中学生数学问题解决的表征研究*

☉江苏省盐城中学教育集团张卫明

中学生数学问题解决的表征研究*

☉江苏省盐城中学教育集团张卫明

一、问题的提出

哈尔莫斯指出，问题是数学的心脏.美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中认为“学习数学的主要目的在于问题解决”，并且把解决问题能力列为十项基本技能之首.我国《全日制义务教育数学课程标准》也明确要求数学课程的学习应注重发展能力，包括解决问题的能力.因而学习怎样解决问题是学习数学的根本原因，培养和提高学生分析、解决问题的能力就成为中学数学教学的首要任务.在数学问题解决的研究领域，自二十世纪八十年代以来，安德森等人对知识分类的研究取得了丰富的成果，人们开始以数学学科知识为例构建问题表征理论和数学问题解决研究，从而为数学问题解决的表征研究提供理论依据.

二、数学问题表征与数学问题解决

表征即信息在头脑中的呈现方式，它既是客观事物的反映，也是被加工的客体.数学问题表征是指解题者根据数学问题的相关信息和已有的知识经验，破译数学问题的结构因子，建构数学问题自由空间的过程.问题表征既是对问题的理解和内化的一种过程，也是对问题理解的一种结果.而数学问题解决，其“问题”一般是指解题者初次遇到的问题，整个问题解决的过程具有目的明确的特点.美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中把其定义为“将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程”，当前国内数学教育界普遍认为数学问题解决是指“综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题”.由此可见，数学问题表征是贯穿数学问题解决的一个动态过程，它涵盖了从呈现问题到解决问题的全过程.

三、数学问题解决的表征研究

要想解决问题首先要做到理解问题，即进行合理的表征，其实质是对一个问题进行信息提取、组织、加工、分析、表达的过程，数学问题表征对于数学问题解决来说具有很重要的作用，是问题解决活动的一个中心环节，贯穿了数学问题解决的全过程，它可以说明问题是如何在脑中呈现的.数学问题解决的第一步就是对问题进行表征，确定问题究竟是什么.一旦采取合理方式表征问题，就形成了一个良好的问题空间，问题的解决就开了一个好头.学生在数学问题解决的过程中，根据自身所积累的数学经验或生活经验来表征数学问题.然而问题解决能力较差的学生对数学问题解决的过程中缺乏建立适宜的、科学的表征能力，也因此影响数学问题的有效解决.

新课程标准的理念要求数学教师着力培养和发展学生的数学解题能力，其对学生搜集和处理信息的能力、数学思维的能力、迁移能力及创新能力的培养也有重要的影响.数学解题能力是指对已经提出的问题进行解答的能力，解答数学问题依赖于解题者的知识基础和解题经验.学生应用知识解决问题能力的高低不仅与贮存知识的数量有关，还与贮存知识的概括程度、索引方式、相互关联度等可有效利用的属性有关.因此培养学生的问题解决能力势在必行.由于中学生数学问题解决能力与问题表征过程有着密切的联系，现结合相关理论和解题实践，从问题表征的角度提出中学生数学问题解决能力提高的建议，以飨读者.

1.建立良好认知结构，疏通信息感知渠道

一般而言，我们解决一道数学题，第一件事应该了解这是道什么题？它是什么形式，属于何种类型.解题中要充分理清条件的指向性和结论的隐藏性、迷惑性，在纷繁复杂的信息中，看条件特殊、看转化结论、看过程沟通，以寻求最有用、最有价值的信息.［1］即我们应先根据题目的条件和结论进行类型识别，解决这个数学问题必须理解这个数学问题，即先要对它进行表征.再通过差异分析和题目信息的转换、活用等思维活动，结合相应类型的数学问题解决模式，就容易找到解决问题的切入点.

问题解决者对问题采取什么样的表征方式，这很依赖于个体不同的知识经验.因此，数学问题教学中必须夯实学生基础，加强基础知识和基本技能的培养，帮助学生建立良好的认知结构，在讲解例题的过程中，应注重师生、生生之间的多向交流、讨论，深入剖析例题所蕴含的数学思想方法，引导学生尝试从多种角度对问题进行不同表征，使问题表征正确、恰当、灵活，疏通问题信息感知渠道.由于数学表征对完善学生的数学的认知结构有积极的影响，在教学中应有意识地教会学生在解决问题的过程中学会主动观察、思考、归纳、总结，引导学生从多种角度对同一问题进行不同表征.

案例1如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.［2］

（1）求∠AED的度数；

（2）求证：AB=BC；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°.求的值.

图1

图2

在同一问题的解决过程中，鼓励学生用适合自己且科学合理的方法表征并解决问题，从而在群体中尽可能出现多样化的问题解决方法.现以第（3）问为例介绍以下几种解题策略.

分析1：利用的背景知识为：运用全等与相似论证初中几何中常遇到证明线段或角之间关系的问题.可以有如下解题思路.

思路1：如图3，延长BF交AD的延长线于点G，由∠G=∠GBC=30°，∠GAB=90°，可知BG=2AB，从而得到FG=BF.易证△DGF≌△CBF，所以DF=CF.

图3

图4

思路2：如图4，在BC上截取BH=AD，连接FH，易证△ADF≌△BHF，△FHC为等腰三角形，从而得到DF= FH=CF.

在思路1、思路2中，问题表征的方式不一样，有利于突出学生不同的思维水平，培养思维的发散性和创造性，从而提高解决问题的能力.

分析2：利用的背景知识为：把直观图形与抽象的数学语言结合起来，通过对图形的认识、数形的转化，构造函数，使问题化难为易，最终使问题获解.

思路3：建立如图5所示的直角坐标系，设AB=BC=a，则C（a，0），A（0，a）.

图5

由上可见，在问题的感知中，往往需要问题表征的参与，把感知到的对象特征和关系进行适当的表征，有利于从背景中清晰地分离出特定的对象和关系.信息感知渠道是否通畅可反映出问题解决者的知识背景和表征水平及能力.只有建立良好的知识结构，才能使整个解题过程不陷于僵化的程式.

2.加强解题过程监控，提高数学表征能力

数学解题监控，就是指解题者（学生）在解题过程中进行监测、控制的过程.［3］数学表征是指用数学工具适当地表示数学对象的结构，用程序表示思考步骤，用图表表示整体结构，用数、符号、式子精细表示对象之间的数量关系.在表示问题结构中，始终记住问题的目标任务，以任务导向问题的表征和表征方式的变化，是引导学生进行有向多元的数学表征的重要策略.在数学问题解决中，学生要理解题意，区分问题中的有关信息和无关信息，把握相关信息，拟定解题方案，利用数学概念、图像、公式、表达式等表征问题.在数学问题解决的初始状态到数学问题解决的目标状态，解题者在解题监控的作用下，数学表征能力得到进一步提高.

在研究中发现，很多学生解题出现错误，原因就是解题缺乏有效的监控.解题教学中，教师要善于运用数学教学中的错误资源有意识地培养学生在解题时的监控能力.可让学生有解题的计划性，预测解题的方法与结果的相关性.

案例2已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？老师请学生画图表示并回答解题思路.［4］

生1：如图6，连接AO.因为OE=

OF，所以AO平分∠BOC.又OB=OC，

可证得△AOB≌△AOC.所以AB=

AC.

师：AO平分∠BOC，为什么

△AOB≌△AOC？

生1：（理所当然地）两边及一角

对应相等的两个三角形全等呀！

生2：不对，你错用三角形全等的判定方法了.实际上可先说明△EOB≌△FOC得到BE=CF，再由△EOA≌△FOA得到AE=AF，这样就能说明AB=AC了！

师：（缓缓地）这个方法很简明啊……

生3：（迫不及待地）我觉得他们的画图不全面，还有不同的情况！

（“一石激起千层浪”，学生恍然大悟）

师：很好！那么还有其他的什么情况？

生4：如图6，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC，但是显然AB=AC不成立.

（大家纷纷向生4赞赏的目光）

师：不错！这就告诉我们，数学是一门非常严谨的学科，平时考虑数学问题一定要全面、细致……

数学解题过程中，学生经常出现错误是正常的.加强解题过程的监控，及时地纠正错误.让学生深刻地理解和掌握基本知识、基本技能、基本活动经验、基本思想方法，提高分析、解决问题的能力.此案例中，学生认为，反映了学生的直觉思维水平.但一些学生仅仅依靠直觉，误用三角形全等的判定方法，还有部分学生受思维定势的影响，考虑问题不全面，思维缺乏缜密性和批判性.实践证明，加强问题解决的监控，不仅可以促使学生在解题时对问题表征形成合理直觉（顿悟），还能有效地提高学生对问题深层次理解的能力.

图6

3.突出数学解题思想，提升方法表征能力

现代解题理论指出：数学思想方法是数学知识的精髓，数学解题的过程是数学思想方法得以运用的过程.可以这样说，抓住了数学思想方法就是主宰了数学教育的生命.数学思想的形成与否，关键不是会解某道题，而是会解决某类题，关键是在举一反三、触类旁通的基础上能形成解决不同知识点、不同题型的思维规律.这需要解题者在数学学习方面不仅学好概念、公式、法则等内容，而且要能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自身的解题经验和知识结构，提高解决问题的能力.

数学思想方法与数学自身的发展是相辅相成的，作为问题解决来说更是离不开它们.解决一个问题总是要采用一定的方法，更一般地说，解决一类问题的方法也许是一种“思想之树”的结果.采用以形先导、数形结合等方式表征数学问题是进行数学问题的合理表征和表征转换的有效方法.因此，在解题教学中，教师一定要揭示数学的思想方法，使这种潜在的知识发挥其自身的功能.

案例3已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=x2+2x+5（x＞-1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.

分析：利用的知识背景为：构造特殊的平方式并且利用平方的非负性证得基本不等式，再由配方法将问题转化为可利用基本不等式求解的形式.

我们知道配方法的基本特征［5］：（1）配方目标有明确性.配方有一个明确而具体的思维指向——出现平方式.（2）配方途径有多向性.同一个式子可以有不同的配方结果，可以配成一个或多个完全平方式.（3）配方对象有多样性.数、字母、具体的数学式、抽象的函数关系等进行配方.（4）配方使用有多重性.配方可以并列地多次使用，也可以连续地重复使用.（5）配方应用有广泛性.无论是初等数学还是高等数学、是代数还是几何、是相等关系还是不等关系、是求值还是证明、是连续还是离散问题、是简单的整数还是抽象的解析式，都能用到配方法.可见，配方法以一种方法为主线，能够解决不同领域的问题.教师有意识地渗透、传授数学思想方法，学生就可获得大量的关于解决数学问题的一般和特殊的策略性知识.数学建模、转化、数形结合、分类、特殊到一般等这些数学思想不仅是解决数学问题的基本手段，也是数学问题表征的高层次表现.教学中只有突出数学思想，明晰各种方法，学生的问题表征能力才更具有灵活性、深刻性.

案例4若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+ 5=0，则的值是（）.

分析：利用的知识背景为：通过观察、分析，发现两个方程之间的联系，将其转化为一元二次方程根与系数的关系进行求解.

思路：根据5a2+2002a+9=0，等式两边同除以a2得5+0，可知，b（根据ab≠1知≠b）是一元二次方程9x2+ 2002x+5=0的两个解，由一元二次方程根与系数的关系得=，即=，故答案为A.

这道题难点之一是个体如何根据自己已有的知识经验将等式5a2+2002a+9=0和9b2+2002b+5=0创造性地建立应有的联系.这对解题者来讲是一种考验，解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的一个合适的内在表征，能否学会用数学思想方法对解题的调节点先进行分析和监控便显得尤为重要.在解题分析中，将不熟悉的类型转化为熟悉的类型，将费解的类型“肢解”成一个个熟悉的小问题或不断地揭示问题的深层结构，运用数学思想方法调节.如本例中消参时转化思想的运用，题目中的某些条件与其本人已有的认识结构发生联系和碰撞，从而此刻“问题空间”向着成功的方向转化，体现解题者知识与经验之间的相互沟通能力.

4.注重应用意识培养，增强情境表征能力

实际问题是错综复杂的，问题解决的表征，不必要寻求一种固定的模式.比如，学习“相似”时，让学生领悟到勾股章中的邑方、杠杆原理、焦距等与相似有着十分密切联系的知识.学习“图形的变化”时，让学生研究有趣的“费马点”问题，了解它在自来水或煤气管道线路设计等方面有着很大的作用.让学生体会数学源于生活并指导生活.

案例5某天股票A的价格比股票B高，但不到股票B的2倍.第二天股市大跌，两只股票双双涨停（即都比前一天上涨了10%）.问：现在股票A的价格仍比股票B的价格高但低于两倍吗？请说明理由.如果每只股票各涨2元呢？

分析：利用的知识背景为：将实际生活中股票的涨跌问题转化为一元一次不等式的求解.

思路：设A，B股票价格分别设为x，y元，由题意知x＞y且x＜2y，第二天各上涨10%后，股票A的价格为1.1x元，股票B的价格为1.1y元.根据不等式的性质3可知1.1x＞1.1y，1.1x＜2.2y，即股票A的价格仍比股票B高，但低于两倍.若各上涨2元，则股票A的价格为（x-2）元，股票B的价格为（y+2）元，由不等式的性质2可知x+2＞y+2，x+2＜2y+2＜2（y+2），即上涨2元后股票A仍比股票B高，且仍不到股票B的两倍.

这道题将实际问题“数学化”，主要考查学生的问题表征能力及建模能力，根据已知条件进行合理表征并建立不等式模型是解决该题的关键.数学课堂情境问题的设计，教师以学生为中心，从学生身心发展特点出发，借助于现实的、有意义的、富有挑战性的材料和手段，创设有利于学习者的学习情境，能使表征研究材料更加生活化，使学习者更加积极地自主探究、合作交流去发现和建构知识网络.情境形象富有真切感，但也不是对现实物体的复制，而以其他手法获得与现实物体在结构上对应的形象，从而让学生有真实的感觉，有利于实现数学问题研究的生态化，增强学生的情境表征能力，和谐地去实现教学目标.

四、结束语

长期以来，我国的数学教育一直存在“题海战术”的现象，虽然许多老师在教育实践领域中努力纠正这一现象，但这一现象始终没有得到有效解决.进行中学生问题解决表征研究，在一定程度上将数学教育内部效度与外部效度较好地统一起来，从而为中学数学教育教学改革提供有益的启示，为数学素质教育开辟一条新途径，这显然具有重要的现实意义和深远的历史意义.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.张卫明.重视“空间与图形”问题解决的多样化［J］.中学数学教学参考（中），2010（9）.

3.喻平.数学学习心理的CPFS结构理论［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

4.张文娟.对解题教学有效性的思考［J］.中学数学教学参考（中），2012（7）.

5.罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.H

*本文是江苏省教育科学“十二五”规划课题“基于协同学理论的情境问题串数学课堂教学模式”（课题批准号：B-b/2015/02/ 258）的阶段性成果.