不走寻常路不一样的精彩——例谈避免分类讨论的解题策略

☉江苏省如皋市搬经中学　季小明

不走寻常路不一样的精彩——例谈避免分类讨论的解题策略

☉江苏省如皋市搬经中学季小明

分类讨论是一种重要的数学思想方法，对于其中有些问题，因为分类讨论论述较长，讨论过程往往十分烦琐，而且容易讨论不完整造成解题失误.但如果我们把学习数学注入“生命”的灵动，注意克服思维定势，力求简化分类讨论甚至避免分类讨论，以求解法的简捷，从而提高解题速度和解题的准确性.因此，我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意如何避免讨论，本文从几个方面论述，避免讨论的对策，以供参考.

一、换个视角更换主元避免分类讨论

在解答有些题目时，若把x看作主元就必须分类讨论，则不妨换个视角，更换主元，结果可能会大不一样，取得较好的效果.

例1已知x为非零实数，且x2-2ax≥0对任意的a∈［-1，1］恒成立，求实数x的取值范围.

分析：常规方法是把x看作主元进行分类讨论，则比较复杂，此时不妨换个视角，更换主元，把a当作主元，则结果大不一样.

解：我们视x2-2ax为关于a的函数，记f（a）=x2-2ax= -2x·a+x2，则对任意的a∈［-1，1］，关于a的一次函数f（a）=x2-2ax=-2x·a+x2的函数值总大于等于零的充要条件是解得x≤-2或x≥2.

因此，实数x的取值范围为x≤-2或x≥2.

点评：此题中，直接视为a的函数，简单便捷，避免了讨论.

二、利用数形结合避免分类讨论

利用数形结合的思想，由函数图像的几何直观性往往可以避免分类讨论.

例2若关于x的不等式|x-1|≤ax（a≠0）的解集为闭区间［m，n］，其中m＜n，求实数m，n∈R的取值范围.

分析：对于此绝对值不等式，常规方法是去绝对值，按x≥1和x＜1讨论，在每一类中解不等式时又要对a进行讨论，过程极其复杂.利用数形结合的思想，由函数图像的几何直观性则可以避免分类讨论，且过程简捷.

解：分别作出函数y=|x-1|和y=ax（a≠0）的图像，如图1所示.

由图像可知，解集为闭区间［m，n］，当且仅当0＜a＜1.

因此，实数a的取值范围为0＜a＜1.

图1　

点评：通过转化为两个熟悉的函数的图像，只需观察图像，平移图像，即可直观得到正确结果.

三、利用函数性质避免分类讨论

在解答有些题目时，若结合函数图像的对称特点可以避免分类讨论.

例3已知f（x）是定义在［-1，1］上的偶函数，且在［0，1］上递增，若f（1+m）＜f（2m），求m的取值范围.

分析：常规方法是根据函数的定义域，1+m，2m∈［-1，1］，但是1+m和2m在［-1，0］，［0，1］的哪个区间内，于是就分类讨论，这样非常复杂.如果注意到偶函数图像的对称性，则可知道偶函数满足f（x）=f（-x）=f（|x|），从而可以避免分类讨论.

解：由于f（x）是定义在［-1，1］上的偶函数，则由其图像的对称性可知偶函数f（x）满足f（x）=f（-x）=f（|x|），从而不等式f（1+m）＜f（2m）可转化为f（|1+m|）＜f（|2m|）.又因为f（x）在［0，1］上递增，则有解得-

点评：只要我们在解题中注意克服思维定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证统一关系，充分挖掘求解函数问题中潜在的特殊性与简单性，往往就能够避免分类讨论，这也是分类讨论的思想方法中数学思维品质的最高层次.

四、利用分离参数避免分类讨论

分离参数是高中数学解题中的重要数学方法，利用分离参数往往能够避免分类讨论，从而使得解题简便，并且提高正确率.

解析：原问题等价于x2+2ax+a＞0在x≥1时恒成立，即，所以只需a＞即可.

例5设f（x）是R上的减函数，且不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

解析：原不等式等价于a2-sinx≥a+1+cos2x对x∈R恒成立，即a2-a≥1+sin+cos2x，令g（x）=1+sinx+cos2x=

点评：上述两例通过分离参数，转化为求最值，避免了对二次函数单调性的讨论.

五、利用正难则反的原则避免分类讨论

当所给出的问题直接解决比较复杂，所讨论的方面较多时，就可以考虑从它的反面，即对立面考虑，最后再取补集.

例6给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集为Ø；命题乙：函数f（x）=（2a2-a）x为增函数.若甲、乙至少有一个是真命题，求实数a的取值范围.

命题乙为真命题时，2a2-a＞1⇒a＞1或a＜

因为甲、乙至少有一个是真命题，其反面为：甲、乙都是假命题.所以当甲、乙都是假命题时，故甲、乙至少有一个是真命题时a的范围为a＞

点评：有些题目正面分类情况较多，而其反面却只有一种情况，这时可从反面入手，避免讨论.

六、运用整体思想避免分类讨论

整体思想是指在宏观上把握问题的实质，不要过分在一些细节问题上纠缠不清，要注意各条件之间的联系，思考问题时要有大局观点.采用整体思想解题常常会收到意想不到的效果.

1.采用整体换元避免分类讨论

分析：常用的方法是分类讨论，解题过程冗长.据题设条件，不妨把z+看作一个整体，则可避免讨论，大大简化解题过程.

综上所述，知z=1±3i，z=3±i.

点评：通过整体换元，寻觅到解题捷径，优化了解题过程，去除了分类讨论，让人拍手叫绝.

2.采用整体变形避免分类讨论