一道试题的解答与探究之旅

☉山东省莒南县岭泉镇初级中学　汲广川

一道试题的解答与探究之旅

☉山东省莒南县岭泉镇初级中学汲广川

一、缘起

题目如图1，在正方形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连接CM，BN，交点为P，连接AP.求证：AP=AB.

图1　

二、问题的解法与探究

分析：此题条件简单明了，结论单一，是学生常见的题型；曾作为八年级期末考试的倒数第二大题，很多学生在解答此题时“折腰”，找不到解题思路.

在九年级复习时，笔者又展示了此题，让学生进行探究、交流.

师：观察图形，你们有什么发现？

学生1：通过条件发现基本图形有正方形，△CDM≌△BCN；结论是证明线段相等，结合图形只要证明∠ABP=∠APB，或者证明线段所在的三角形全等即可.

师：这位同学由结论，想到等腰三角形的判定，想到证明三角形全等，想法非常好，那么由条件“中点”，你们又想到什么？

学生讨论交流展示：

（1）想到倍长中线，构造三角形全等或构造平行四边形；

（2）想到等腰三角形的三线合一；

（3）想到三角形的中位线定理；

（4）想到直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

（5）想到中点坐标公式.

师：通过条件，你们还有什么不同的发现吗？

学生2：CM=BN，CM⊥BN.

学生3：三角形相似.

三、学生展示思路

刘健壮同学展示了两种思路：

思路1：（构造三角形全等和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）如图2，延长CM，BA交于点E，易证△CDM≌△EAM，所以CD=AE.因为CD=AB，所以AB= AE.因为EP⊥BN，所以

图2　

图3　

思路2：如图3，取BC的中点E，连接PE，AE.

因为AD=BC，M是AD中点，所以AM∥CE，AM=CE，所以四边形AMCE是平行四边形.所以AE∥CM.因为BN⊥CM，所以AE⊥BP.因为E是BC中点，所以BE.所以OP=OB，所以AP=AB.

李汶龙同学展示：

思路3：（构造全等三角形和直角三角形中边的数量关系构造线段的垂直平分线）如图4，过点A作AE⊥BP，垂足为E.因为∠ABE+∠CBP=90°，∠CBP+∠BCP=90°，所以∠ABE=∠BCP，易证△ABE≌△BCP（AAS），所以BE=CP.在Rt△BCN中，tan所以所以.所以BE=PE.所以AP=AB.

图4　

图5　

刘健壮同学又给出一种方法：

我是这样想的，如图5，连接BM，易证△MBC是等腰三角形.如果能证明△MBC～△ABP，就能证明AP=AB.

思路4：从图形中易证△BAM≌△BCN（SAS）.所以∠BAM=∠BCN.所以∠ABP=∠MBC.所以△BAM～△BPC.所以即，所以△BAP～△BMC，所以

因为MC=MB，所以AP=AB（构造三角形相似和等腰三角形）.同学们不自觉的鼓掌！

又有一位同学给出了想法：由直角三角形中的数量关系：BC=2CN，若能用正方形的边长表示出AP的长即可.

师生共同分析：构造直角三角形.

思路5：如图6，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB，垂足分别为E、F，因为CP⊥BP，所以∠CPE=∠CBP.因为设CE=a，则PE=2a，BE=4a.所以BC=5a.在Rt△APF中，AF=3a，PF=4a，所以AP=5a.所以AP=AB.

图6　

图7　

最后，教师给出另外两种解法：

思路6：因为∠MAB=∠MPB=90°，以BM为直径作圆（见图7），则点A、P在圆上.所以∠AMB=∠APB，∠DMC=∠ABP.因为△CMD≌△BMA（SAS），所以∠AMB=∠DMC.所以∠APB=∠ABP.所以AP=AB.

思路7：解析法，以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求出直线CM、BN的一次函数解析式，从而求出交点坐标P，进而求出线段AP的长，从而确定AP=AB.

四、解题后的反思

一堂好课的标准是生成的课堂，学生的思维拓展到哪里？是由学生自己决定的，教师不能按照主观的意愿去杜撰学生的思维，过度拓展，这会造成学生理解问题的依赖性，则无法完成独立思考.如何打造生成性的课堂？

1.研究是上课的前提

课堂上学生的只言片语反映的是学生思维的火花，如果没有老师的欣赏，思维的火花将会熄灭，老师只有对题目有很深层次的研究才能发现有价值的东西，才能驾驭好课堂.研究则可避免浅层次的讲解，深入浅出则是一种理想境界，融会贯通是教师研究的必然结果.

一堂课，一道题的研究真正透彻了，学生的灵性才能彰显出来.

2.交流是思维延伸的有效途径

有很多题目老师讲的太早了，一场及时雨没下到点上，学生心中的困惑还没产生，我们就绑架了学生的思维.聆听是一种美德，更是一种功德，我们要做这种功德.其实“不愤不启”离我们很远.我们的课堂有时是在剥夺学生的思考.教师在讲解之前要让学生去交流，其交流促进学生的思考，找到困惑，教师通过聆听才能“有的放矢”地点拨或讲解.学生在课堂上的各种表达，使我们受益匪浅.原来我们只是熟悉自己的解法，多少年来我们一直沿用的解法如果和学生的想法比一比，才知道有多大差距.当我们佩服自己学生的想法时，我们教育的结果就成形了.课堂是大智慧的产生地，我们的收获不比学生少！

3.交流是需要培养的，而不是读解题步骤，更不是对答案

（1）表达能力的培养.学生明白说什么，怎么说，怎样展示自己的思考过程，都需要培养.没有深层次的思考就没有深层次的交流.生动的课堂不一定是“思维超市”.

（2）听的培养.表达是思考的结晶，思考则是听的延续.听不限于对方说的哪句话，是听别人的观点，听的目的是让自己的思维得以延续，或者把自己从困惑中“渡”出来.聆听是一种美德，更是一种功德.

（3）拓展是教师终极想法.学生所想的，我们所了解的学情，都是为了拓展做准备的.把一道题的来龙去脉弄清楚，所涉及的知识点想清楚.知识的灵动性是体现在解决问题上，知识的综合是在解决问题的过程中形成的.知识就是力量，是因为利用知识解决了问题才体现出力量的.

一堂课上完，我们没有离开学生的想，学生的思考受到老师的无限引导，思维得到无限拓展……我们有鱼和水的感觉，这一切都是和谐的感应.生成的是美好的.