初等解法解决“涉高问题”——从两道“涉高问题”的解答谈起

☉江苏省如皋市磨头镇磨头初级中学　张兰梅

初等解法解决“涉高问题”——从两道“涉高问题”的解答谈起

☉江苏省如皋市磨头镇磨头初级中学张兰梅

初等解法指利用初中阶段所掌握的知识解决相关问题的方法；“涉高问题”指需要利用高中知识解决或利用高中知识解决起来明显简单易懂的题目.笔者在近期教学实践中发现在部分中考试题中，特别是在一些练习册或习题集中出现了一些涉及高中知识的题目或利用高中知识解决起来思路比较容易贯通的题目；更有少数教师为了提高学生的解题效率，直接补充相关的高中知识，这让笔者陷入了深思，下面结合具体的题目给出一些思考，不当之处，敬请指正.

一、教学案例

案例1如图1，直线y= x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于和B（4，m）两点，P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C.

图1　

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AB下方的抛物线上，是否存在这样的点Q，使得点Q到线段AB的距离最远？若存在，请求出这个最远距离；若不存在，请说明理由.

解析：（1）y=2x2-8x+6.（过程略）（2）①当点P为直角顶点时，∠APC=45°≠90°，舍去.②当点C为直角顶点时，显然点C与点A关于二次函数的对称轴x=2对称，易得点C的坐标为所以点P的坐标为

③当点A为直角顶点时，此时过点A作直线AB的垂线交x轴于点D，过点A作AE垂直于x轴（如图2），易得△AEF～△DEA，所以AE2=EF·ED.

图2　

图3　

反思：上述问题由于直角顶点不确定，因此需要分类讨论.在分类讨论的③中涉及了两直线垂直的情况，作为教师容易想到的就是利用高中知识（两直线垂直且斜率存在时，两直线斜率的乘积为-1），甚至在教学过程中也给学生灌输这种方法，显然这种做法是不合适的.上述问题在解决过程中，用初中知识也是非常容易解决的，只需要构造如图3所示的基本图形即可，需要注意的是点D一般为与坐标轴的交点，然后利用初中阶段的核心知识（相似三角形）便可以顺利解决这类问题.

（3）过点P作PQ垂直于x轴，交抛物线于点Q，过点Q作AB的垂线，垂足为M（如图4）.

设点Q的坐标为（n，2n2-8n+6），P点的坐标为（n，n+则PQ=（n+2）-（2n2-8n+6）=-2n2+9n-4=所以当时，PQ取到最大值

图4　

反思：上述问题的求解，对于教师而言最容易想到的是设直线AB的平行直线系，然后与二次函数联立，当判别式为零时（相切），直线与二次函数只有一个交点，此时这个交点即为距离线段AB最远的点.在教学过程中，有的老师也给学生补充了上述解法，殊不知在初中的教学中并不涉及上述知识，显然这种做法是超纲的.事实上，只要将上述问题进行灵活转化即可，即将求线段MQ的最大值转化为求线段PQ的最大值，显然这种做法对学生而言是简洁易懂的，在教学过程中值得提倡，也是对盲目采用高中做法的有利回击.

下面在给出如案例1中第（3）问的类似问题：

图5　

解析：设线段AB所在直线的解析式为y=ax+b，将点A、B的坐标代入得解得所以AB所在直线的解析式为

反思：上述题目的求解过程最容易想到的方法如案例1（3）的反思中所述的方法，殊不知，此时如果应用这种解法，到最后一定要验证切点的横坐标在1≤m≤4这个范围内，前面的计算过程和算理对学生而言已经是很难理解了，如果再加上这一步，这明显超出了初中数学课程标准的要求，更是超出了学生的认知负荷，增加了学生的负担.然而，上述求解过程中却应用反比例函数中|k|的几何意义进行了灵活的转化，学生理解起来，比较容易，最重要的是利用初中阶段的核心知识便可以解决，值得一线教师思考.

二、思考

上述两个教学案例中的“涉高问题”都利用初中阶段的核心知识得以顺利解决，而且整个解题过程看上去比较完美，给人以美的享受.

有的专家提出，在初中阶段的教学中适当地补充高中阶段的知识是可行的，笔者认为这应该是对学有余力的学生而言的，不应该大面积地进行讲解高中阶段的知识.对学有余力的学生适当补充高中阶段的知识也应该注意“度”的把握，不应该将高中阶段的知识简单下放，只告诉学生“结果”，而没有“过程性”的讲解；只让学生简单的模仿，而不能融会贯通，理解其本质，就上述两个案例中所涉及的高中知识而言，真正使学生理解，即使是优生，也是非常困难的.因此，在初中阶段的教学过程中不应该简单地将高中的知识下放，而应该利用初中阶段的知识，特别是核心知识进行解决.

上述案例只是其中的一部分，欢迎更多的老师参与进来，引起更多一线教师的积极思考和积极转变.