一题一课：从教材“探究问题”出发——以“抛物线型拱桥问题”习题课为例

☉江苏省如皋市九华初级中学谢小兵

一题一课：从教材“探究问题”出发
——以“抛物线型拱桥问题”习题课为例

☉江苏省如皋市九华初级中学谢小兵

近读《中学数学》（初中版），不少同行围绕最近中考试题的解析与反思开展了很有意义的“一题一课”的构建，这些“一题一课”课例十分接地气，笔者基本可以直接拿到课堂上去使用，减少了不少备课的工作量.受到启发，笔者针对九年级教材上的探究问题（抛物线型拱桥问题），也开发了一节“一题一课”，取得较好的教学效果.本文整理该课的教学设计与课件PPT截图，供分享与研讨.

一、教学环节

（一）复习引入，热身练习

以两个顶点在原点的抛物线为问题背景，引入新课.

热身问题：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2与直线y=2交于A、B两点，当AB=2时，求a的值.

预设追问：将该抛物线沿x轴翻折，你能直接看出这个抛物线的解析式吗？若该抛物线与直线y=-3交于C、D两点，求CD的长.

预设课件，动画功能渐次呈现，截图如下（如图1）：

图1

（二）拱桥问题，建模求解

例1有一座抛物线形拱桥（如图2），正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.

问题1：在正常水位的基础上，当水位上升1m时，桥下水面的宽度减少多少？

预设互动：引导学生先独立分析问题后，小组交流，大组展示分享他们求解的思路，特别是学生想到构建平面直角坐标系的方法之后，就是生活问题的有效建模，构建坐标系的技巧也需要深入追问.让学生在追问后展示自己的思维.追问过程中注意引导不同学生参与问题的理解，使他们加深对问题的理解.教师在点评时注意对从生活问题向数学问题的数学化过程作出评析，并在此基础上，把数学建模的方法揭示出来，以进一步排除干扰，凸显问题的本质.这里也把渐次呈现的PPT截图两屏，供分享（如图3和图4）.

图2

图3

图4

问题2：为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行？

预设互动：首先要求学生独立思考，圈点关键词句，对应到构建好的直角坐标系上的图像，思考问题的目标或求解方向，然后小组交流，最后大组展示，安排相关学生到讲台上讲解思路，并接触教师的答辩与追问，引导其他学生参与解答.这一环节预设下面的PPT，截图如下（如图5）.

图5

同类练习：图6是抛物线型拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

设计意图：该题只是简单变换了数据，要求学生自主构建坐标系，对应上面例1的“问题2”的求解思路.在该题练习之后适当小结这类生活问题的求解流程：理解题意→选择模型→简化求解→回到情境.

（三）拓展挑战，建模应用

例2如图7，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边DA、AB、BC围成，隧道最大高度为4.9米，AB=10米，BC=2.4米，若有一辆高为4米、宽为2米的集装箱的汽车要通过隧道，为了使箱顶不碰到隧道顶部，又不违反交通规则（汽车应靠道路右侧行驶，不能超过道路中线），汽车的右侧必须离开隧道右壁几米？

预设互动：这里在括号内的要求需要向学生解释，防止有些学生不熟悉相关行驶规则.同时还要向学生解释作为一道数学试题，强调该集装箱的特殊要求也是为了训练二次函数相关性质的应用，不必严格对应生活常识.在学生思考之后，安排学生讲解他们的思考，并渐次呈现PPT（如图8），思路贯通之后提出有没有其他的思考方式，即不同的建系方式（比如以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴）.

图7

例3如图9，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的

那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？

预设互动：这是一道很多教辅资料上盛行的习题，题中明确指出了所谓绳子下垂呈抛物线形，故可以选用抛物线模型，近似求解.我们教学预设了三种不同的建系方式，截图如下（如图10），安排学生选择其中一种建“系”方式解答问题.

图8

图9

图10

（四）文化“链”接

由该题的绳子形状想到数学史上的悬链线问题.链接到达·芬奇对于悬链线的思考，并链接到两位伯努利对该问题的思考与成就（预设PPT截图，如图11）.

图11

预设解说：达芬奇去世170年之后，久负盛名的（瑞士）雅各布·伯努利工作“一年之久”试图确定悬链线性质（即抛物线方程），然而却被他弟弟约翰·伯努利，率先解出这道难题，而且仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”.

二、教学立意的进一步解读

1.重视教材“探究问题”的课例研发

同行们应该知道，本文课例中所关注的抛物线型拱桥问题在不同版本的教材上都能找到原型.如果仅仅将其当成一道例题讲评一下，最多15分钟就能完成，但是对这类问题的结构、解法，特别是解题背后体现出的建模思想、建“系”技巧都没有达到深刻理解的教学高度.这也是我们重视教材“探究问题”课例研发的教学追求.

2.通过系列变式，促进学生做一题、会一类、通一片

在本节课中的例题探究环节，不仅直接出示问题，重要的是通过系列变式，使得问题的铺垫功能得到充分发挥.比如教学环节（一），热身练习中所训练的解读抛物线解析式和相关线段长的问题，都对应着后续例题中的求解本质.例题中的不同设问，也体现着“正、反”设问的命题策略.最后的拓展探索题，需要灵活建“系”，“近似”求解，关于“近似”求解，在最后的“链”接文化环节，作了进一步说明，使得高层次学生辨明数学中的精确性与“近似值”之间的关系.

1.周红娟.开放与放开：概念生成与例题变式的教学追求——从“三角形内角和”教学说起［J］.中学数学（下），2016（8）.

2.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

3.郑毓信.善于举例［J］.人民教育，2008（18）.

4.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

5.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.Z