同一个圆上！请判断“小洁发现”的真假，如果是真，请指出该圆的圆心与半径；如果是假，说明理由.

（3）设AH，CG相交于点M，求证：GM·CM=HM·AM.

（4）小颖发现，E，G，F，H四点也能在同一个圆上，并且半径的长等于GH！请判断“小颖发现”的真假，如果是真，说明理由；如果是假，举出反例.

设计意图：通过对原考题的最后一问进行深度构建与追问，使得该题中存在多处四点共圆都得到挖掘和深入追问，让学生对该题的深层结构有更清楚的认识.

教学环节四：听课检测，效果反馈

变式改编题：如图7，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且BD=ED，连接CE.

（1）求证：AB=CE.

（2）若BC=4，tanB=3，求AE的长.

（3）将△DCE绕点D逆时针旋转α角，得到△DMN（点C、E分别与点M、N对应），连接AM.

①当点N落在AB上时，画出符合要求的图形，并指出△BDN与哪一个三角形相似？说明理由.

②当α为锐角时，旋转过程中A，M，D，N四点是否在同一个圆上，如果在，说明理由，并指出该圆的圆心与半径；如果不在，说明理由或举出反例.

改编意图：将原考题的点D的位置与45°进行了位置上的变换，增加了旋转后自主构图的要求，求解的路径或方法仍然类似于原考题，可有效达到听课检测的效果.

图7

三、研发“一题一课”的教学建议

1.深刻理解考题结构，确保围绕考题重点与难点开展解题训练

近一段时间以来，《中学数学》（下）有多篇考题研究的文章在思路贯通之后，都进行了一题一课的构建，这种将解题研究引向教学研究的撰文取向值得学习.再有，这些课例中的问题设计都能有效地围绕考题结构展开，而不是离“题”千里，另搞一套所谓的类似的习题.我们在上面的4个教学环节中安排的习题全部源自考题，有些是直接对应原图形，有些是将图形进行简单的变换，比如更换字母、图形的位置等，这样有效地保证了整节课解题训练都是围绕着原考题的重点与难点开展.

2.注意变式改编拓展，基于多元表征理论让问题呈现丰富多样

郑毓信教授倡导的多元表征理论对于变式教学，特别是命题研究中的变式改编有直接的指导作用.在上面的课例设计中，我们正是基于多元表征理论，把考题用不同的方式、面貌呈现出来，引导学生在这些丰富多样的变式题训练中感悟问题的结构，当学生理解了这些不同形式问题背后都是一致时，他们的解题能力、眼力、洞察力也就得到了相应的训练和提升.

1.孟慧.几何综合题研究：从思路贯通到教学微设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

2.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.

3.孙莉.思路生成贵在自然，一题一课追求简约［J］.中学数学（下），2016（9）.

4.吴忠妙.一道考题的思路、难点与教学设计［J］.中学数学（下），2016（9）.H