理解综合题立意，预设教学微设计——以2016年江苏宿迁卷第26题为例

☉江苏省南通市通州湾三余中学　施　勤

理解综合题立意，预设教学微设计——以2016年江苏宿迁卷第26题为例

☉江苏省南通市通州湾三余中学施勤

近读《中学数学》（下），发现很多中考压轴题的研究文章都能从解题探讨走向“一题一课”、“教学微设计”等教学思考的方向，这些接地气的文章使对解题教学十分有益，只要稍加利用，制作成课件，就可直接拿到初三复习课、习题课上去教学使用，受此启发，笔者也对一道压轴题开展了教学微设计，并在校内教研课中成功展示，得到同事的好评.本文就是呈现该题的思路及微设计，提供研讨.

一、考题及思路突破

考题（2016年江苏宿迁中考卷第26题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2-1的图像M沿x轴翻折，把所得到的图像向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图像N.

（1）求N的函数表达式；

（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图像M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数.

图1　

图2　

图3　

1.思路突破

（1）先由关于x轴翻折的抛物线解析式变化规律，得翻折后的抛物线的解析式是y=-x2+1，根据抛物线平移规律，容易分析出平移后的抛物线解析式为y=-（x-2）2+ 9，即y=-x2+4x+5.

（2）设问中的PA2+PB2容易想到构造直角三角形，利用勾股定理列式，如图2，连接PA，PB，作PQ⊥AB于点Q，在Rt△PAQ中思考，PA2=（m+1）2+n2.同理在Rt△PBQ中思考，PB2=（1-m）2+n2；于是PA2+PB2=（m+1）2+n2+（1-m）2+ n2，整理得PA2+PB2=2（m2+n2）+2，至此，有一个重要的进展就是OP2=m2+n2，也就是PA2+PB2=2OP2+2.接着的难点就是当OP取得最大值时，PA2+PB2就取得最大值，进而构造图3，当点P位于OC延长线上时，此时OP取得取大值.接着利用OP=OC+PO可计算得所以PA2+PB2的最大值为（3）这一问可以构造相对精准的草图分析，如图4.

图4　

需要画准图形的几个地方，第一，两条抛物线的交点分别是（-1，0），（3，8），这两个交点也是符合要求的；第二，思考当x=0时符合要求的整数点有7个，当x=1时符合要求的整数点有9个，当x=2时符合要求的整数点有7个，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为1+7+9+7+1=25个.

2.解后反思

这道考题的第（2）问有一定的难点，且与前后问题之间缺少必要的关联，根据笔者教学经验，第（2）问要难于第（3）问，因为后者只要精准作图辅之计算验证就可获得解答，对思维的要求并不太高；而第（2）问的主要障碍有如下几点：

难点1：用含m，n的式子表示PA，PB的平方和.

通常都想方设法用一个参数来表示PA，PB的平方和，但对于此题来说，此路难通，即使把高中阶段的圆的解析式（即（m-1）2+（n-4）2=1）利用起来，也难以将PA，PB的平方和用一个参数来表示.

难点2：想到OP2=m2+n2.

当PA，PB的平方和被表示为2（m2+n2）+2后，要及时联系到OP2，这样对于问题获得转化有很大的帮助，是该题的重要进展之一.

难点3：想到点P在OC延长线上.

当问题进展OP最大时，PA，PB的平方和最大时，及时构造出图3进行分析.

二、教学微设计

1.开课阶段

例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y=x2-1沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，继续向上平移8个单位长度，得到抛物线C2.

（1）请指出最后得到的抛物线C2的解析式；

（2）写出抛物线C2的顶点坐标；

（3）求抛物线C2与坐标轴的交点坐标；

（4）设直线x=1与抛物线C1，C2分别交于M，N两点，求线段MN的长.

设计意图：将翻折、平移变换前后的两条抛物线组合起来进行探究，并引导学生辨析抛物线C2与坐标轴的交点，以及直线x=1时求MN的长，对应着原考题的第（3）问.

2.考题探究

例2如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+ 1交x轴于A，B两点.以点C（1，4）为圆心的⊙C与y轴相切.设点P（m，n）为⊙C上一点.

（1）连接OP，用含m，n的式子表示OP2；

（2）连接PA，分析线段PA的最值（包括最大值和最小值）；

（3）设d=PA2+PB2，用含m，n的式子表示d；

（4）在（3）的条件下，分析d的最值（包括最大值和最小值）.

设计意图：这个考题对应原考题的第（2）问，通过增设系列辅助追问，使得难点得到分解和铺垫.而且将原考题中分析d的最大值拓展到分析它的最大值与最小值.

3.拓展思考

例3题干同例2.

（1）当m=1时，求点P的坐标；

（2）当m=2时，若直线PC与抛物线交于D点，求点D的坐标；

（3）若抛物线上有一点Q，连接PC，PQ.

①求PC的最小值；

②求PQ的最小值.

设计意图：受到文2的启发，增设了定点到抛物线上动点到定点的距离探究.使得问题走向拓展，提供高层次学生向上挑战.

4.变式再练

变式再练：如图5，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y=x2-4沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，继续向上平移9个单位长度，得到抛物线C2.

图5　

（1）直接写出抛物线C1与x轴的交点A，B的坐标.

（2）直接写出抛物线C2与坐标轴的交点坐标.

（3）以点M（1，4）为圆心的⊙M与y轴相切.设点P（m，n）为⊙M上一点.

①用含m，n的式子表示PA2+PB2的长；

②分析PA2+PB2的最值（含最大值与最小值）.

（4）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求抛物线C1与C2所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数.

设计意图：首先是对题干上的抛物线解析式的数据、图像上的字母都做了改编，接着是后续系列设问涵盖了前面教学环节中训练到的一些考点.特别是第（3）问关于最大值、最小值的拓展思考，包括第（4）问在变换数据之后，仍然探讨整点问题，都可看成是对原考题的丰富和生长.

三、写在最后

习题课教学到了初三中考复习时，往往是中考题汇编起来的解题教学，一节课中选题常常是“形似”，难有“神似”.想来，针对一道综合题而设计的“一题一课”常常能从“形似”走向“神似”，也是解题教学从繁杂走向简约的一种追求.期待更多的课例跟进，研讨和丰富这个课题方向.

1.郑毓信.多元表征与概念教学［J］.小学数学教育，2011（10）.

2.蒋建东.一道“阶段考题”的思路突破与讲评设计［J］.中学数学（下），2016（5）.