深刻理解教材运用命题技术生成优秀试题

☉湖北省武汉市汉阳区教育局教科中心桂文通

·武汉市黄鹤英才桂文通名师工作室·

深刻理解教材运用命题技术生成优秀试题

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2016年中考已渐行渐远，但对各地试卷的评价却如火如荼，2016年武汉市中考试卷也得到了广大师生与专家的一致好评，认为试题“根植教材、情境鲜活、立意高远”.笔者有幸参加了今年武汉市中考命题工作，见证了每一道试题的命制与生成过程，本文主要是结合2016年武汉中考数学试题，谈谈如何依托教材，进行试题命制.

“中考试题应来源于教材，又高于教材”的，本试卷绝大多数试题确实都来源于教材，很多试题都从教材中直接选用或稍做变形，从教材中挖掘和组合并升华出来的.它体现我们命题人对教材的尊重与继承，试题对学生来说既似曾相识，又新颖脱俗，很好地实现了对学生的基础与能力的双重考查.在试题编拟过程中，我们合理地运用了许多命题技术.

一、直接借用

直接借用，就是直接搬用教材中例题或习题的原题，有时也可以改变问题中的数字或图形放置的方向.比如试卷的第1，2，3，5，6，7，8，11，12，17，18题等就是采取直接“拿来主义”，选取教材中的例题或习题.这类试题一般不必过于关注它的区分度，但它体现了对学生的最基础内容的考查，也体现了对全体考生的关注和中考的最基本要求，也保障了考试结果的“底分”不能太低.另外，命题素材直接来源于课本，为考生创设一种熟悉的场景，给学生提供了一种心理上的安全感，增强考生成功的信心，也是对考生实施人文关怀的一种途径.直接借用这种命题策略在试卷命制一般是可以尝试的，但这样的试题一定要控制比例，否则会影响试卷的效度、信度和区分度.

二、改造变形

1.改变结论

改变结论就是结合教材中具体问题，在不改变问题背景的前提下，只是改变问题的提问角度或问题的呈现形式.

试题4.不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球，2个白球，从袋子中一次摸出3个球.下列事件是不可能事件的是（）.

A.摸出的是3个白球

B.摸出的是3个黑球

C.摸出的是2个白球，1个黑球

D.摸出的是2个黑球，1个白球

［素材］（人教版九年级上册第128页问题3）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球，2个白球，随机从袋子中摸出1个球.

（1）这个球是白球还是黑球？

（2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？

教材中的问题是让学生理解“随机事件”的概念，并感受“随机事件”发生可能性是有大小的.命题时我们对“随机从袋子中摸出1个球”改为“从袋子中一次摸出3个球”，设计了一道对“三种事件”概念全面理解的试题，要求考生能够运用“三种事件”的概念去进行命题判断.

试题19.某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目中最喜爱的类型，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如图1所示的不完全统计图.

图1

图2

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）本次调查了_______名学生，其中最喜爱戏曲的人数为_______人；在扇形统计图（图2）中，最喜爱体育的对应扇形圆心角的大小是________；

（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最

喜爱新闻的人数.

［素材］（人教版七年级下册第135～137页正文）略.

教材中完整地呈现了“数据的收集、整理与描述”的基本过程，但我们只着重考生的信息获取和分析能力的考查，于是将教材中条形统计图和扇形统计图的完整信息隐藏了部分信息，要求考生能够从统计图获取的信息，注重两个统计图的关联性分析，并能够从已知信息中推断未知信息（分析数据），从而实现对考生的统计观念与意识的考查.

2.类比变形

美国数学家波利亚说过：“类比是一个伟大的引路人.”通过类比，我们可以创造出新的命题.类比的方式一般有知识的类比和方法的类比.

图3

［素材］（人教版八年级下册第49页正文）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

图4

图5

图6

三角形中位线定理从静态的方面告诉我们一个结论：如图4，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则DE=.如果我们动态思考：如图5，若P是BC上一个动点，当点P从B到C的运动过程中，探究AP的中点M的运动路径长.此时，我们很容易发现AP的中点M的运动路径长就是△ABC的中位线DE的长.在图5中，动点P的运动路径是直线，则中点M的运动路径也是一条直线，这就引起了我们的思考，若点P运动的路径不是直线呢，线段AP的中点M的运动路径又是怎样呢？于是类比地想到学生比较熟悉的一种曲线——圆.在图6中，若点P运动的路径是一段弧，我们可以从位似的角度很容易找到点M的路径和路径长，并且“中点”这个条件还可以推广到任意分点的.考虑到学生的认识风格的不同，我们又将问题背景特殊化，选择了一个等腰直角三角形中，可以让考生从“中点”问题的角度解决问题.

（1）略；

图7

图8

［素材］（人教版七年级下册第31页第6题）如图8，在一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线.求这块草地的绿地面积.

教材中问题体现了直线形平移性质的应用，图形的平移最本质的特征就是点的平移，并且图形上所有点都遵循着同样的平移规律.直线形具有这种规律，双曲线也应该具有同样的规律（教材中没有研究）.另外，也考虑到考生已经有了直线与抛物线平移的经验，他们是可以将陌生问题熟悉化的，实现知识经验的迁移的.于是就设计了这样的一道部分双曲线图像平移的试题，背景新颖，似曾相识，既注重操作直观，又强调理性思考.但又考虑到考生对曲多边形的认识水平，不要求书写解答过程，只要求考生写出答案.

3.移植变形

试题10.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）.

A.5B.6C.7D.8

［素材］（人教版八年级上册第93页第12题）在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形，这五个点应该怎样画？

教材中的问题主要是巩固等腰三角形的判定，要确定一个等腰三角形，往往是固定两个点，再探求第三个点满足的规律，教材中问题的提出有很大的开放性，如果直接移用，在试题的评价上不好把握，又考虑到考生标准作图的需要，于是将问题移植到平面直角坐标系中，并且固定两点，在坐标轴上找第三个点，即限定了第三个点的运动路径.移植到平面直角坐标系中的问题，可以将原来的定性研究问题，从定量的角度作出思考.

中考试题对考生的动手操作、数学思想、理性思考都作了全面的考查.考查了等腰三角形的画法这个基本技能，分类讨论的基本思想，同时还对考生思维的严谨性提出了挑战，作图后还要验证解答的合理性（因为作图中y轴上有一点与已知A，B两点在同一直线上，它们不能形成一个等腰三角形，故要舍去该点），从而突出了对考生能力的考查.

三、演绎深化

演绎深化命题着眼于扩大条件与结论的距离，力图掩盖条件和结论之间联系的痕迹；从已有的知识、方法出发，演绎出新命题.J.N.Kapur先生曾指出：“在数学中，我们从明显的事实出发，并从此推出不够明显的事实，再从此推出更不明显的事实，如此下去以至无穷.”

试题10.如图9，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB= 3，BC=4，CD=10，DA=则BD长为________.

［素材］（人教版八年级下册第34页第5题）如图10，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，求四边形ABCD的面积.

图9

图10

图11

教材中习题主要是体现勾股定理及其逆定理的应用，问题比较基础，侧重课本知识的直接应用.我们关注到图10中有两个直角，即∠ABC=∠ACD=90°，容易联想到一个“一线三等角”基本图形，由习题的条件可知，图10中的所有线段都是已知，但在图11中，△ABC∽△CED，则线段CE，DE的长都是可求得，进一步思考，图11中所有的线段也是可求的.于是设计一个求线段BD长的问题，为考虑到计算数据简单的需要，适当地调整了数据.中考试题除保留了教材对基本知识应用的考查外，还挖掘几何图形中隐含的结论，更重要的是突出能力的考查——强调考生对基本图形的构造.

试题15.将函数y=2x+b（b为常数）的图像位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y=|2x+ b|（b为常数）的图像，若该图像在直线y=2下方的点的横坐标x满足0

［素材］（人教版八年级下册第108页第11题）画出函数y=|x-1|的图像.

教材中的习题主要是让学生熟悉画函数图像的一般过程：列表、描点、连线，得到一个“V”型图像，并且让学生知道并不是任何图像都是一条直线的.而绝对值函数图像不是初中数学教学的要求，于是我们设置了一个“翻折”变换，不但回避了画图像的过程，而且综合了坐标变换的知识，提升了问题的综合性；再结合“V”型图像的特征，对它的性质进行研究，因为常数b的不确定，则“V”型图像的顶点在x轴上可以左右移动的，为了确定顶点移动的区域，有必要增加一个限定条件，结合一次函数与一次不等式的学习经验，我们提出设计了“若该图像在直线y=2下方的点的横坐标x满足0

试题21.如图12，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.

（1）求证：AC平分∠DAB；

图12

［素材］（人教版九年级上册第102页第12题）试题的第（1）问.

本题第（1）问直接借用教材中的习题，第（2）问是在教材的基础上，增设一个三角函数值，相当于已知线段的比，求一组线段的比，体现了三角函数与圆的综合，要求考生结合三角函数和相似三角形的有关知识构造基本图形，运用合情推理进行相关的计算.

四、重组整合

重组整合就是将多个公式、多道习题、多个方法的综合，它体现了同一知识领域或不同知识领域的综合.

试题22.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表：其中a为常数，且3≤a≤5.

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，求出y1，y2与x的函数关系式；

（2）请分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.

［素材1］（人教版九年级上册第50页探究2）某商品

现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

［素材2］（人教版八年级下册第102页问题1）怎样选取上网收费方式？下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式.选取哪种方式能节省上网费？

教材中两个问题，分别体现了结合具体的实际问题，建立函数模型、运用函数知识解决问题的基本过程，并且两个问题蕴含了分类思想的运用.结合中考命题的双向细目表的要求，本题应该是一道体现数学建模的基本过程，体现数学知识和数学思想方法应用的试题.我们在研究教材中两个问题的基本内涵时，试图在同一问题中对一次函数和二次函数两个模型作一个全面的考查，试题的第（1）问就是分别建立两个函数模型；第（2）问结合两个函数图像及其性质，研究两个函数的最值，为了增强试题的区分度，在二次函数中我们控制了自变量的取值范围，使它的最值不在抛物线的顶点取得；同时为了实现分类讨论思想的考查，我们引入了一个常数a，在第（3）问中比较两个函数的最值，要求考生对常数a的取值进行分类讨论，也促使了一次函数与二次函数两个核心考点的联姻.另外，在试题的呈现形式上也借鉴了素材2的图表形式，使整个问题表达也简单明了.

五、推广拓展

一个数学命题由条件和结论两个部分组成，正确的命题揭示了条件和结论之间的必然联系.一个数学命题的条件改变了，其结论也往往随之发生相应的变化.推广就是扩大命题条件中有关对象的范围，或随之扩大结论的范围，即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物的研究.推广命题的途径一般从维数型、概念型、状态型和数值型推广.

试题23.如图13，在△ABC中，P为边AB上一点.

图13

图14

图15

（1）如图13，若∠ACP=∠B，求证AC2=AP·AB；

（2）若M为CP的中点，AC=2.

①如图14，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；

②如图15，若∠ABC=45°，∠BMP=∠A=60°，直接写出BP的长.

［素材］（人教版九年级下册第43页第7题）

如图（图略），AD是Rt△ABC斜边上的高.若AB= 4cm，BC=10cm，求BD的长.

本题运用了概念型的命题推广技术，将标准的“母子直角三角形”推广到一般的“母子三角形”.第（2）问主要运用了演绎技术（增加条件，演绎结论）与重组技术（与中点问题结合）.

试题24.如图16，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方.

（1）略.

（2）已知直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当P点运动时是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

图16

本题运用了数字型和状态型的命题推广技术，最起始的素材给出抛物线的具体解析式和点P的坐标，求的值，但考虑到压轴题的选拔功能，我们逐步尝试，通过增加问题的抽象性，将二次函数解析式的数字系数变为字母系数；再将静止的点P一般化为抛物线下方任意一动点，发现的值还是不变的.在不断一般化的过程中，解题方法也有特殊到一般，从具体到抽象，对考生的能力也提出了较高要求，也体现压轴题的选拔功能.在一般情形研究中，我们发现了一个不变的结论，这也揭示了数学内在的和谐美.

其实，一道试题的命制往往会借用一种命题技术，但更多的是几种命题技术的综合运用.一道好的试题它需要命题人对考生的精神世界、情感需求和个性差异正确地把握，对试题效度与信度的科学地预测，对试题整体构思和立意作出智慧的创造.

坚持正确的命题指向，让中考回归教材，让教师潜心研究教材、理解教材，唯此，才能更好地理解数学，才能让学生脱离题海，回归数学教学本质.合理运用命题技术科学命题，关注试题的内在价值和人文价值，让优秀的试题成为考生与知识、情境、命题人之间自然对话的良性载体，成为心灵交汇、情感交流的畅通渠道.H