如何有效阅读数学课本——从一元二次方程根的判别式和根与系数的关系谈起

☉江苏省扬州市邗江区蒋王中学　祝　剑

如何有效阅读数学课本——从一元二次方程根的判别式和根与系数的关系谈起

☉江苏省扬州市邗江区蒋王中学祝剑

现代教育倡导自主性学习和研究性学习，坚信能力是练出来的，尤其是对于数学课本的把握，更应该从精细处入手进行研究，其目的就是为了培养学生良好的阅读与思考习惯.教师往往可以用课前的一段时间让学生展开必要的阅读，如在课前10分钟，在科任老师和科代表的指导下，阅读课文、定理、定理证明、例题、解题过程……这样，在课堂上，学生就更能够聚精会神听老师讲课，深入思考和积极回答问题，为提高学习效率服务.另外，课后，教师也能指导学生进行数学阅读，让阅读和能力提升持续化，下面笔者以一元二次方程中的经典教学片断为例，介绍如何进行数学阅读能力的训练和培养.

一、从教材中寻找难点，突破重点

案例1：一元二次方程根的判别式，苏科版教材.

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），用配方法可以将其变形为：

因为a≠0，所以4a2＞0.于是：

（1）当b2-4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根，即

（2）当b2-4ac=0时，方程①的右端为0，因此，原方程有两个等的实数根，即

（3）当b2-4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于0，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.

综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有：

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.

（1）x2-3x+3=0；（2）x2-ax-1=0；（3）x2-ax+（a-1）=0；（4）x2-2x+a=0.

解：（1）Δ=32-4×1×3=-3＜0，则方程没有实数根.

（2）该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×（-1）=a2+4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根，即

（3）该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×（a-1）=a2-4a+ 4=（a-2）2.

①当a=2时，Δ=0，所以方程有两个相等的实数根，即x1=x2=1；

②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=a-1.

（3）该方程的根的判别式Δ=22-4×1×a=4-4a=4（1-a）.

①当Δ＞0，即4（1-a）＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根，即

②当Δ=0，即a=1时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根.

对于这一段经典的内容，有经验的教师，往往会让学生进行自学和阅读，大家普遍感觉，课上讲评的效果不一定有自己阅读消化以后接受起来好.在新课开始之前，可以先进行课本的阅读，先对课本内容有所熟悉，在初步了解了课本内容以后，便于作好上课的准备工作，防止出现盲目的情况，不要教师说什么就是什么，不经过大脑思考，这样的效果是非常不理想的.于是，不如就把上课的时间分一部分出来让学生进行阅读和思考，阅读过程中，对数学教材应当进行深入阅读和理解，尽自己所能能算的亲手算一下，也可以用勾画圈点的方式注明重点和难点，提出自己的疑问，把没有读懂的问题记下来，作为听课的重点.如教材中涉及的这部分内容中，有一个难点，即在第3、4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化.遇到这一问题，我们不妨对a的取值情况进行分类讨论，分不同的情况对问题进行深入研究和探索.

二、抓住课本的关键点，对症下药

下面再来看一元二次方程根与系数的关系.

案例2：一元二次方程根与系数的关系，苏科版教材.

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根：所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是x1、x2，那么x1+.这一关系也被称为韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+ px+q=0，若x1、x2是其两根，由韦达定理可知x1+x2=-p，x1x2=q，即p=-（x1+x2），q=x1x2.所以，方程x2+px+q=0可化为x2-（x1+x2）x+x1x2=0.由于x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，x1、x2也是一元二次方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0.因此有：以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.

例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.

解法1：由2是方程的一个根，得5×22+k×2-6=0，则k=-7.

所以，方程为5x2-7x-6=0，解得

解法2：设方程的另一个根为x1，则则

对于根与系数的关系，现在很多教材都已经放在了选学内容中，从一定程度上来说也是让学生自己进行学习，从而提高学生的阅读和理解能力.所有的人，学习的知识都会发生先快后慢的遗忘过程.一些记性好的学生是因为能经常从不同的角度、不同的层次上进行复习，做到“每天有复习，每周有小结，每章有总结”，从而形成了惊人的记忆力.从这个意义上来说，不仅要重视课前的自我阅读，也要注重课后复习过程中的数学阅读过程，而有效的阅读才能促进学生数学能力的形成和发展.数学课堂教学是师生互动、生生互动、共同发展的过程.在新课程理念下的课堂教学中，学生的学习是在新课的导入与基本功训练，新知形成，能力的提高，独立作业的过程中完成的，既要培养学生的学习情感、学习动机、学习态度，又要锻炼学生的观察力、注意力、想象力、意志力，还要提高学生的动手操作能力和完成口头作业、书面作业、实践作业的能力.这正好符合新课程的一个重要理念：为学生提供“阅读”数学的机会，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学，这就要求教师对不同的要求采取不同的方式和方法.

三、从实践入手，切实加强课本阅读训练

从广泛的实践可以看到，让学生不断地在教师的指导下，进行有效的数学课本的阅读训练，是提高学生数学能力的一种有效方法.

近年来，数学阅读已越来越受到教师的关注，但如何指导学生进行阅读，进而在阅读中培养学生的学习能力方面的教学案例还是不多的.从两个案例可以看出，在阅读过程中，应引导学生独立阅读课本中的经典内容，然后进行小组讨论归纳学习内容，明确教学任务中的重点和难点，进而有效抓住重、难点进行分析和阅读，让学生从阅读中领会知识的来龙去脉，逐步细化知识点，从而为更好的学习作准备工作.我们欣喜地看到，学生能够在课堂中积极地以阅读教材为中心，抓住数学本质来学习，在能力提升的过程中，课堂的生命活力也得到了真正的彰显.

1.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3-5）.

2.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.Z