基于学情组织“题”材，预设铺垫注重追问<br/>——以“一元二次方程”章末复习课为例

基于学情组织“题”材，预设铺垫注重追问
——以“一元二次方程”章末复习课为例

2016-12-08江苏省射阳县实验初级中学陈建生

中学数学杂志 2016年22期

☉江苏省射阳县实验初级中学陈建生

基于学情组织“题”材，预设铺垫注重追问
——以“一元二次方程”章末复习课为例

☉江苏省射阳县实验初级中学陈建生

章末复习课是一种重要课型，教材上往往只是简略的全章知识框图与几点复习提醒，接着就是全章复习题.这就给老师们留下了丰富的开发空间，需要认真思考和组织教学内容，然后预设教学互动，这其中最重要的就是认真构思“教什么”.本文结合新近一次执教一元二次方程章末复习课的研讨课经历，梳理该课的教学设计，反思教学收获，供研讨.

一、一元二次方程章末复习课教学流程

（一）复习引入

实际问题：用一根长为120cm的铁丝制成一个矩形，当矩形的面积等于500cm2时，该怎样设计矩形的边长呢？（只要求设未知数，列方程）

预设问题：所列方程是哪一种类型？你认为怎样解这个方程速度更快？你更习惯哪种解法，理由是什么？有人提出矩形的面积有最大值，你是如何思考的？你还能提出哪些新的数学问题？

（二）构建全章知识结构图

预设：要求学生结合教材上的小结内容绘出全章知识结构图.要求把一元二次方程根的判别式和韦达定理的内容也一并构建起来.

预设意图：本节课的复习以一个实际问题为切入口，首先让学生解决实际问题，然后由解这个实际问题得到的方程作为展开新课的引线.在知识回顾时，运用开放式的问题设计，让学生自主回忆所学知识，再相互补充完善，提高了学生的学习兴趣，突出了学生在学习中的主体作用，培养学生的反思能力、概括能力、问题意识及创新精神.当然，这样的教学设计十分开放，具有不可预测性，教学过程中要做好各种预案准备.

（三）典例讲评

例1选择适当的方法解下列方程，并把答案及选择的方法与同学交流：

（1）x2-4x+1=0；（2）3x2-6x+1=0；

（3）（x-1）（x+2）=2（x+2）；（4）2x2-x-6=0.

预设意图：熟练地解一元二次方程是本章学习的重点，一元二次方程的三种解法各有优点，正确选择的前提是熟练掌握三种解法，途径就是多练习.这里让学生先实践后比较，通过比较提高解一元二次方程的能力.

例2已知关于x的方程x2-2x+a=0.

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

（2）设这个方程的两个实数根分别是x1、x2.

①如果x12+x22=7，求（x1-x2）2的值；的值.

预设意图：根的判别式及韦达定理是一元二次方程中的重要内容，也是后续学习内容，因此，教学中有必要作一些补充和拓展.由于这两个定理具有非常密切的联系，所以这里把两个定理融合在一个问题中.在设计的问题中，既有两根的对称式，又有非对称式，在方法上有不同的方法供选择，在数学思想上分别蕴含了化归、降次、整体等重要思想和方法.

例3（1）①继续完成引例中的问题.

②当围成的矩形面积等于900cm2时，矩形的长和宽分别是多少？

③围成的矩形面积能够无限大吗？请解释你的结论.

（2）如图1，在△ABC中，AC= BC=13cm，AB=10cm，CH是底边AB上的高，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点H开始沿HC边向点C以2cm/s的速度移动.假设P、Q分别从A、H同时出发.

①几秒钟后，PQ的长度等于5cm？

②△PHQ的面积能否等于6cm2吗？如能可能，求出相应的运动时间；如果不能，说明理由.

图1

预设意图：利用一元二次方程解决实际问题是本章的基本教学目标.第1小题解决引例中留下来的问题，第2小题是图形变化问题.运动变化是培养学生空间观念和思维能力的重要途径，一直是近几年来中考中的热点.运动变化通常与方程知识联系起来.这里以行程问题为背景，考查解一元二次方程、根的判别式、勾股定理等数学知识和分类讨论、转化、运动变化数学思想方法.作为本课一道重要例题，我们利用PPT的动画呈现功能，渐次呈现相关设问与追问设计，不妨选取其中一页PPT截图（如图2）：

如图1，在△ABC中，AC=BC=13cm，AB=10cm，CH是底边AB上的高，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点H开始沿HC边向点C以2cm/s的速度移动.假设P、Q分别从A、H同时出发.

图2

（四）小结与训练检测

组织学生先在小组内交流本章复习中的一些心得或解题经验，然后对本章的重要内容进行当堂检测反馈.

（1）关于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解为（）.

A.x1=1，x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.无解

（2）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的百分率为x，可以列出方程：________.

（3）已知关于x的方程kx2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2，则k的取值范围是___________..

（4）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x12+8x2+ 20=__________.

（5）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2.

①求实数m的取值范围；

②当x12-x22=0时，求m的值.

设计意图：因为限时5分钟左右的当堂检测，故前4题设计成选择与填空，让速度较快的学生可以在草稿上迅速贯通思路，获得解答，而第5题需要展示解题过程.通常设置成100分，每小题20分，鼓励学生向上挑战.

二、教学立意的进一步解读

1.深刻理解全章重、难点，结合学情组织教学内容

在定位章末复习课时，首要的是基于理解数学的高度，准备理解全章的教学重点、辨析教学难点，比如需要学生了解全章的知识结构，进一步熟练掌握一元二次方程的解法，能够利用根的判别式和韦达定理解决与一元二次方程的根有关的问题；能够利用一元二次方程解决实际问题及图形运动问题.同时还要结合之前新授课期间的教学反馈与学情理解，进行教学内容的取舍，特别是对相关例、习题的取舍，比如学情整体水平较高时，一些过于基础的习题可以适当放弃，以变式、拓展问题为主，而如果班级学情基础偏差，则应该以基础题、中档题为主.

2.预设问题铺垫与追问，注重全员参与兼顾拓展

在入选教学内容的例、习题确定之后，特别是预设作为重点讲评的例题时，除了解题过程要认真思考、贯通思路，一个重要的备课追求就是：要针对相关例题构思条件与设问如何呈现，出现的时机怎样把握，在突破问题难点时设计哪些追问，当学生对基础问题有较好的理解时，怎么适时把问题向纵深追问，等等.这些都是课前对于例、习题备课时的一些必要构思.比如，在上面的课例中，我们不仅预设了例题和设计意图，还提供了一页PPT的截图，展示了如何引导学生思考，以便顺利突破问题的关键点.这样的教学努力，除了让学生学会课上的一道例题，同时还渗透了解决难题的一种方法：学会解读条件，发挥条件的价值.

3.安排变式练习与检测，重视课堂听讲效果反馈

对于章末复习课，为了有效检测复习效果和反馈听讲效果，有必要在课堂最后设计当堂检测环节，而对于检测题的设计也是备课时的重点与难点.比如，关于检测题的题型，需要根据测试时间灵活选配或编创，如果检测时间预设在5分钟左右的限时练习，则一般只能有5道题，前3~4题安排填空或选择，学生不必展示过程，特别是5道习题要针对全章的重点选配，最好能与本课中重点讲评的、提及的例、习题的类型高度对应，这样才能起到当堂练习、听课效果反馈的检测目的.