一道几何新定义中考题的命制思考

☉浙江衢州市衢江区杜泽镇初级中学徐建兵

一道几何新定义中考题的命制思考

☉浙江衢州市衢江区杜泽镇初级中学徐建兵

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）2011版》（以下简称《标准》，指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.在此背景下出现了一种“几何新定义”热门题型，它在近年中考中层出不穷.图形新定义是几何新定义题型中的一种，通常是根据图形的特征给出一个考生从未接触的新概念，要求考生现学现用，其目的在于考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，考查学生自主学习、主动探究的品质，此类题型集应用性、探索性和开放性于一体，体现几何考查的核心素养：观察、实验、猜想、证明.笔者有幸参加了衢州市2016年中考试卷命题工作，在此与大家分享.

一、原题呈现

温馨提示：可通过画一画、量一量、算一算等方法,思考后作出猜想.

题目：（2016·衢州第23题）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问：四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.

（2）性质探究：探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系，猜想结论：_________（要求用文字语言叙述），写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）.

图1

图2

图3

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BG、CE、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长.

二、命制过程

1.选图定形

新定义中的图形在具有一定的特殊性的同时还需要有一定的公平性，这是中考几何新定义题型选图的基本原则.对角线互相垂直的四边形是四边形里面比较特殊的一种，它源于课本、高于课本，由于它对角线垂直这一特殊性可以产生许多它独有的特性，如面积等于对角线乘积的一半、四边中点围成的四边形是矩形，还有两组对边的平方和相等等，具有一定的研究价值.这种图形在衢州市2016年适性应练习的第六份第23题出现过，研究的是面积等于对角线乘积的一半和四边中点围成的四边形是矩形这两个特殊性，所有考生都熟悉，在选择图形方面具有一定的公平性.让学生根据定义去探索两组对边的平方和相等这一性质是学生创新思维的体现，考查学生的几何核心素养.

2.立意定题

由概念的理解到性质的探究和应用是几何图形概念教学的一个过程，抓住这种四边形对角线垂直中“垂”的特性，新定义为“垂美四边形”.依据几何教学中概念教学的基本环节，命题组给出问题的顺序：定义→判定→应用，因此命题组设问的思路也依“识别→探究→应用”之序展开，这样更能体现几何考查的核心素养：观察、实验、猜想、证明.命题组针对概念理解进行设问：“（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问：四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；”因第（1）问中的图形是一种含有邻边相等的对称特殊“垂美四边形”，为防止学生在探求性质时产生误导，本题在下定义时给出了一个普通的“垂美四边形”（如图1）.命题组针对两组对边平方和相等的性质探究进行问题设置，初稿定为“探索垂美四边形ABCD四边的数量关系，写出证明过程”.这是一个从猜想结论到推理的过程，考虑到这样设问方向性不够明确，难度太大，命题组进行了修改，定稿为“探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系，猜想结论：________（要求用文字语言叙述），写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）”.这样指向性明确，有利于学生发现这一性质，同时要求学生用文字语言进行叙述又体现了考查学生符号语言与文字语言的相互转化.第（3）问是综合应用，命题组希望这一问能包含基本技能的考查，想由图2直接延展出去，但因图2是一种特殊的垂美四边形，难以把本性质应用起来，命题组转换命题思路，想到图形中最为基本的旋转变换，利用三角形的旋转构造图4所示的模型，在四边形ABCD内有一点F，构造三个等腰直角三角形△ABF、△CDF和△BCF，已知BC=2，求AD的长，这和预设的技能有一定差距，命题组想到把等腰直角三角形补充成正方形（如图5）.命题组研究发现可借助直角三角形的性质把各种关系联系成一体，并且突出了第（2）问中探究的性质，因此决定把△ABC变成直角三角形（如图6），命制出问题（3）：“分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BG、CE、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长.”这样使得第（3）问更加丰满，学生通过构造并利用垂美四边形的性质解决问题，把全等三角形、直角三角形和正方形等知识围绕着垂美四边形性质的应用有机结合在一起.

图4

图5

图6

三、解题分析

此类题型的破题策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义的核心，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过猜想、归纳、探索、推理，发现解题方法，然后解决问题.

1.概念理解抓关键

第（1）问的破题关键是概念中的核心“对角线互相垂直”，因此解题思路是要设法去证明所给四边形对角线互相垂直，启发引导学生连接AC和BD，可以由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到A、C两点都在BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，得到AC⊥BD，完成本小题的证明.本题证明方法多样，让不同思维的学生有展示自我的空间，但最终推理都需要回到对角线互相垂直这一概念的核心上，才能加以解决.

2.定义核心探性质

第（2）问性质的探究，在寻找垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系性质探究中，首先学生考虑的是对边之和相等这一猜想，通过图1中对边长度的测量和计算，发现不成立，通过画一画、量一量、算一算等方法对自己的猜想进行一一排除，使学生产生困惑，引导学生回归概念，分析定义的核心对角线互相垂直与结论之间的关系，让学产生“垂直与边长”的知识间的联想，想到勾股定理的知识，尝试连接对角线AC、BD相交于点O，利用勾股定理分别表示出四个直角三角形三边的数量关系：①AB2=OA2+OB2，②BC2=OB2+ OC2，③CD2=OC2+OD2，④AD2=OA2+OD2.对这四个式子进行对比研究，结合两组对边AB、CD与BC、AD之间的关系，想到AB2+CD2=BC2+AD2，再把符号语言转化为文字语言，即两组对边的平方和相等.

3.应用性质解问题

如图7，直观发现BG⊥CE，引发学生创造性地连接CG和BE构造垂美四边形，在这个四边形中，三边长BC=3，CG=4，BE=5，根据垂美四边形两组对边平方和相等的性质求得这是本题解决问题的常规思路，也是命题者的意图，实则本题还有其他解法.本题构题的核心是旋转变化，因此可如图8所示将Rt△ACB绕点A顺时针方向旋转90°得Rt△AEC′，这样就构造新的Rt△GEC′，根据勾股定理GE2=C′G2+C′E2=64+9=73，得EG=，这样可以给不同思维的学生不同的展示舞台.

图7

四、类比思考

在2016年浙江省各市的中考试题中，除了衢州地区，还有多个地区出现了几何新定义型题目.

题1：（2016·舟山第23题）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”.

（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子.

（2）问题探究：如图8，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC、BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由.

图8

图9

图10

（3）应用拓展：如图9，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角a（0°＜∠a＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图10），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

题2：（2016·台州第23题）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.

（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围.

（2）如图11，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕分别为DG、DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形.

图11

（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB= CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长.

【思考】这两题与衢州卷第23题类似，给出的概念非常简洁，题1是2015年舟山中考“等邻边四边形”的变迁题,虽然图形只差一个字，但考查的知识点截然不同，这也是新定义几何题的妙处之一.题2则主要从概念理解与特殊性探究上进行设问，但破题的关键都在概念的核心上.题2中第（1）问为第（3）问作了铺垫作用,根据（1）问中的范围分别从锐角、钝角和直角进行分类研究.

题3：（2016·宁波第25题）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线.

（1）如图12，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

图12

图13

【思考】与以上几题相比，本题定义相对比较复杂，需要学生有一定的阅读能力，需要学生认真阅读定义，运用相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键还是概念的理解.

五、题后感悟

从以上2016年浙江4个地区同一年出现几何新定义题型可以看出这种题型的热门程度，此类型题要求学生不仅要从语义上阅读理解每一个句子的含义，更需要深层次挖掘定义的核心，需要学生有一定的阅读能力.同时在性质的探究上，要求学生能进行猜想、归纳、探索、推理，要有合情推理和演绎推理能力，要求学生有较高的自主学习与创新能力，在性质的应用方面，需要学生有一定的综合应用能力，找到知识之间的相互联系，通过转化解决问题.“新定义”题型主要是对学生综合应用和灵活迁移能力的一种检测.对于这类新型题，学生应仔细阅读材料，找出相关信息，正确理解定义，并结合所学知识进行探索、归纳和推理，从而发现解题方法，最终灵活解决问题.因此在课堂教学中应注意以下几点.

1.培养学生的阅读能力

阅读能力是自学能力和审题能力的表现，是解决问题的基本保障.对于新定义题，需要仔细阅读，理解新定义的核心和内涵.许多学生解题错误的原因是对题意理解有偏差，而数学学得好的学生，其阅读理解能力要比一般学生强，他们读得明白，理解准确.因此，教师在教学中应重视对学生数学阅读理解能力的培养.

2.学会知识之间的迁移

几何新定义题在结构上有很多的相似之处，包括概念的理念、性质的探究和应用等方面，因此要解决此类题型，需要学生学会对所学知识的再迁移.在教学中，教师不但要教给学生基础知识、基本技能，还要注意培养学生的知识迁移能力.迁移能力是指在学习者已有认知结构中，对所要学习的新知识的一种接受.有了接受，必然就有反馈.反馈，简单地说就是现学现用的能力.依托学生的已有知识和生活经验，为学生自觉接受新知识提供一个切入点，使新知识的生成与发展基于学生熟悉的某个情境，为学生的实践运用与后续学习奠定基础.

3.注重几何直观能力的培养

有人把直觉思维誉为伟大发现的源泉，足见直觉思维的重要性.直觉思维水平的高低取决于几何直观能力所处的层次.因此，培养学生的几何直观能力成为数学教学的重要任务.所谓“几何直观”，就是借助见到的或想到的图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.几何直观既是一种捕捉图式信息的直观能力，更是一种不讲道理的思维方式，是“从天而降”“突如其来”的顿悟或理解.而这种几何新定义问题的解决离不开几何直观，对于数量关系或位置关系的探究更加需要这种几何直观意识，需要这种灵感，需要善于从图形中直观地去发现内在的联系，完成方法的拓展、延伸与深化.

4.注重数学思想方法的渗透教学

思想方法是对数学知识、方法、规律的一种本质认识，是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化成能力的桥梁.教师在平时的教学中，应该注重数学思想方法的渗透.教学中要在概念、性质、法则、公式、公理、定理的学习过程中适时渗透，让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层的数学思想方法，使学生的思维产生质的飞跃.在平时的教学过程中，我们要引导学生主动参与结论的探索、发现过程，而并非是让学生去机械地记忆问题的结论，让学生在探索过程中亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想方法.数学思想方法具有隐性的特点，它隐于知识内部，它的形成是一个逐步渗透的长期过程，必须以数学问题为载体，经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正有所领悟.

5.注重基本活动经验的经累

《标准》提到：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标.”一个学生的学习成功与否关键不在于他掌握多少知识，而在于他所积累的成功经验，并在所积累的成功经验的基础上所形成的思维方式.以上四个典型考题都是命题者通过新定义一类新图形后，从定义到性质与应用展开，这就需要学生通过自己平时所积累的基本活动经验才能解决.然而，数学基本活动经验不是一朝一夕就能形成的，需要在“做”和“思考”的过程中沉淀，是在数学学习活动中逐步积累的.这就需要教师在平时的教学活动中有意识地进行引导.

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