试卷讲评课中的策略性研究与实践

2016-12-08浙江省杭州师范大学东城中学胡育旭

中学数学杂志 2016年22期

☉浙江省杭州师范大学东城中学胡育旭

试卷讲评课中的策略性研究与实践

☉浙江省杭州师范大学东城中学胡育旭

一、试卷讲评课的意义

测试的目的是为了检测学生知识的掌握情况，反思教师课堂教学的效果.因此，试卷讲评课的意义在于帮助学生分析知识的易错点，唤醒学生知识的遗忘点，突破难解的障碍点，补全学生知识结构的思维节点；另一方面，通过试卷讲评课，教师可以二次察觉学生的问题所在，及时反思自己前期教学方面的不足，不断促进教师进行自我总结、自我反思，从而提高教学质量.

二、试卷讲评课的现状分析

1.题题讲，面面道

教师对试卷讲评课的重要性认识不足，试卷一下发就独揽大权，一讲到底，甚至有题题讲面面道的情况出现.整个过程学生参与度低，优等生已会不想听，因为听也没有收获；学困生听不懂，老师不了解他们的实际状况，整个课堂显得比平时沉闷，枯燥乏味.［1］

2.讲压轴，显水平

教师对试卷讲评课的教学内容和教学目标认识不足，只站立在自己的角度讲解选择题、填空题、解答题的最后一题，以“满堂灌，满堂讲”的形式来解答此类的压轴题，从而妄想在学生中显露自己的水平.实际上，对于绝大多数的学生而言，听的是云里雾里，压轴题的解答是通过学生不断积累基本知识和技能的前提下，量变引起质变水到渠成的一件事，往往通过教师的讲解是不能一蹴而就的，因此这样的试卷讲评课是无效的.

三、试卷讲评课的备课策略

1.量化统计，了解学情，积累素材

在试卷考完后，笔者利用表1，统计每一道题目的错误人数，掌握每一道题目的正确率，了解每一个人的错题情况，量化错误的分布，充分了解学情，从而在课堂上有的放矢，试卷讲评更具有针对性.

表1

如表1，横向看学生1的错题是4、7、16、22、23，总共错了5题，统计每个学生的错误所在，每次测试教师都积累了大量的素材，可以利用复习阶段，分层编制个性化的作业，使错误资源得到二次开发，有效减轻学生的学业负担.

纵向看总的错误，笔者知道全班的错误点，假设全班有30人，明显可以看出第4、7、9、10、15、16、22、23题错误率是比较高的，如果笔者不统计就只会讲第9、10、15、16、22、23题，错失第4、7题知识点的教育价值.

2.提前发放，小组合作，有效订正

从表1我们看出还有第5、6、8、13、14、19、20题，个别同学存在错误，但由于时间的限制，课堂上讲是来不及的.所以笔者提前发放试卷，协调小组间的合作互助，成立讲评组长，利用课间时间帮助解答少数同学的困难，有效提高订正，根据学习金字塔理论，这种兵帮兵、兵强兵的方式比笔者讲解的效果要好的多.

3.知识分类，优化思维，形成网络

数学是一门逻辑性很强的学科，而试卷中的知识点是零散的、杂乱的，这在思维上给学生造成了一定的干扰.平时章节学习很扎实，但知识点在大脑中形成的网络状结构较差的学生往往会考的很差，因此在试卷讲评时，笔者有必要对试卷中的知识点进行分类，重组试卷，

优化学生的思维，让知识在学生大脑中由点状到块状再向网状发展.

图1

例1（2015年宁波中考题）如图1，已知点A，C在反比例函数图像上，点B，D在反比例函数0）的图像上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB= 3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是_______.

分析：该测试题主要考查的是反比例函数图像及k的几何意义，如果笔者只是就题论题，缺乏对试题背后蕴含的知识结构的挖掘，学生将停留在只会此一题的局面.在试卷讲评中，不仅要认真地剖析学生的错误原因，还要以本题涉及的知识点为载体，寻找与课本知识间的内在联系，笔者通过构建知识网络结构（如图2），让学生体会反比例函数面积问题中图形的系列关系，积累基本的图形经验.显然该题是两条不同象限内反比例函数的组合，利用图形系列变式（3）连接OA，OB，OC，OD，利用面积可知a-b=6，因此在复习过程中要加强对所学知识的分类，学生解题思维的优化，形成一个知识结构系统.

图2

四、试卷讲评课的教学策略

1.返璞归真，引导学生注重课本习题

课本习题、例题蕴藏着丰富的内涵，但学生往往觉得课本习题过于简单，大量的时间花在课外辅导书上.因此笔者充分挖掘课本内容的教育价值，引导学生注重课本习题，研究习题间的联系，让教材真正成为一个“母题库”.

例2（2013年杭州期末测试）将一张长方形纸片分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B′，点C落在点C′.

（1）若点P，B′，C′在同一直线上（如图3），求两条折痕的夹角∠EPF的度数.

图3

图4

（2）若点P，B′，C′不在同一直线上（如图4），且∠B′PC′=10°，求∠EPF的度数.

本题实际上是浙教版《数学》七年级上册第162页第5题（见下文题目1）的改编.

题目1：如图5，E是直线AC上一点，EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线.求∠GEF的度数.

图5

折叠问题是角平分的一个应用，但由于折叠前后图形的复杂性，初一的学生识图能力和几何直观都比较薄弱，所以在一定程度上造成了此题得分率低的现象.在讲解此题时，笔者抓住问题本质——角平分线，隐去多余的线段、角等几何图形，利用课本图5的基本图形进行讲解.为了进一步巩固角平分线的性质，讲解结束后引导学生再次反思，作如下思考（改编∠CEA=180°为一般角）：

图6

图7

图8

（1）如图6，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线.∠DOE与∠AOB之间有怎样的数量关系？请说明理由.

（2）如图7，OC是∠AOB外的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线.∠DOE与∠AOB之间有怎样的数量关系？请说明理由.

（3）如图6，OC、OD、OE是∠AOB内的三条射线，∠AOB=2∠DOE.如果OD平分∠AOC，那么OE平分∠BOC吗？请说明理由.

（4）如图8，一张纸片上，∠AOB=90°，∠COD=45°，能否用不同的方法在∠COD内画一条射线OE，恰好使OC、OD分别平分∠BOE，∠EOA？请说明理由.

例3（2015年杭州市江干区期末）如图9，在矩形ABCD中，AB= 3cm，BC=4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相

向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动.

图9

（1）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形.

（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.

（3）若G，H分别是折线A—B—C，C—D—A上的动点，以与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形.

本题实际上是浙教版《数学》八年级下册第107页第15题（见下文题目1）和浙教版《数学》八年级下册第122页例2（见下文题目2）的结合，

题目1：如图10，在▱ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在AC上，且AE=CF.求证：四边形EGFH是平行四边形.

图10

图11

题目2：如图11，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.

在试卷讲评中，笔者让学生先完成题目1和题目2，在完成这两题后学生思路必定有所启发，从而得到例3的解题思路如下：

（1）易证△AEG≌△CFH，则∠AEG=∠CFH，由此可知GE∥FH且GE=FH，所以四边形EGFH始终是平行四边形.

（2）在（1）的条件下已证四边形EGFH是平行四边形，如图12，连接GH，只要满足GH=BC，则▱ABCD是矩形，因为E，F分别向从A、C向C、A运动，所以有两种情况，因为GH=4，所以5-2t=4或2t-5=4，所以

图12

图13

（3）如图13，当四边形EGFH是菱形时，FE⊥GH，因为GH与AC互相平分，所以四边形AGCH为菱形，则AG= CG，32+（t-3）2=（7-t）2，解得

完成此题后，笔者让学生回顾平行四边形、矩形、菱形、正方形这四者之间的联系，对知识进行梳理，注重概念间的层层递进和区别，这样的体系建立对知识的提取更有针对性和目的性，也能引导学生注重课本习题.

2.题组变式，激发学生挖掘知识本质

数学的变式教学分为概念性变式和过程性变式，概念性变式教学可以构建一个聚焦学习对象关键方面的变异空间，让学生体会和理解概念的本质；过程性变式教学通过铺垫来建立合适的教学“脚手架”，帮助学生理解问题.［2］在试卷讲评课中，笔者采取过程性变式，利用问题的表面形式特征，由表及里挖掘问题的结构特征，通过题组间的层层递进，揭示问题的本质，从而使问题得到解决.

例4（2014年江阴市模拟）如图14，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值为_______.

图14

分析：在考试中本题的得分率非常低，笔者通过课后的调查分析发现，此题学生对于正六边形的知识点较陌生，在寻找最大值的过程中思路受阻，从而造成绝大多数的学生凭借直觉得到当DA垂直x轴时DO最大，或点C在y轴上时DO最大等毫无头绪的答案.笔者如果直截了当地讲解答案，显然这个过程学生对于解题思路的寻找感觉就比较突兀，下次再遇到正五边形、正六边形等图形的性质探索就无章可循.因此，笔者在讲解此题前又设计了如下的问题，利用题组间的变式，使学生的思维可视化，从而激发学生挖掘本题的本质所在.

题组1：如图15，在等边△ABC中，AB=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动的过程中点B到原点O的最大距离是_________.

题组2：如图16，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动的过程中点B到原点O的最大距离是________.

题组3：如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动的过程中点B到原点O的

最大距离是________.

图15

图16

图17

通过这3个题组的设计，学生从图15的直观想象到图17的逻辑推理，突破了思维上的障碍，对试题也有了本质的认识，试题的讲解也就无需笔者亲劳.

3.利用图式，序化学生思维体系

现代认知心理学将知识分为程序性知识和陈述性知识，新授课中我们往往侧重于陈述性知识，如概念、定理、法则等，以及单一的程序性知识，如特定公式、方法的运用等.笔者在教学过程中发现，对于一元一次方程的解法100%的学生能融会贯通，对于二元一次方程的解法90%的学生能融会贯通，对于一元二次方程的解法却只有70%的学生能融会贯通，这里的融会贯通指在规定时间内完成题目的正确率.笔者调查、研究、分析发现，因为一元一次方程的解法只有一种，机械性的模仿100%学生能做到；而二元一次方程的解法有两种，有10%的学生对这种选择性出现了思维障碍；一元二次方程的解法有四种，这种如何从复杂情境中选择恰当方法的能力学生比较薄弱，笔者在试卷讲评课中利用可视化图式，让程序性知识的策略技能显化，使得这种策略技能在学生的大脑思维中有序化，最终形成可快速提取的知识体系.

例5选择恰当的方法解下列方程：

（1）3x2+1=4x；（2）2x2-50=0；

（3）x2+3x+2=0；（4）（x-5）（3x-2）=10.

第（1）题大部分学生用公式法是可取的，但受到第（1）题解法的影响，导致大部分学生对（2）（3）（4）都用公式法解，因此在考试中学生不会合理地选择一元二次方程的解法，造成考试时间不够、错误率高、方法复杂等现象的发生.笔者在试卷讲评完此题后，板书归纳解一元二次方程的图式，如图18所示.

图18

从这个图式可以看出，解一元二次方程包括三个过程观察、选取、实施.首先观察一元二次方程的形式特征，系数a，b，c的值，再选取四种方法中符合条件的一种，最后实施解题.这种试卷讲评课不是就题论题，而是通过整合所学知识利用图式的方法，让知识在学生大脑形成有序的网络状，有助于智慧技能的获得和思维品质的提升.

4.一题多解，培养学生的发散思维

数学是思维的体操，数学课堂是思维的课堂.在数学试卷讲评过程中，应体现思维的品质，利用一题多解的教学策略是培养学生发散思维的重要方式，有助于提高学生解决问题的能力.考虑到时间的紧凑和为了对新知的巩固，数学新授课更多的是侧重于“一题求一解”的复合思维，这种教学方式使得思维变得呆板，即使学会了知识也不能具有创造性.随着时代的发展，创新人才的呼喊愈加强烈，因此在试卷讲评课中，笔者充分利用一题多解，分析多种解题途径，促进发散思维的发展，为培育创新型人才添砖加瓦.［3］

例6（期末模拟卷）如图19，四边形ABCD是正方形，M、N分别是AD、CD的中点，连接BN，CM交于点P，连接AP.求证：AP=AB.

解法1：如图20，延长CM交BA于点E，因为CD∥AB，M是中点，所以∠E=∠DCM，DM=AM.因为∠EMA=∠CMD，所以△AEM≌△DCM，所以AE=DC=AB，即A是EB的中点.又因为四边形ABCD是正方形，所以CD=BC= AD，∠D=∠BCN=90°.因为M、N分别是AD、CD的中点，所所以DM=CN，所以△MDC≌△NCB，所以∠CNB=∠DMC.因为∠CMD+∠DCM=90°，所以∠CNB+∠NCP=90°，所以∠EPB=∠CPB=90°，所以AP=AB.

图19

图20

图21

解法2：如图21，取CB的中点E，连接PE、AE，因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CB.因为M、E分别是AD、CB的中点，所以AM=EC，AM∥EC，所以四边形AECM是平行四边形，所以CM∥EA.因为∠CPB=90°（见证法1），所以∠EQB=∠CPB=90°.因为E是CB的中点，所以EP= EB，所以PQ=BQ，所以AE是PB的中垂线，所以AP=AB.

解法3：如图22，在线段NB上取一点E，使得PE=PN.因为∠CPB=90°（见证法1），CP=CP，所以△CNP≌△CEP，所以∠CNE=∠CEN，CE=CN=AM.因为△MDC≌△NCB（见证法1），所以∠CNE=∠DMC，CM=NB，所以∠AMP=∠CEB.因为tan，所以CP= 2NP=NE，所以CM-CP=NB-NE，即BE=PM，所以△PMA≌△BEC，所以AP=BC，所以AP=AB.

图22

图23

图24

解法4：如图23，过点A作AE⊥BP于点E，所以∠AEB=90°.因为四边形ABCD是正方形，所以CD∥BA，∠BCD=90°，BC=AB，所以∠CNB=∠EBA.因为∠CPB= 90°（见证法1），所以∠CNP=∠PCB，所以∠PCB=∠EBA，所以△AEB≌△BPC，所以CP=BE，PB=EA，所以tan∠CBP=所以AE=2BE.因为BP=AE，所以BP=2BE，所以E是PB的中点，所以AE是PB的中垂线，所以AP=AB.

解法5：如图24，以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为2，故直线CM的解析式为直线BN的解析式为y=-2x+4，所以点所以AP=2.因为AB=2，所以AP=AB.

一题多解的目的并不在于“多解”，而在于培养思维的“层次性”.在解题的过程中，有的学生毫无头绪，有的学生解法单一且复杂，有的学生思绪如潮，这些现象背后正是体现了不同层次学生的思维品质存在显著的差异.针对试卷中的考题，笔者高效地融合不同考生的解题方法，在课堂上呈现这5种解法并让该解法的学生说明其思路过程，从而有效地发挥一题多解的教育价值.生1叙述从“中点+平行线=全等三角形”的基本模型出发，自然想到延长CM交BC于点E，通过证明△AEM≌△DCM易证AP=AB；生2叙述从Rt△PBC联想到辅助线斜边上的中线，得到双等腰三角形，连接AE得到平行四边形AECM，通过证明AE是PB的中垂线易证AP=AB；生3叙述结合三角函数和对称全等来证明AP=AB；生4叙述从结论看可知△ABP是等腰三角形，从而通过作AE⊥BP利用三线合一去证明AP=AB；生5叙述因为是正方形，所以建立直角坐标系利用代数方法证明AP=AB.从课堂上学生回答的分析来看，学生对知识的理解程度，对知识的整合提取是有不同的差异的，除了生3的解法3比较难想到，其他方法都立足于某个模型，波利亚曾说过“铸题成模”，这种解题中的模型思想在试卷讲评中应该深度挖掘，并让不同层次的学生开拓解题思路，培养他们的发散思维.