善于提问：难题讲评前的预设视角——由两道较难二次函数习题讲评为例

☉江苏省如东县岔河中学冒亚萍

善于提问：难题讲评前的预设视角
——由两道较难二次函数习题讲评为例

☉江苏省如东县岔河中学冒亚萍

数学作业（包括各类作业、考试）讲评课是日常数学教学中常见的一种课型，然而讲评有些较难试题时，由于缺乏深入的预设和充分的准备，往往讲评效果并不理想.我们认为，南京大学哲学系郑毓信教授提出的数学教师的三项基本功之一的“善于提问”就是值得我们在难题讲评前认真构思的一种备课视角.

一、两道较难习题的讲评案例

案例1：已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

（1）求二次函数的解析式；

（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数的图像上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，分析y1与y2的大小关系；

（3）若将此图像沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图像所对应的函数关系式；

（4）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函数y＝ax2+bx+c的图像上，问：当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？

讲评预设：前三问比较简单，这里直接给出它们的答案.（1）y＝（x-2）2；（2）y1＜y2；（3）y＝（x-5）2或y＝x2-10x+25.以下重点讲解第（4）问的思路突破.首先，要思考问题的起点，即需要考虑这三个点在函数图像上的大致位置，因为它们的位置会影响y1、y2、y3大小的排列（y1＞y2＞y3＞0），而它们的大小顺序又影响着三角形三边的大小的排列和作差比较；接下来思考贯通的路径，需要把相应的横坐标分别代入解析式，得到y1、y2、y3的表达式，再作差比较.即y2+y3-y1＝（m-1）2+m2-（m-2）2＝m2+2m-3.这个式子的正、负影响着三角形能否围成目标的实现，有不同的路径，比如将其因式分解为（m+3）（m-1），结合m＜-3时，“负负得正”，说明y2+y3-y1＞0，即y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长.也可将m2+2m-3配方得（m+1）2-4，视它为一个关于m的二次函数，当自变量m＜-3时，该函数一定为正数.基于上述认识，我们构思如下的PPT（如图1），在不同的障碍点处分别安排了“起点”“目标”“贯通思路”“难点突破”等提示语，使得学生在研习时抬级而上，既获得帮助又需要自己努力思考.

图1

案例2：已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0.

（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；

（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；

（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1＝y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值.

讲评预设：在网络上检索出该题出自2012年北京海淀区中考一模，后很多地区模考或所谓的月考纷纷引用，只是将最后的待求代数式的常量进行一些简单的改编，因为代数式“4x12+12x1n+5n2+16n”是定值16.前两问比较常规，我们只给出第（2）问的思路点拨（PPT如图2）.

图2

值得一说的是，在PPT中三个箭头分别提醒学生如

何得到（m+3）（mx+1）＝0，并如何分析这个方程，从而确认m＝1.

图3

接下来重点说说最后一问.这里比较难思考的是y1＝y2能带来怎样的信息，如果仅从函数值相等，把x1、n代入然后变形得出2x1+n+4＝0，则有一定意义，进一步可变形得2x1＝-n-4，再代入待求代数式中（注意整体代入2x1比较恰当，可使运算简化），经过运算、化简会发现参数n被消去，得到16+200＝216.这里后一阶段的运算量仍然较大，对较为繁杂的运算能力是又一次考验.如果能从另外的角度发挥y1＝y2的作用，则可以进一步简化求解.

这里可以引入高中解析几何中的重要性质，当f（x1）＝f（x2）时，一定有f（x1+x2）＝f（0）＝c的性质.即本题有f（x1）＝f（x1+n），则有f（x1+x1+n）＝f（0）＝3，而抛物线y＝x2+4x+3的对称轴方程为x＝-2，则f（-4）＝f（0）＝3，即x1+x1+n＝-4，而这与之前经过较繁杂运算得出的2x1+n+4＝0殊途同归，接下来再代入待求代数式中即可明确解答，循此思路，我们预设如下的PPT（如图4）.

图4

在这一页PPT中，当引导学生分析出2x1+n+4＝0之后，没有直接代入代数式化简求值，而是引导学生深刻认识y1＝y2的性质，从而解读出x1+x1+n＝-4.

二、进一步的思考

1.深刻理解问题，辨明难点所在是善于提问的前提面对较难的数学习题，作为教师，首先要贯通思路，然后从不同角度追求更简化、更优化的思路，或更自然、更初等的方法来揭示问题的解法，这是深刻理解问题的内涵之一.在此基础上，回看问题的难点有哪些？这些难点基于什么来破解？与我们在教材上哪些概念直接相关？与哪些经典问题有相似或关联之处？多思考这样的问题，就是学会辨明难点和难点突破，也是进一步开展教学设计的前提.

2.增设恰当提示，通过课件渐次呈现、相机引导和启发思考

在教师本人深刻理解问题之后，辨析了数学习题有哪些难点、易错点、歧路之后，就可以在这些难点、阻碍点、歧路处设计“路标”，即恰当的提示，以PPT标注的方式动画呈现，一方面，引导学生向着正确的方向前进，另一方面，也为“相机引导”（李庾南老师语）提供了可能，同时还为促进学生思维较大限度地被“卷入”课堂思考中提供了有效保证.

3.问题适度拓展，引导学生洞察和理解问题深层结构

在本文中，我们所指的问题适度拓展并不是指在原考题的基础上再次拓展变式、增加思维挑战，而是指在思路贯通之后，能反思回顾，并把原有解法纳入到一个“高观点”下俯视，追求更加简约、深刻的解题路径，当然我们也需要向学生传递“算法简单的方法往往要付出逻辑思维的代价”.比如上文题例2中最后一问待求的代数式“4x12+12x1n+5n2+16n”是一个定值，如果不能理解这一结构，则会误以为后面的常数200是一个有效的数据，干扰思路，形成思维歧路.

1.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

2.郑毓信.多元表征与概念教学［J］.小学数学教育，2011（10）.

3.陈爱军.预设互动促进对话，课件简约渐次展现——李庾南老师“函数的图像”课例赏析［J］.中学数学（下），2016（10）.

4.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.

5.许燕.从解题赏析走向教学研究——以2016年无锡卷第27题为例［J］.中学数学（下），2016（10）.Z